quinta-feira, 2 de maio de 2019
Como descobrir defeito em inversora usando apenas o multímetro Parte 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
INVERSORA TEM TENSÃO MAS NÃO ABRE O ARCO ,
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Máquinas de solda dicas de defeitos
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 30 de abril de 2019
Cálculo 1 - 30/04/2019
Cálculo 1 - 30/04/2019
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 21h54min
Taxa de aproveitamento: 75min / 90min = 83,33%
Observações:
Nota minha: explicações superficiais, sem aprofundamentos e análises dos fundamentos matemáticos.
Regra da Cadeia
Utillizada para calcular derivadas de funções compostas, tais como:
y = ∛(3x² - 9x)
y = sen (2x +1)
y = (2x² - 3x + 1)7
Teorema:
Se f e g são diferenciáveis, então F = fog é diferenciável e:
F'(x) = f '(g(x)) . g'(x)
ou se:
y = f(u)
u = g(x)
dy/dx = dy/du . du/dx
Exemplo:
1) Determine f'(x) e f(x) = (x² - 3x - 8)³
Se y = (x² - 3x - 8)³ podemos escrever:
y = u³
u = x² - 3x - 8
f '(x) = dy/dx = dy/du . du/dx = 3 (x² - 3x - 8)² . (2x - 3)
Exemplo:
Derive y = cos (t² + 1) em relação a t.
y = cos (u)
u = t² + 1
dy/dt = dy/du . du/dt = -sen (t² + 1) . (2t)
dy/dt = - 2t . sen (t² + 1)
Regras da derivação:
1) Derivada da função constante:
d/dx (c) = 0
2) Regra da Potência:
d/dx (xn) = n . xn-1
3) Regra do Produto:
A derivada de um produto de duas funções não é o produto de duas duas derivadas.
Exemplo:
f(x) = x8
f '(x) = 8x7
Por outro lado, podemos escrever:
f(x) = x³ . x5
(x³)' = 3x²
(x5)' = 5x4
(x³)' . (x5)' = 3x² . 5x4 = 15x6
(x8)' = (x³ . x5)' ≠ (x³)' . (x5)'
Se f e g são funções diferenciáveis, então:
d/dx [f(x) . g(x)] = d/dx [f(x)] . g(x) + d/dx [g(x)] . f(x)
Exemplo:
Calcule a derivada de f(x) = x8, usando a regra do produto e a igualdade f(x) = x³ . x5.
(x8)' = (x³ . x5)' = (x³)' . x5 + x³ . (x5)'
(x8)' = (x³ . x5)' = 3x² . x5 + x³ . 5x4
(x8)' = (x³ . x5)' = 3x7 + 5x7
(x8)' = (x³ . x5)' = 8x7
Exercícios:
Se k(x) = (2x² - 4x + 1) . (6x - 5)
f(x) = (2x² - 4x + 1)
g(x) = (6x - 5)
[Res.]
seja:
f(x) = u ⇒ u' = 4x - 4
g(x) = v ⇒ v' = 6
k'(x) = u' . v + v' . u
k'(x) = (4x - 4) . (6x - 5) + 6 . (2x² - 4x + 1)
= 24x² - 20x - 24x + 20 + 12x² - 24x + 6
= 36x² - 68x + 26
= 2 . (18x² - 34x +13)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 21h54min
Taxa de aproveitamento: 75min / 90min = 83,33%
Observações:
Nota minha: explicações superficiais, sem aprofundamentos e análises dos fundamentos matemáticos.
Regra da Cadeia
Utillizada para calcular derivadas de funções compostas, tais como:
y = ∛(3x² - 9x)
y = sen (2x +1)
y = (2x² - 3x + 1)7
Teorema:
Se f e g são diferenciáveis, então F = fog é diferenciável e:
F'(x) = f '(g(x)) . g'(x)
ou se:
y = f(u)
u = g(x)
dy/dx = dy/du . du/dx
Exemplo:
1) Determine f'(x) e f(x) = (x² - 3x - 8)³
Se y = (x² - 3x - 8)³ podemos escrever:
y = u³
u = x² - 3x - 8
f '(x) = dy/dx = dy/du . du/dx = 3 (x² - 3x - 8)² . (2x - 3)
Exemplo:
Derive y = cos (t² + 1) em relação a t.
y = cos (u)
u = t² + 1
dy/dt = dy/du . du/dt = -sen (t² + 1) . (2t)
dy/dt = - 2t . sen (t² + 1)
Regras da derivação:
1) Derivada da função constante:
d/dx (c) = 0
 |
| Gráfico de y =3, com inclinação igual a 0, obtido com auxílio do GeoGebra |
2) Regra da Potência:
d/dx (xn) = n . xn-1
3) Regra do Produto:
A derivada de um produto de duas funções não é o produto de duas duas derivadas.
Exemplo:
f(x) = x8
f '(x) = 8x7
Por outro lado, podemos escrever:
f(x) = x³ . x5
(x³)' = 3x²
(x5)' = 5x4
(x³)' . (x5)' = 3x² . 5x4 = 15x6
(x8)' = (x³ . x5)' ≠ (x³)' . (x5)'
Se f e g são funções diferenciáveis, então:
d/dx [f(x) . g(x)] = d/dx [f(x)] . g(x) + d/dx [g(x)] . f(x)
Exemplo:
Calcule a derivada de f(x) = x8, usando a regra do produto e a igualdade f(x) = x³ . x5.
(x8)' = (x³ . x5)' = (x³)' . x5 + x³ . (x5)'
(x8)' = (x³ . x5)' = 3x² . x5 + x³ . 5x4
(x8)' = (x³ . x5)' = 3x7 + 5x7
(x8)' = (x³ . x5)' = 8x7
Exercícios:
Se k(x) = (2x² - 4x + 1) . (6x - 5)
f(x) = (2x² - 4x + 1)
g(x) = (6x - 5)
[Res.]
seja:
f(x) = u ⇒ u' = 4x - 4
g(x) = v ⇒ v' = 6
k'(x) = u' . v + v' . u
k'(x) = (4x - 4) . (6x - 5) + 6 . (2x² - 4x + 1)
= 24x² - 20x - 24x + 20 + 12x² - 24x + 6
= 36x² - 68x + 26
= 2 . (18x² - 34x +13)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
domingo, 28 de abril de 2019
Astróide
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 26 de abril de 2019
Cálculo 1 - 26/04/2019
Cálculo 1 - 26/04/2019
Previsão de aula: 18h45min 20h15min
Início da aula: 18h52min
Encerramento: 20h15min
Taxa de aproveitamento: 83min / 90min = 92,22%
Exercícios:
Use a derivada via limite para calcular a derivada da função:
a) f(x) = 4 - √(x + 3)
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 {4 - √(x + h + 3) - [4 - √(x + 3)]} / h
limh→0 [- √(x + h + 3) + √(x + 3)] / h
limh→0 [√(x + 3) - √(x + h + 3)] / h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)] / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
limh→0 [x + 3 - (x + h + 3)] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
limh→0 -h / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]} = -1 / [√(x + 3) + √(x + 3)]
= -1 / [2√(x + 3)]
b) f(x) = (x + 1) / (2 - x)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [(x + h + 1) / (2 - x - h) - (x + 1) / (2 - x)] / h
limh→0 [(x + h + 1) . (2 - x) - (x + 1) . (2 - x - h)] / [(2 - x - h) . (2 - x)] / h
limh→0 [2x - x² + 2h - xh + 2 - x - (2x - x² - xh + 2 - x - h)] / [h . (4 - 2x - 2x + x² - 2h + xh)]
limh→0 (3h) / [h . (4 - 2x - 2x + x² - 2h + xh)]
limh→0 3 / [(2-x)² - h . (2 - x)] = 3 / (2 - x)²
c) f(x) = cos (3x)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
Como f(x) trata-se de cos(3x):
limh→0 {cos [3 (x + h)] - cos (3x)} / h
limh→0 [cos (3x + 3h) - cos (3x)] / h
Utilizando a seguinte relação trigonométrica:
cos (A + B) = cos (A) . cos (B) - sen (A) . sen (B)
Encontra-se:
limh→0 [(cos (3x) . cos (3h) - sen (3x) . sen (3h) - cos (3x)] / h
Desenvolvendo:
limh→0 [(cos (3x) . cos (3h) - sen (3x) . sen (3h)) - cos (3x)] / h
limh→0 [cos (3x) . (cos (3h) - 1) - sen (3x) . sen (3h)] / h
Utilizando as seguintes relações trigonométrica de limites:
limh→0 [(cos (h) - 1) / h] = 0 e limh→0 [sen (h) / h] =1
Encontra-se:
limh→0 [cos (3x) . (cos (3h) - 1) - sen (3x) . sen (3h)] / h
= limh→0 [cos (3x) . (cos (3h) - 1) / h - sen (3x) . sen (3h) / h]
= limh→0 [3 . cos (3x) . (cos (3h) - 1) / (3 . h) - 3. sen (3x) . sen (3h) / (3 . h)]
= limh→0 [3 . cos (3x) . (cos (3h) - 1) / (3h) - 3. sen (3x) . sen (3h) / (3h)]
= limh→0 [3 . cos (3x) . (cos (3h) - 1) / (3h) - 3. sen (3x) . sen (3h) / (3h)]
= limh→0 [3 . cos (3x)] . limh→0 [ (cos (3h) - 1) / (3h)] - limh→0 [3. sen (3x)] . limh→0 [sen (3h) / (3h)]
= limh→0 [3 . cos (3x)] . 0 - limh→0 [3. sen (3x)] . 1
= 0 - limh→0 [3. sen (3x)]
= - limh→0 [3. sen (3x)]
= - 3 . limh→0 [sen (3x)]
= - 3 . 0
= 0
referência consultada:
<http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limderiv/solu/DefDerSol.html#SOLUTION%206>
d) f(x) = 5x² - 3x + 7
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 {[5(x+h)² - 3(x+h) + 7] - (5x² - 3x + 7)} / h
limh→0 {[5(x² + 2 xh + h²) - 3x - 3h + 7] - 5x² + 3x - 7} / h
limh→0 {[5x² + 10 xh + 5h² - 3x - 3h + 7] - 5x² + 3x - 7} / h
limh→0 {5x² + 10 xh + 5h² - 3x - 3h + 7 - 5x² + 3x - 7} / h
limh→0 {5x² + 10 xh + 5h² - 3x - 3h + 7 - 5x² + 3x - 7} / h
limh→0 {10 xh + 5h² - 3h} / h
limh→0 h(10 x + 5h - 3) / h
limh→0 10x + 5h - 3 = 10x + 5 . 0 - 3 = 10x - 0 - 3 = 10x - 3
e) f(x) = 2x . ex + 3x (resolução pendente)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [2(x+h) . e(x+h) + 3(x+h) - (2x . ex + 3x)] / h
limh→0 [2(x+h) . ex . eh + 3x + 3h - 2x . ex - 3x] / h
limh→0 [2x . ex . eh + 2h . ex . eh + 3h - 2x . ex] / h
limh→0 [2x . ex . (eh - 1) + h . (2 . ex . eh + 3)] / h
limh→0 [2x . ex . (eh - 1)] / h + limh→0 [h . (2 . ex . eh + 3)] / h
limh→0 [2x . ex . (eh - 1)] / h + limh→0 (2 . ex . eh + 3)
Como é o h que está em evidência no limite:
limh→0 [2x . ex . (eh - 1)] / h + limh→0 (2 . ex . eh + 3)
Existe um limite fundamental que podemos aplicar aqui (conforme a fonte consultada, citada abaixo):
limx→0 [(ax - 1) / x] = ln a.
Utilizando o limite fundamental, podemos continuar:
2x . ex . limh→0 [(eh - 1)] / h + limh→0 (2 . ex . eh + 3)
2x . ex . ln (e) + 2 . ex . e0 + 3
2x . ex . 1 + 2 . ex . 1 + 3
2x . ex + 2 . ex + 3
Fonte consultada: https://www.dicasdecalculo.
Gabarito: 2x. e^x + 2e^x + 3
Exercício - lista disponível na plataforma ESO
Questão 1)
Calcule a derivada da função dada usando definição de limites
a) f(x) = 3
b) f(x) = -5x
c) f(x) = 3 + 2/3 . x
d) f(x) = 2 . x² + x - 1
e) f(x) = x³ - 12x
f) f(x) = 1 / (x - 1)
g) f(x) = √(x + 1)
h) f(x) = (2 + x) / (3 - x)
i) f(x) = x1/3
j) f(x) = 4 - √(x + 3)
k) f(x) = (2 + x) / (9 - x)
Gabarito
a) 0
b) -5
c) 2/3
d) 4x + 1
e) 3x² - 12
f) -1 / (x - 1)²
g) 1/ (2 . √(x + 1))
h) 5 / (3 - x)²
i) 1 / 3x2/3
j) -1 / [2 . √(x + 3)]
k) 11 / (9 - x)²
Resoluções:
a) f(x) = 3
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [3 - 3] / h
limh→0 0 / h
limh→0 0 = 0
b) f(x) = -5x
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [-5(x + h) - (-5x)] / h
limh→0 [-5x - 5h + 5x] / h
limh→0 [- 5h] / h
limh→0 - 5 = -5
c) f(x) = 3 + 2/3 . x
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [3 + 2/3 . (x+h) - (3 + 2/3 . x)] / h
limh→0 [3 + 2/3 . x + 2/3 . h - 3 - 2/3 . x] / h
limh→0 [2/3 . h] / h
limh→0 2/3 = 2/3
d) f(x) = 2 . x² + x - 1
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [2 . (x+h)² + (x+h) - 1 - (2 . x² + x - 1)] / h
limh→0 [2 . (x² + 2xh + h²) + (x + h) - 1 - (2 . x² + x - 1)] / h
limh→0 [2x² + 4xh + 2h² + x + h - 1 - 2x² - x + 1] / h
limh→0 [4xh + 2h² + h] / h
limh→0 h(4x + 2h + 1) / h
limh→0 4x + 2h + 1 = 4x + 2.0 + 1 = 4x + 1
e) f(x) = x³ - 12x
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [(x+h)³ - 12(x+h) - (x³ - 12x)] / h
limh→0 [x³ + 3x²h + 3xh² + h³ - 12x -12h - x³ + 12x] / h
limh→0 [3x²h + 3xh² + h³ - 12h] / h
limh→0 h(3x² + 3xh + h² - 12) / h
limh→0 3x² + 3xh + h² - 12 = 3x² + 3x . 0 + 0² - 12 = 3x² - 12
f) f(x) = 1 / (x - 1)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [1 / ((x+h) - 1) - (1 / (x - 1))] / h
limh→0 [1 / (x + h - 1) - (1 / (x - 1))] / h
limh→0 [(x - 1) - (x + h - 1)] / [(x + h - 1) . (x - 1)] . 1 / h
limh→0 [x - 1 - x - h + 1] / [(x + h - 1) . (x - 1)] . 1 / h
limh→0 [- h] / [(x + h - 1) . (x - 1)] . 1 / h
limh→0 - 1 / [(x + h - 1) . (x - 1)]
limh→0 - 1 / [x² - x + xh - h -x + 1]
limh→0 - 1 / [x² - 2x + xh - h + 1] = - 1 / [x² - 2x + x . 0 - 0 + 1]
= - 1 / [x² - 2x + 1] = -1 / (x - 1)²
g) f(x) = √(x + 1)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [√((x+h) + 1) - (√(x + 1))] / h
limh→0 [√(x + h + 1) - (√(x + 1))] / h
limh→0 [√(x + h + 1) - (√(x + 1))] / h . [√(x + h + 1) + (√(x + 1))] / [√(x + h + 1) + (√(x + 1))]
limh→0 [(x + h + 1) - (x + 1)] / {h . [√(x + h + 1) + √(x + 1)]}
limh→0 [x + h + 1 - x - 1] / {h . [√(x + h + 1) + √(x + 1)]}
limh→0 [h] / {h . [√(x + h + 1) + √(x + 1)]}
limh→0 1 / [√(x + h + 1) + √(x + 1)]
= 1 / [√(x + 0 + 1) + (√(x + 1))]
= 1 / [√(x + 1) + √(x + 1)]
= 1 / [2√(x + 1)]
h) f(x) = (2 + x) / (3 - x)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [(2 + (x+h)) / (3 - (x+h)) - ((2 + x) / (3 - x))] / h
limh→0 {[(2 + x + h) / (3 - x - h)] - [(2 + x) / (3 - x)]} / h
limh→0 {[(2 + x + h) . (3 - x) - (2 + x) . (3 - x - h)] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[6 - 2x + 3x - x² + 3h - xh - (6 - 2x - 2h + 3x - x² - xh)] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[6 - 2x + 3x - x² + 3h - xh - 6 + 2x + 2h - 3x + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[-2x + 3x - x² + 3h - xh + 2x + 2h - 3x + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[3x - x² + 3h - xh + 2h - 3x + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[- x² + 3h - xh + 2h + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[3h - xh + 2h + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[3h + 2h] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[5h] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 5 / [(3 - x - h) . (3 - x)]
= 5 / [(3 - x - 0) . (3 - x)]
= 5 / [(3 - x) . (3 - x)]
= 5 / (3 - x)²
i) f(x) = x1/3
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [(x+h)1/3 - (x)1/3] / h
Note que (A - B) pode ser escrito como a diferença entre cubos:
A - B
= (A1/3)3 - (B1/3)3
= (A1/3 - B1/3) . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)
= (A3/3 + A2/3 . B1/3 + A1/3 . B2/3 - A2/3 . B1/3 - A1/3 . B2/3 - B3/3)
= (A + A2/3 . B1/3 + A1/3 . B2/3 - A2/3 . B1/3 - A1/3 . B2/3 - B)
= (A +A2/3 . B1/3 + A1/3 . B2/3 - A2/3 . B1/3 - A1/3 . B2/3 - B)
= (A +A2/3 . B1/3 + A1/3 . B2/3 - A2/3 . B1/3 - A1/3 . B2/3 - B)
= A - B
Desenvolvendo:
limh→0 [(x+h)1/3 - (x)1/3] / h
Seja:
A = x + h
B = x
limh→0 [(A)1/3 - (B)1/3] / h . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3) / (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)
= limh→0 {[(A)1/3 - (B)1/3] . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)} / [h . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)]
= limh→0 {A - B} / [h . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)]
Assim:
= limh→0 {A - B} / [h . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)]
= limh→0 {(x + h) - x} / [h . ((x + h)2/3 + (x + h)1/3 . x1/3 + x2/3)]
= limh→0 {h} / [h . ((x + h)2/3 + (x + h)1/3 . x1/3 + x2/3)]
= limh→0 1 / [(x + h)2/3 + (x + h)1/3 . x1/3 + x2/3]
Calculando o limite:
= limh→0 1 / [(x + h)2/3 + (x + h)1/3 . x1/3 + x2/3]
= limh→0 1 / {limh→0 [(x + h)2/3 + (x + h)1/3 . x1/3 + x2/3]}
= 1 / {limh→0 [(x + h)2/3] + limh→0 [(x + h)1/3] . limh→0 [x1/3] + limh→0 [x2/3]}
= 1 / [(x + 0)2/3 + (x + 0)1/3 . x1/3 + x2/3]
= 1 / [x2/3 + x1/3 . x1/3 + x2/3]
= 1 / [x2/3 + x2/3 + x2/3]
= 1 / [3 . x2/3]
Referências consultadas:
<http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limderiv/solu/DefDerSol.html#SOLUTION%205>
<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferenca-dois-cubos.htm>
j) f(x) = 4 - √(x + 3)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [4 - √((x+h) + 3) - (4 - √(x + 3))] / h
limh→0 [4 - √(x + h + 3) - 4 + √(x + 3)] / h
limh→0 [√(x + 3) - √(x + h + 3)] / h
limh→0 [√(x + 3) - √(x + h + 3)] / h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)] / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
limh→0 [(x + 3) - (x + h + 3)] / h . 1 / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
limh→0 [(x + 3) - (x + h + 3)] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
limh→0 [x + 3 - x - h - 3)] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
limh→0 [- h] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
limh→0 -1 / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
= -1 / [√(x + 3) + √(x + 0 + 3)]
= -1 / [√(x + 3) + √(x + 3)]
= -1 / [2 . √(x + 3)]
k) f(x) = (2 + x) / (9 - x)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [(2 + (x+h)) / (9 - (x+h)) - ((2 + x) / (9 - x))] / h
limh→0 [(2 + x + h) / (9 - x - h) - ((2 + x) / (9 - x))] / h
limh→0 {[(2 + x + h) . (9 - x) - (2 + x) . (9 - x - h)] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
limh→0 {[18 - 2x + 9x - x² + 9h - xh - (18 - 2x - 2h +9 x - x² - xh)] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
limh→0 {[18 - 2x + 9x - x² + 9h - xh - 18 + 2x + 2h - 9x + x² + xh] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
limh→0 {[9h + 2h] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
limh→0 {[11h] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
limh→0 11h / [(9 - x - h) . (9 - x)] . 1/ h
limh→0 11h / [h . (9 - x - h) . (9 - x)]
limh→0 11 / [(9 - x - h) . (9 - x)]
= 11 / [(9 - x - 0) . (9 - x)]
= 11 / [(9 - x) . (9 - x)]
= 11 / (9 - x)²
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 18h45min 20h15min
Início da aula: 18h52min
Encerramento: 20h15min
Taxa de aproveitamento: 83min / 90min = 92,22%
Exercícios:
Use a derivada via limite para calcular a derivada da função:
a) f(x) = 4 - √(x + 3)
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 {4 - √(x + h + 3) - [4 - √(x + 3)]} / h
limh→0 [- √(x + h + 3) + √(x + 3)] / h
limh→0 [√(x + 3) - √(x + h + 3)] / h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)] / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
limh→0 [x + 3 - (x + h + 3)] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
limh→0 -h / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]} = -1 / [√(x + 3) + √(x + 3)]
= -1 / [2√(x + 3)]
b) f(x) = (x + 1) / (2 - x)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [(x + h + 1) / (2 - x - h) - (x + 1) / (2 - x)] / h
limh→0 [(x + h + 1) . (2 - x) - (x + 1) . (2 - x - h)] / [(2 - x - h) . (2 - x)] / h
limh→0 [2x - x² + 2h - xh + 2 - x - (2x - x² - xh + 2 - x - h)] / [h . (4 - 2x - 2x + x² - 2h + xh)]
limh→0 (3h) / [h . (4 - 2x - 2x + x² - 2h + xh)]
limh→0 3 / [(2-x)² - h . (2 - x)] = 3 / (2 - x)²
c) f(x) = cos (3x)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
Como f(x) trata-se de cos(3x):
limh→0 {cos [3 (x + h)] - cos (3x)} / h
limh→0 [cos (3x + 3h) - cos (3x)] / h
Utilizando a seguinte relação trigonométrica:
cos (A + B) = cos (A) . cos (B) - sen (A) . sen (B)
Encontra-se:
limh→0 [(cos (3x) . cos (3h) - sen (3x) . sen (3h) - cos (3x)] / h
Desenvolvendo:
limh→0 [(cos (3x) . cos (3h) - sen (3x) . sen (3h)) - cos (3x)] / h
limh→0 [cos (3x) . (cos (3h) - 1) - sen (3x) . sen (3h)] / h
Utilizando as seguintes relações trigonométrica de limites:
limh→0 [(cos (h) - 1) / h] = 0 e limh→0 [sen (h) / h] =1
Encontra-se:
limh→0 [cos (3x) . (cos (3h) - 1) - sen (3x) . sen (3h)] / h
= limh→0 [cos (3x) . (cos (3h) - 1) / h - sen (3x) . sen (3h) / h]
= limh→0 [3 . cos (3x) . (cos (3h) - 1) / (3 . h) - 3. sen (3x) . sen (3h) / (3 . h)]
= limh→0 [3 . cos (3x) . (cos (3h) - 1) / (3h) - 3. sen (3x) . sen (3h) / (3h)]
= limh→0 [3 . cos (3x) . (cos (3h) - 1) / (3h) - 3. sen (3x) . sen (3h) / (3h)]
= limh→0 [3 . cos (3x)] . limh→0 [ (cos (3h) - 1) / (3h)] - limh→0 [3. sen (3x)] . limh→0 [sen (3h) / (3h)]
= limh→0 [3 . cos (3x)] . 0 - limh→0 [3. sen (3x)] . 1
= 0 - limh→0 [3. sen (3x)]
= - limh→0 [3. sen (3x)]
= - 3 . limh→0 [sen (3x)]
= - 3 . 0
= 0
referência consultada:
<http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limderiv/solu/DefDerSol.html#SOLUTION%206>
d) f(x) = 5x² - 3x + 7
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 {[5(x+h)² - 3(x+h) + 7] - (5x² - 3x + 7)} / h
limh→0 {[5(x² + 2 xh + h²) - 3x - 3h + 7] - 5x² + 3x - 7} / h
limh→0 {[5x² + 10 xh + 5h² - 3x - 3h + 7] - 5x² + 3x - 7} / h
limh→0 {5x² + 10 xh + 5h² - 3x - 3h + 7 - 5x² + 3x - 7} / h
limh→0 {
limh→0 {10 xh + 5h² - 3h} / h
limh→0 h(10 x + 5h - 3) / h
limh→0 10x + 5h - 3 = 10x + 5 . 0 - 3 = 10x - 0 - 3 = 10x - 3
e) f(x) = 2x . ex + 3x (resolução pendente)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [2(x+h) . e(x+h) + 3(x+h) - (2x . ex + 3x)] / h
limh→0 [2(x+h) . ex . eh + 3x + 3h - 2x . ex - 3x] / h
limh→0 [2x . ex . eh + 2h . ex . eh + 3h - 2x . ex] / h
limh→0 [2x . ex . (eh - 1) + h . (2 . ex . eh + 3)] / h
limh→0 [2x . ex . (eh - 1)] / h + limh→0 [h . (2 . ex . eh + 3)] / h
limh→0 [2x . ex . (eh - 1)] / h + limh→0 (2 . ex . eh + 3)
Como é o h que está em evidência no limite:
limh→0 [2x . ex . (eh - 1)] / h + limh→0 (2 . ex . eh + 3)
Existe um limite fundamental que podemos aplicar aqui (conforme a fonte consultada, citada abaixo):
limx→0 [(ax - 1) / x] = ln a.
Utilizando o limite fundamental, podemos continuar:
2x . ex . limh→0 [(eh - 1)] / h + limh→0 (2 . ex . eh + 3)
2x . ex . ln (e) + 2 . ex . e0 + 3
2x . ex . 1 + 2 . ex . 1 + 3
2x . ex + 2 . ex + 3
Fonte consultada: https://www.dicasdecalculo.
Gabarito: 2x. e^x + 2e^x + 3
Exercício - lista disponível na plataforma ESO
Questão 1)
Calcule a derivada da função dada usando definição de limites
a) f(x) = 3
b) f(x) = -5x
c) f(x) = 3 + 2/3 . x
d) f(x) = 2 . x² + x - 1
e) f(x) = x³ - 12x
f) f(x) = 1 / (x - 1)
g) f(x) = √(x + 1)
h) f(x) = (2 + x) / (3 - x)
i) f(x) = x1/3
j) f(x) = 4 - √(x + 3)
k) f(x) = (2 + x) / (9 - x)
Gabarito
a) 0
b) -5
c) 2/3
d) 4x + 1
e) 3x² - 12
f) -1 / (x - 1)²
g) 1/ (2 . √(x + 1))
h) 5 / (3 - x)²
i) 1 / 3x2/3
j) -1 / [2 . √(x + 3)]
k) 11 / (9 - x)²
Resoluções:
a) f(x) = 3
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [3 - 3] / h
limh→0 0 / h
limh→0 0 = 0
b) f(x) = -5x
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [-5(x + h) - (-5x)] / h
limh→0 [-5x - 5h + 5x] / h
limh→0 [- 5h] / h
limh→0 - 5 = -5
c) f(x) = 3 + 2/3 . x
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [3 + 2/3 . (x+h) - (3 + 2/3 . x)] / h
limh→0 [3 + 2/3 . x + 2/3 . h - 3 - 2/3 . x] / h
limh→0 [2/3 . h] / h
limh→0 2/3 = 2/3
d) f(x) = 2 . x² + x - 1
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [2 . (x+h)² + (x+h) - 1 - (2 . x² + x - 1)] / h
limh→0 [2 . (x² + 2xh + h²) + (x + h) - 1 - (2 . x² + x - 1)] / h
limh→0 [2x² + 4xh + 2h² + x + h - 1 - 2x² - x + 1] / h
limh→0 [4xh + 2h² + h] / h
limh→0 h(4x + 2h + 1) / h
limh→0 4x + 2h + 1 = 4x + 2.0 + 1 = 4x + 1
e) f(x) = x³ - 12x
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [(x+h)³ - 12(x+h) - (x³ - 12x)] / h
limh→0 [x³ + 3x²h + 3xh² + h³ - 12x -12h - x³ + 12x] / h
limh→0 [3x²h + 3xh² + h³ - 12h] / h
limh→0 h(3x² + 3xh + h² - 12) / h
limh→0 3x² + 3xh + h² - 12 = 3x² + 3x . 0 + 0² - 12 = 3x² - 12
f) f(x) = 1 / (x - 1)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [1 / ((x+h) - 1) - (1 / (x - 1))] / h
limh→0 [1 / (x + h - 1) - (1 / (x - 1))] / h
limh→0 [(x - 1) - (x + h - 1)] / [(x + h - 1) . (x - 1)] . 1 / h
limh→0 [x - 1 - x - h + 1] / [(x + h - 1) . (x - 1)] . 1 / h
limh→0 [- h] / [(x + h - 1) . (x - 1)] . 1 / h
limh→0 - 1 / [(x + h - 1) . (x - 1)]
limh→0 - 1 / [x² - x + xh - h -x + 1]
limh→0 - 1 / [x² - 2x + xh - h + 1] = - 1 / [x² - 2x + x . 0 - 0 + 1]
= - 1 / [x² - 2x + 1] = -1 / (x - 1)²
g) f(x) = √(x + 1)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [√((x+h) + 1) - (√(x + 1))] / h
limh→0 [√(x + h + 1) - (√(x + 1))] / h
limh→0 [√(x + h + 1) - (√(x + 1))] / h . [√(x + h + 1) + (√(x + 1))] / [√(x + h + 1) + (√(x + 1))]
limh→0 [(x + h + 1) - (x + 1)] / {h . [√(x + h + 1) + √(x + 1)]}
limh→0 [x + h + 1 - x - 1] / {h . [√(x + h + 1) + √(x + 1)]}
limh→0 [h] / {h . [√(x + h + 1) + √(x + 1)]}
limh→0 1 / [√(x + h + 1) + √(x + 1)]
= 1 / [√(x + 0 + 1) + (√(x + 1))]
= 1 / [√(x + 1) + √(x + 1)]
= 1 / [2√(x + 1)]
h) f(x) = (2 + x) / (3 - x)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [(2 + (x+h)) / (3 - (x+h)) - ((2 + x) / (3 - x))] / h
limh→0 {[(2 + x + h) / (3 - x - h)] - [(2 + x) / (3 - x)]} / h
limh→0 {[(2 + x + h) . (3 - x) - (2 + x) . (3 - x - h)] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[6 - 2x + 3x - x² + 3h - xh - (6 - 2x - 2h + 3x - x² - xh)] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[6 - 2x + 3x - x² + 3h - xh - 6 + 2x + 2h - 3x + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[-2x + 3x - x² + 3h - xh + 2x + 2h - 3x + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[3x - x² + 3h - xh + 2h - 3x + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[- x² + 3h - xh + 2h + x² + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[3h - xh + 2h + xh] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[3h + 2h] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 {[5h] / [(3 - x - h) . (3 - x)]} / h
limh→0 5 / [(3 - x - h) . (3 - x)]
= 5 / [(3 - x - 0) . (3 - x)]
= 5 / [(3 - x) . (3 - x)]
= 5 / (3 - x)²
i) f(x) = x1/3
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [(x+h)1/3 - (x)1/3] / h
Note que (A - B) pode ser escrito como a diferença entre cubos:
A - B
= (A1/3)3 - (B1/3)3
= (A1/3 - B1/3) . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)
= (A3/3 + A2/3 . B1/3 + A1/3 . B2/3 - A2/3 . B1/3 - A1/3 . B2/3 - B3/3)
= (A + A2/3 . B1/3 + A1/3 . B2/3 - A2/3 . B1/3 - A1/3 . B2/3 - B)
= (A +
= (A +
= A - B
Desenvolvendo:
limh→0 [(x+h)1/3 - (x)1/3] / h
Seja:
A = x + h
B = x
limh→0 [(A)1/3 - (B)1/3] / h . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3) / (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)
= limh→0 {[(A)1/3 - (B)1/3] . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)} / [h . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)]
= limh→0 {A - B} / [h . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)]
Assim:
= limh→0 {A - B} / [h . (A2/3 + A1/3 . B1/3 + B2/3)]
= limh→0 {(x + h) - x} / [h . ((x + h)2/3 + (x + h)1/3 . x1/3 + x2/3)]
= limh→0 {h} / [h . ((x + h)2/3 + (x + h)1/3 . x1/3 + x2/3)]
= limh→0 1 / [(x + h)2/3 + (x + h)1/3 . x1/3 + x2/3]
Calculando o limite:
= limh→0 1 / [(x + h)2/3 + (x + h)1/3 . x1/3 + x2/3]
= limh→0 1 / {limh→0 [(x + h)2/3 + (x + h)1/3 . x1/3 + x2/3]}
= 1 / {limh→0 [(x + h)2/3] + limh→0 [(x + h)1/3] . limh→0 [x1/3] + limh→0 [x2/3]}
= 1 / [(x + 0)2/3 + (x + 0)1/3 . x1/3 + x2/3]
= 1 / [x2/3 + x1/3 . x1/3 + x2/3]
= 1 / [x2/3 + x2/3 + x2/3]
= 1 / [3 . x2/3]
Referências consultadas:
<http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limderiv/solu/DefDerSol.html#SOLUTION%205>
<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferenca-dois-cubos.htm>
j) f(x) = 4 - √(x + 3)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [4 - √((x+h) + 3) - (4 - √(x + 3))] / h
limh→0 [4 - √(x + h + 3) - 4 + √(x + 3)] / h
limh→0 [√(x + 3) - √(x + h + 3)] / h
limh→0 [√(x + 3) - √(x + h + 3)] / h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)] / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
limh→0 [(x + 3) - (x + h + 3)] / h . 1 / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
limh→0 [(x + 3) - (x + h + 3)] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
limh→0 [x + 3 - x - h - 3)] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
limh→0 [- h] / {h . [√(x + 3) + √(x + h + 3)]}
limh→0 -1 / [√(x + 3) + √(x + h + 3)]
= -1 / [√(x + 3) + √(x + 0 + 3)]
= -1 / [√(x + 3) + √(x + 3)]
= -1 / [2 . √(x + 3)]
k) f(x) = (2 + x) / (9 - x)
[Res.]
limh→0 [f(x+h) - f(x)] / h
limh→0 [(2 + (x+h)) / (9 - (x+h)) - ((2 + x) / (9 - x))] / h
limh→0 [(2 + x + h) / (9 - x - h) - ((2 + x) / (9 - x))] / h
limh→0 {[(2 + x + h) . (9 - x) - (2 + x) . (9 - x - h)] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
limh→0 {[18 - 2x + 9x - x² + 9h - xh - (18 - 2x - 2h +9 x - x² - xh)] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
limh→0 {[18 - 2x + 9x - x² + 9h - xh - 18 + 2x + 2h - 9x + x² + xh] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
limh→0 {[9h + 2h] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
limh→0 {[11h] / [(9 - x - h) . (9 - x)]} / h
limh→0 11h / [(9 - x - h) . (9 - x)] . 1/ h
limh→0 11h / [h . (9 - x - h) . (9 - x)]
limh→0 11 / [(9 - x - h) . (9 - x)]
= 11 / [(9 - x - 0) . (9 - x)]
= 11 / [(9 - x) . (9 - x)]
= 11 / (9 - x)²
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quinta-feira, 25 de abril de 2019
A great big world - Say something. (Tradução)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Grampeador e pinador elétrico Vonder...
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 24 de abril de 2019
Cálculo I - 24/04/2019
Cálculo I - 24/04/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 80,0%
Taxa instantânea de variação
ym = ∆y / ∆x = [f(a + h) - f(a)] / h
A taxa instantânea de variação de y = f(x) em relação a x em "a" é:
ya = ∆y / ∆x = [f(a + h) - f(a)] / h
Se a variável independente é o tempo t e y = s(t) é a posição em uma reta coordenada, então:
* velocidade média é a taxa média de variação de s em relação a t em um instante de tempo.
* velocidade instantânea é a taxa de variação de s em relação a t no instante t = a.
Exemplo:
A voltagem de curto circuito elétrico é de 100 volts. Se a corrente (em amperes) é I e a resistência (em ohms) é R, então, pela Lei de Ohm:
I = 100 / R.
Se R está aumentando, ache a taxa instantânea de variação de I em relação a R, para:
a) Qualquer resistência R.
[Res.]
Lembrando que:
∆IR = limh→0 {[I(R + h) - I (R)] / h}
Sendo I(R) = 100/R
limh→0 {[100/(R + h) - 100/(R)] / h}
= limh→0 {[100 . (R) - 100 . (R + h)] / [(R + h) . (R)] / h}
= limh→0 {[100R - 100R - 100h] / [(R + h) . (R)] / h}
= limh→0 {- 100h / [(R + h) . (R)] / h}
= limh→0 {- 100 / [(R + h) . (R)]}
= -100 / [(R+0) . R]
= -100 / [R . R]
= -100 / R²
b) Uma resistência de 20 ohms.
[Res.]
Quando R = 20 ohms:
∆IR = -100 / R² = -100 / 20² = -100 / 400 = -1/4 = -0,25 Amper
Exercício:
Qual a taxa de variação da área de uma circunferência em relação ao raio, supondo que este varia, quando temos r = 3cm?
[Res.]
A = 𝜋 . r²
Lembrando que:
∆AR = limh→0 {[A(r + h) - A (r)] / h}
= limh→0 {[𝜋 . (r + h)² - 𝜋 . (r)²] / h}
= limh→0 {[𝜋 . (r² + 2rh + h²) - 𝜋 . r²] / h}
= limh→0 {[𝜋 . r² + 2rh𝜋 + h²𝜋 - 𝜋 . r²] / h}
= limh→0 {[2rh𝜋 + h²𝜋] / h}
= limh→0 {h . [2r𝜋 + h𝜋] / h}
= limh→0 {2r𝜋 + h𝜋}
= 2r𝜋 + 0 . 𝜋
= 2r𝜋
Quando r = 3cm:
∆AR = 2r𝜋 = 2 . 3 . 𝜋 = 6 . 𝜋 = 6𝜋
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 80,0%
Taxa instantânea de variação
ym = ∆y / ∆x = [f(a + h) - f(a)] / h
A taxa instantânea de variação de y = f(x) em relação a x em "a" é:
ya = ∆y / ∆x = [f(a + h) - f(a)] / h
Se a variável independente é o tempo t e y = s(t) é a posição em uma reta coordenada, então:
* velocidade média é a taxa média de variação de s em relação a t em um instante de tempo.
* velocidade instantânea é a taxa de variação de s em relação a t no instante t = a.
Exemplo:
A voltagem de curto circuito elétrico é de 100 volts. Se a corrente (em amperes) é I e a resistência (em ohms) é R, então, pela Lei de Ohm:
I = 100 / R.
Se R está aumentando, ache a taxa instantânea de variação de I em relação a R, para:
a) Qualquer resistência R.
[Res.]
Lembrando que:
∆IR = limh→0 {[I(R + h) - I (R)] / h}
Sendo I(R) = 100/R
limh→0 {[100/(R + h) - 100/(R)] / h}
= limh→0 {[100 . (R) - 100 . (R + h)] / [(R + h) . (R)] / h}
= limh→0 {[100R - 100R - 100h] / [(R + h) . (R)] / h}
= limh→0 {- 100h / [(R + h) . (R)] / h}
= limh→0 {- 100 / [(R + h) . (R)]}
= -100 / [(R+0) . R]
= -100 / [R . R]
= -100 / R²
b) Uma resistência de 20 ohms.
[Res.]
Quando R = 20 ohms:
∆IR = -100 / R² = -100 / 20² = -100 / 400 = -1/4 = -0,25 Amper
Exercício:
Qual a taxa de variação da área de uma circunferência em relação ao raio, supondo que este varia, quando temos r = 3cm?
[Res.]
A = 𝜋 . r²
Lembrando que:
∆AR = limh→0 {[A(r + h) - A (r)] / h}
= limh→0 {[𝜋 . (r + h)² - 𝜋 . (r)²] / h}
= limh→0 {[𝜋 . (r² + 2rh + h²) - 𝜋 . r²] / h}
= limh→0 {[𝜋 . r² + 2rh𝜋 + h²𝜋 - 𝜋 . r²] / h}
= limh→0 {[2rh𝜋 + h²𝜋] / h}
= limh→0 {h . [2r𝜋 + h𝜋] / h}
= limh→0 {2r𝜋 + h𝜋}
= 2r𝜋 + 0 . 𝜋
= 2r𝜋
Quando r = 3cm:
∆AR = 2r𝜋 = 2 . 3 . 𝜋 = 6 . 𝜋 = 6𝜋
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 23 de abril de 2019
Cálculo I - 23/04/2019
Cálculo I - 23/04/2019 - (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h52min
Taxa de aproveitamento: 80,0%
Continuação da taxa de velocidade:
Se quisermos determinar a taxa à qual o automóvel está viajando às 2h, precisamos calcular sua velocidade instantânea. Uma ideia para fazer isso é calcular a velocidade média no intervalo [2; 2 + t(s)] e ir determinando de t(s) de tal forma que o comprimento (s) percorrido no intervalo [2; 2 + t(s)] se aproxime de zero.
À medida em que isso for feito, as velocidades médias se aproximarão da velocidade no instante t = 2h.
Em geral, se s (posição) é uma função do tempo s(t), é a função posição de um obejto cuja trajetória é retilínea, então, a velocidade do objeto no instante t é:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + t(s)) - s(t)] / ∆t}
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
Exemplo:
De um balão a 150m do solo, deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se a resistência do ar, a distância s(t) do solo ao saco de areia em queda, após t segundos é dado por:
s(t) = - 4,9t² + 150
Determine a velocidade do saco de areia:
a) quando t = 0s.
[Res.]
s(t) = - 4,9t² + 150
t = 0 → s(0) = 150m
Para encontrar a velocidade, podemos calcular o limite da distância percorrida quanto o tempo t tende a 0:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
= lim∆t→0 {[(- 4,9(t + ∆t)² + 150) - (- 4,9t² + 150)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9(t² + 2 . t . ∆t + ∆t²) + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9t² - 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 - 150) / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t²] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . (2 . t . ∆t - ∆t²)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[ ∆t . (- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t]}
= {[- 4,9 . 2 . 0 + 4,9 . 0]}
= 0 + 0
= 0m/s
b) quando t = 2s.
[Res.]
Para t = 2:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
= lim∆t→0 {[(- 4,9(t + ∆t)² + 150) - (- 4,9t² + 150)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9(t² + 2 . t . ∆t + ∆t²) + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9t² - 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 - 150) / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t²] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . (2 . t . ∆t - ∆t²)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[ ∆t . (- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t]}
= {[- 4,9 . 2 . 2 + 4,9 . 0]}
= - 4,9 . 2 . 2 + 0
= -19,6 m/s
c) no instante em que ele toca o solo.
[Res.]
Para tocar o solo:
s(t) = - 4,9t² + 150
0 = - 4,9t² + 150
-150 = - 4,9t²
t² = 150 / 4,9
t = ± 5,5328 segundos.
Como o tempo nesse caso só pode ser positivo:
t = + 5,5328 segundos.
Encontrando a velocidade do saco de areia ao tocar o solo:
Para t = 5,5328:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
= lim∆t→0 {[(- 4,9(t + ∆t)² + 150) - (- 4,9t² + 150)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9(t² + 2 . t . ∆t + ∆t²) + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9t² - 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 - 150) / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t²] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . (2 . t . ∆t - ∆t²)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[ ∆t . (- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t]}
= {[- 4,9 . 2 . 5,5328 + 4,9 . 0]}
= - 4,9 . 2 . 5,5328 + 0
= - 54,22144 m/s
Taxa de variação
Exemplos de aplicação:
* Durante certo tempo um químico pode estar interessado na taxa à qual certa substância se dissolve em água.
* Um engenheiro eletricista pode desejar saber a taxa de variação da corrente em parte de um circuito elétrico durante os t primeiros segundos de funcionamento.
Podemos considerar taxas de variação em relação à outras variáveis independentes que não o tempo. Por exemplo:
V = c / p.
Sob temperatura constante, o volume V e a pressão P de um gás confinado estão relacionados. Se a pressão varia, podemos achar a taxa à qual o volume varia por unidade de variação da pressão.
Definição:
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo aberto I contando a.
1) A taxa média de variação de y = f(x) em relação a x no intervalo [a, a+h] será:
ym = ∆y / ∆x = [f(a + h) - f(a)] / h
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h52min
Taxa de aproveitamento: 80,0%
Continuação da taxa de velocidade:
Se quisermos determinar a taxa à qual o automóvel está viajando às 2h, precisamos calcular sua velocidade instantânea. Uma ideia para fazer isso é calcular a velocidade média no intervalo [2; 2 + t(s)] e ir determinando de t(s) de tal forma que o comprimento (s) percorrido no intervalo [2; 2 + t(s)] se aproxime de zero.
À medida em que isso for feito, as velocidades médias se aproximarão da velocidade no instante t = 2h.
Em geral, se s (posição) é uma função do tempo s(t), é a função posição de um obejto cuja trajetória é retilínea, então, a velocidade do objeto no instante t é:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + t(s)) - s(t)] / ∆t}
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
Exemplo:
De um balão a 150m do solo, deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se a resistência do ar, a distância s(t) do solo ao saco de areia em queda, após t segundos é dado por:
s(t) = - 4,9t² + 150
 |
| Gráfico de s(t) = - 4,9t² + 150, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
 |
| Saco de areia lançado do balão a 150m de altura, obtido com o Krita. |
a) quando t = 0s.
[Res.]
s(t) = - 4,9t² + 150
t = 0 → s(0) = 150m
Para encontrar a velocidade, podemos calcular o limite da distância percorrida quanto o tempo t tende a 0:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
= lim∆t→0 {[(- 4,9(t + ∆t)² + 150) - (- 4,9t² + 150)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9(t² + 2 . t . ∆t + ∆t²) + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9t² - 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 - 150) / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t²] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . (2 . t . ∆t - ∆t²)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[ ∆t . (- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t]}
= {[- 4,9 . 2 . 0 + 4,9 . 0]}
= 0 + 0
= 0m/s
b) quando t = 2s.
[Res.]
Para t = 2:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
= lim∆t→0 {[(- 4,9(t + ∆t)² + 150) - (- 4,9t² + 150)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9(t² + 2 . t . ∆t + ∆t²) + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9t² - 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 - 150) / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t²] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . (2 . t . ∆t - ∆t²)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[ ∆t . (- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t]}
= {[- 4,9 . 2 . 2 + 4,9 . 0]}
= - 4,9 . 2 . 2 + 0
= -19,6 m/s
c) no instante em que ele toca o solo.
[Res.]
Para tocar o solo:
s(t) = - 4,9t² + 150
0 = - 4,9t² + 150
-150 = - 4,9t²
t² = 150 / 4,9
t = ± 5,5328 segundos.
Como o tempo nesse caso só pode ser positivo:
t = + 5,5328 segundos.
Encontrando a velocidade do saco de areia ao tocar o solo:
Para t = 5,5328:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
= lim∆t→0 {[(- 4,9(t + ∆t)² + 150) - (- 4,9t² + 150)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9(t² + 2 . t . ∆t + ∆t²) + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9t² - 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 - 150) / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t²] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . (2 . t . ∆t - ∆t²)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[ ∆t . (- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t]}
= {[- 4,9 . 2 . 5,5328 + 4,9 . 0]}
= - 4,9 . 2 . 5,5328 + 0
= - 54,22144 m/s
Taxa de variação
Exemplos de aplicação:
* Durante certo tempo um químico pode estar interessado na taxa à qual certa substância se dissolve em água.
* Um engenheiro eletricista pode desejar saber a taxa de variação da corrente em parte de um circuito elétrico durante os t primeiros segundos de funcionamento.
Podemos considerar taxas de variação em relação à outras variáveis independentes que não o tempo. Por exemplo:
V = c / p.
Sob temperatura constante, o volume V e a pressão P de um gás confinado estão relacionados. Se a pressão varia, podemos achar a taxa à qual o volume varia por unidade de variação da pressão.
Definição:
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo aberto I contando a.
1) A taxa média de variação de y = f(x) em relação a x no intervalo [a, a+h] será:
ym = ∆y / ∆x = [f(a + h) - f(a)] / h
 |
| Esquema para visualizar a taxa média de variação, obtido com o Krita. |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 17 de abril de 2019
Cálculo I - 17/04/2019
Cálculo I - 17/04/2019 - (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: aproximadamente 21h45min
Taxa de aproveitamento: aproximadamente 73,33%
Observação: discussão social em sala de aula (tema: esmola)
Equação da reta normal
Seja y = f(x) uma curva e seja P(a, f(a)) um ponto sobre seu gráfico. A reta normal n ao gráfico de f no ponto P é a reta perpendicular à reta tangente (t).
Da Geometria Analítica sabemos que mn = -1 / mt.
Logo, a equação da reta normal ao gráfico de f em P é:
y - f(a) = -1/mt . (x - a)
Exemplo:
Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = x³ no ponto de abcissa a = -1.
[Res.]
f(x) = x³
Encontrando o coeficiente angular no ponto com x igual a -1.
limh→0 [f(a+h) - f(a) / h]
= limh→0 [(a+h)³ - (a)³ / h]
= limh→0 [(a³ + 3a²h + 3ah² + h³ - a³) / h]
= limh→0 [(3a²h + 3ah² + h³) / h]
= limh→0 [h . (3a² + 3ah + h²) / h]
= limh→0 [3a² + 3ah + h²]
= 3a² + 0 + 0
= 3a²
Assim, quando x é igual a -1, o limite (que é o coeficiente angular da reta tangente no ponto) será:
3a² = 3 . (-1)² = 3 . 1 = 3 = mt
Obtendo a equação da reta tangente no ponto de abcissa a = -1:
y - y0 = m . (x - x0)
Como só temos o valor de x (abcissa) do ponto, será necessário calcular o valor de y:
y = x³ = (-1)³ = -1
Agora temos o ponto A(-1, -1). Assim:
y - (-1) = m . (x - (-1))
y + 1 = m . (x + 1)
y = m.x + m - 1
Como mt = 3:
y = 3 . x + 3 -1
y = 3x + 2
Logo, a equação da reta normal ao gráfico de f em A(-1, -1) é:
y - f(a) = -1/mt . (x - a)
y - (-1) = -1/(3) . (x - (-1))
y + 1 = -1/3 . (x + 1)
y + 1 = -x/3 -1/3
y = -x/3 -1/3 - 1
y = -x/3 - 4/3
y = (-x - 4) / 3
Velocidade média e velocidade instantânea:
Vm = ∆S / ∆T, onde:
∆S → posição
∆T → tempo
Exemplo:
Um automóvel deixa a cidade A à 1h, percorre uma estrada retilínea e chega à cidade B a 240km de A, às 4 horas.
Determine a velocidade média do automóvel durante este percurso.
[Res.]
Vm = ∆S / ∆T = (S1 - S0) / (T1 - T0) = (240 - 0) / (4 - 1) = 240 / 3 = 80 km/h
Esta é a velocidade que, se mantida constante, durante 3 horas, permite ao automóvel percorrer os 240km de A até B.
A velocidade média nada diz sobre a velocidade em um instante.
Por exemplo, às 2h o velocímetro do carro poderia registrar 60km/h ou 100km/h ou até mesmo estar marcando 0km/h, com o carro parado.
Se quisermos determinar a taxa à qual o automóvel está viajando às 2h, precisamos calcular sua velocidade instantânea.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: aproximadamente 21h45min
Taxa de aproveitamento: aproximadamente 73,33%
Observação: discussão social em sala de aula (tema: esmola)
Equação da reta normal
Seja y = f(x) uma curva e seja P(a, f(a)) um ponto sobre seu gráfico. A reta normal n ao gráfico de f no ponto P é a reta perpendicular à reta tangente (t).
 |
| Reta tangente (t) e reta normal (r) à tangente em um ponto de um gráfico, obtido com o Krita. |
Logo, a equação da reta normal ao gráfico de f em P é:
y - f(a) = -1/mt . (x - a)
Exemplo:
Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = x³ no ponto de abcissa a = -1.
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = x³, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Encontrando o coeficiente angular no ponto com x igual a -1.
limh→0 [f(a+h) - f(a) / h]
= limh→0 [(a+h)³ - (a)³ / h]
= limh→0 [(a³ + 3a²h + 3ah² + h³ - a³) / h]
= limh→0 [(3a²h + 3ah² + h³) / h]
= limh→0 [h . (3a² + 3ah + h²) / h]
= limh→0 [3a² + 3ah + h²]
= 3a² + 0 + 0
= 3a²
Assim, quando x é igual a -1, o limite (que é o coeficiente angular da reta tangente no ponto) será:
3a² = 3 . (-1)² = 3 . 1 = 3 = mt
Obtendo a equação da reta tangente no ponto de abcissa a = -1:
y - y0 = m . (x - x0)
Como só temos o valor de x (abcissa) do ponto, será necessário calcular o valor de y:
y = x³ = (-1)³ = -1
Agora temos o ponto A(-1, -1). Assim:
y - (-1) = m . (x - (-1))
y + 1 = m . (x + 1)
y = m.x + m - 1
Como mt = 3:
y = 3 . x + 3 -1
y = 3x + 2
Logo, a equação da reta normal ao gráfico de f em A(-1, -1) é:
y - f(a) = -1/mt . (x - a)
y - (-1) = -1/(3) . (x - (-1))
y + 1 = -1/3 . (x + 1)
y + 1 = -x/3 -1/3
y = -x/3 -1/3 - 1
y = -x/3 - 4/3
y = (-x - 4) / 3
Velocidade média e velocidade instantânea:
Vm = ∆S / ∆T, onde:
∆S → posição
∆T → tempo
Exemplo:
Um automóvel deixa a cidade A à 1h, percorre uma estrada retilínea e chega à cidade B a 240km de A, às 4 horas.
Determine a velocidade média do automóvel durante este percurso.
 |
| Esquema de percurso de A até B (240km) em 3 horas, obtido com o Krita. |
[Res.]
Vm = ∆S / ∆T = (S1 - S0) / (T1 - T0) = (240 - 0) / (4 - 1) = 240 / 3 = 80 km/h
Esta é a velocidade que, se mantida constante, durante 3 horas, permite ao automóvel percorrer os 240km de A até B.
A velocidade média nada diz sobre a velocidade em um instante.
Por exemplo, às 2h o velocímetro do carro poderia registrar 60km/h ou 100km/h ou até mesmo estar marcando 0km/h, com o carro parado.
Se quisermos determinar a taxa à qual o automóvel está viajando às 2h, precisamos calcular sua velocidade instantânea.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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