4ª Lista de Cálculo I - Funções Inversas

4ª Lista de Cálculo I - Funções Inversas

1) Determine f ^-1(x) em cada caso:

a) f(x) = 3x + 5
[Res.]
Para encontrar a função inversa:
x = 3y + 5
Daí: y = (x - 5) / 3
Simples assim. Onde era f(x) coloca-se x e onde era x coloca-se y, que é o f(x).

b) f(x) = 1/ (3x - 2)
[Res.]
x = 1 / (3y - 2)
3y - 2 = 1 / x
3y = (1/x) + 2
3y = (1 + 2x) / x
y = (1 + 2x) / 3x
f ^-1(x) = (1 + 2x) / 3x

c) f(x) = (3x + 2) / (2x - 5)
[Res.]
x = (3y + 2) / (2y - 5)
2yx - 5x = 3y + 2
2yx - 3y = 2 + 5x
y (2x - 3) = 2 + 5x
y = (2 + 5x) / (2x-3)
f ^-1(x) = (2 + 5x) / (2x-3)

d) f(x) = 2 - 3x²
[Res.]
x = 2 - 3y²
3y² = 2 - x
y² = (2 - x) / 3
y = ((2 - x) / 3)^(1/2)
f ^-1(x) = ((2 - x) / 3)^(1/2)

e) f(x) = 5x² + 2
[Res.]
x = 5y² + 2
5y² = x - 2
y² = (x-2) / 5
y = ((x-2) / 5)^(1/2)

f ^-1(x) = ((x-2) / 5)^(1/2)

f) f(x) = (4 - x²)^(1/2), 0 ≤ x ≤ 2
[Res.]
x = (4-y²)^(1/2)
x² = 4 - y²
y² = 4 - x²
y = (4 - x²)^(1/2)

f ^-1(x) = (4 - x²)^(1/2)

g) f(x) = x^(1/3) + 1
[Res.]
x = y^(1/3) + 1
y^(1/3) = x - 1
y = (x - 1)³

f ^-1(x) = (x - 1)³

h) f(x) = (x³ + 1)^5
[Res.]
x = (y³+1)^5
x^(1/5) = y³ + 1
y³ = x^(1/5) - 1
y = (x^(1/5) - 1)^(1/3)

f ^-1(x) = (x^(1/5) - 1)^(1/3)

i) f(x) = (2x + 3) / (x - 5)
[Res.]
x = (2y + 3) / (y - 5)
xy - 5x = 2y + 3
y (x - 2) = 3 + 5x
y = (3 + 5x) / (x - 2)

f ^-1(x) = (3 + 5x) / (x - 2)


2) Sejam as funções f(x) = 2x - 1 e g(x) = kx + t funções de IR em IR. Determine os valores de k e t para que g(x) = f ^-1(x).
[Res.]
Encontrando a inversa de f(x):
x = 2y - 1
2y = x + 1
y = (x + 1) / 2

Assim, f ^-1(x) = (x + 1) / 2
Logo,
(x + 1) / 2 = kx + t
(1/2) . x + 1/2 = kx + t
Assim, k = 1/2 e t = 1/2

3) Seja f: IR → IR uma função bijetora definida por f(x) = x³ + 1. Seja g: IR → IR uma função bijetora, definida por g(x) = (4x + 1) / 3. Determine o valor de f ^-1(9) + g(f(1/2)).
[Res.]
Revisando os conceitos:

Função:
Sobrejetora: quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio.
Injetora: quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio.
Bijetora: quando a função é sobrejetora e injetora.
Referência:
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-funcao-sobrejetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm

Calculando a função inversa de f(x):
x = y³ + 1
y³ = x - 1
y = (x - 1)^(1/3)

Assim:
f ^-1(x) = (x - 1)^(1/3)

Calculando f ^-1(9):
f ^-1(9) = (9 - 1)^(1/3) = 8^(1/3) = 2

Calculando g(f(1/2)):
g(x) = (4x + 1) / 3

f(1/2) = (1/2)³ + 1 = 1/8 + 1 = 9/8

g(f(1/2)) = (4 . (9/8) + 1) / 3 = (9/2 + 1) / 3 = 11/2 *1 / 3 = 11/6

Calculando f ^-1(9) + g(f(1/2)):
f ^-1(9) + g(f(1/2)) = 2 + 11/6 = (12 + 11) / 6 = 23/6


4) A função f, definida em IR - {2} por f(x) = (2 + x) / (2 - x) é inversível. O seu contradomínio é IR - {a}. Determine o valor de a.
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = (2 + y) / (2 - y)
2x - xy = 2 + y
2x - 2 = y + xy
y (1 + x) = 2x -2
y = (2x - 2) / (1 + x)

Assim:
f ^-1(x) = (2x - 2) / (1 + x)
Logo, o valor de a = -1.


5) Seja f: IR → IR, definida por f(x) =

• 3x + 3, se x ≤ 0
• x² + 4x + 3, se x > 0

É correto afirmar que:

a) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (21). 

b) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (99).

c) ( ) f é sobrejetora mas não é injetora.

d) ( ) f é injetora mas não é sobrejetora.

e) ( ) f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (3)

Gabarito: letra b, porém, conforme resolução abaixo, encontrei como resposta a letra c.


[Res.]

Vamos analisar letra a letra para responder a questão, já que as opções de resposta envolvem números.

Analisando a letra a:
Vamos calcular (f ° f)(-2/3):
Como -2/3 ≤ 0, usaremos f(x) = 3x + 3:
(f ° f)(x) = 3 . (3x + 3) + 3
(f ° f)(-2/3) = 3 . [3 . (-2/3) + 3] + 3
= 3 . [-2 + 3] + 3
= 3 . 1 + 3
= 3 + 3
= 6

Calculando f ^-1 (21):
Como 21 > 0, usaremos f(x) = x² + 4x + 3:
Encontrando f ^-1 (x):
y = x² + 4x + 3

Yvértice = - ∆ / 4a
Yvértice = - [16 - 4 . (1) . (3)] / [4 . (1)]
Yvértice = - [16 - 12] / 4
Yvértice = - 4 / 4
Yvértice = - 1

Como a concavidade é para cima, a imagem da função y = x² + 4x + 3 será de [-1, +∞[.

Trocando o x pelo y, obtemos:
y = x² + 4x + 3
x = y² + 4y + 3

Assim:
y² + 4y + 3 - x = 0

Utilizando Bháskara
y = [-4 ± √(16 - 4 . (1) . (3-x)] / [2 . (1)]
y = [-4 ± √(16 - 12 + 4x)] / [2]
y = [-4 ± √(4 + 4x)] / [2]
y = [-4 ± √4(1 + x)] / [2]
y = [-4 ± 2√(1 + x)] / [2]
y = [-2 ± √(1 + x)] / [1]
y = -2 ± √(1 + x)

Avaliando a Imagem de f(x), que é [-1, +∞[, vemos que:
y = -2 + √(1 + x) condiz com a imagem
y = -2 - √(1 + x) não condiz com a imagem

Portanto, o valor de y para o intervalo da função f(x) será:
y = -2 + √(1 + x)


Referência consultada: http://entendaexatas.blogspot.com/2013/09/funcao-quadratica-inversa.html

Assim:
f ^-1 (x) = -2 + √(1 + x)
f ^-1 (21) = -2 + √(1 + 21)
f ^-1 (21) = -2 + √22

Assim, descartamos a resposta a, pois a afirmação (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (21) não é verdadeira.
(f ° f)(-2/3) = 6
f ^-1 (21) = -2 + √22
(f ° f)(-2/3) ≠ f ^-1 (21)

Analisando a letra b:
Calculamos na letra a (f ° f)(-2/3):
(f ° f)(-2/3) = 6

Agora vamos calcular f ^-1 (99):
f ^-1 (x) = -2 + √(1 + x)
f ^-1 (99) = -2 + √(1 + 99)
f ^-1 (99) = -2 + √100
f ^-1 (99) = -2 + 10
f ^-1 (99) = 8

Como (f ° f)(-2/3) = 6 e f ^-1 (99) = 8:
(f ° f)(-2/3) ≠ f ^-1 (99)

Analisando a letra c:
A letra c diz que f é sobrejetora mas não é injetora.

Sobrejetora
Sobrejetora é a função que para todo elemento no contradomínio há pelo menos um no domínio.
Como f(x) =

• 3x + 3, se x ≤ 0
• x² + 4x + 3, se x > 0

Para cada x existe pelo menos um valor de y. Logo, f(x) é sobrejetora.

Injetora
Injetora é a função em que existe uma única imagem distinta para cada valor do domínio.
Como f(x) pode ser uma parábola caso x > 0, ela não é injetora.

Assim, a resposta correta é a letra c.


Analisando a letra d:
A letra d diz que f é injetora mas não é sobrejetora.

Porém, como vimos na análise da letra c, f(x) não é injetora, mas é sobrejetora.

Analisando a letra e:
A letra e diz que f é bijetora e (f ° f)(-2/3) = f ^-1 (3).

Porém, como vimos na análise da letra c, f(x) não é bijetora, pois para ser bijetora ela precisaria ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.

Além disso, como vimos anteriormente,  (f ° f)(-2/3) = 6 e f ^-1 (x) = -2 + √(1 + x). Assim:
f ^-1 (3) = -2 + √(1 + 3)
f ^-1 (3) = -2 + √4
f ^-1 (3) = -2 + 2
f ^-1 (3) = 0

Como (f ° f)(-2/3) = 6 e f ^-1 (3) = 0:
(f ° f)(-2/3) ≠ f ^-1 (3)



6) Dadas as funções bijetoras f(x) = 2x - 3 e g(x) = x³, determine (f ° g)^-1(x).
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = 2 . (x³) - 3

Calculando f(g(x))^-1:
x = 2 y³ - 3
2y³ = x + 3
y³ = (x + 3) / 2
y = ((x + 3) / 2)^(1/3)

f(g(x))^-1 = ((x + 3) / 2)^(1/3)


7) Dadas as funções bijetoras f(x) = x - 1 e g(x) = 2x + 3, mostre que (f ° g)^-1(x) = (g^-1 ° f ^-1)(x).
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = y - 1
y = x + 1

f(x)^-1 = x + 1

Calculando a função inversa de g(x):
x = 2y + 3
2y = x -3
y = (x - 3) / 2

g(x)^-1 = (x - 3) / 2

Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (2x + 3) - 1 = 2x + 2

Calculando a inversa de f(g(x)):
x = 2y + 2
2y = x - 2
y = (x - 2) / 2

f(g(x))^-1 = (x - 2) / 2

Calculando g(f(x)^-1)^-1:
g(f(x)^-1)^-1 = g(x+1)^-1 = ((x + 1) - 3) / 2 = (x -2) / 2

Assim:
f(g(x))^-1 = g(f(x)^-1)^-1 = (x -2) / 2


8) Seja f, de IR em IR, uma função definida por f(x) = mx + p. Se o gráfico de f ^-1(x) passa peloas pontos A(4,0) e B(0,3), determine a função f(x).
[Res.]
Encontrando a função inversa de f(x):
x = my + p
my = x - p
y = (x - p) / m

f(x)^-1 = (x - p) / m

Considerando o ponto A(4, 0):
0 = (4 - p) / m
4 - p = 0
p = 4

Considerando o ponto B(0, 3):
3 = (0 - p) / m
3 = -p / m
m = -p / 3

Como p = 4:
m = - 4 / 3

Assim:
f(x) = mx + p
f(x) = -(4/3) . x + 4


9) Qual a relação entre a e b para a função f(x) = (ax + 1) / (2x + b) coincida com sua inversa?
[Res.]
Calculando a função inversa de f(x):
x = (ay + 1) / (2y + b)
2xy + xb = ay + 1
2xy - ay = 1 - xb
y(2x - a) = 1 - xb
y = (1 - xb) / (2x - a)

f(x)^-1 = (1 - xb) / (2x - a)

Para f(x) = f(x)^-1:
(ax + 1) / (2x + b) = (1 - xb) / (2x - a)
(ax + 1) . (2x - a)  = (1 - xb) . (2x + b)
2ax² - a²x + 2x - a = 2x + b - 2bx² - b²x

Reorganizando:
2ax² - a²x + 2x - a = - 2bx² + 2x - b²x + b
2ax² + (2 - a²)x - a = - 2bx² + (2 - b²)x + b

Assim:
2ax² = -2bx²
Logo:
a = -b

10) Seja f a função definida por f(x) = (3x + 2) / (4x - 1), onde x ≠ 1/4. Determine os valores de a e b para que f ^-1(x) = (x+2) / (ax+b).
[Res.]
Calculando f ^-1(x):
x = (3y + 2) / (4y - 1)
4xy - x = 3y + 2
4xy - 3y = x + 2
y (4x - 3) = x + 2
y = (x + 2) / (4x - 3)

f ^-1(x) = (x + 2) / (4x - 3)

Para f ^-1(x) = (x+2) / (ax+b):
(x + 2) / (4x - 3) = (x+2) / (ax+b)

Logo:
a = 4 e b = -3


11) Considere a função f: [0, ∞[ → [12, ∞[, dada por f(x) = x² + 2kx + k² - 4, onde a constante real k faz com que a função f(x) admita inversa. Determine o valor de f ^-1(21).
[Res.]

Para f(x):
f(x) = x² + 2kx + k² - 4
f(x) = (x + k)² - 4

Como x ≥ 0 e y ≥ 12:
f(x) ≥ 12
Logo:
(x + k)² - 4 ≥ 12
(x + k)² ≥ 16

Assim: x + k ≥ 4 ou x + k ≤ - 4

Como x ≥ 0:

• 0 + k ≥ 4
• k ≥ 4
• 0 + k ≤ - 4
• k ≤ - 4

Calculando a função inversa de f(x):
x = y² +2ky + k² - 4
x = (y + k)² - 4
(y + k)² = x +4
y + k = (x + 4)^(1/2)
y = (x + 4)^(1/2) - k

Logo:
f ^-1(x) = (x + 4)^(1/2) - k

Calculando f ^-1(21):
f ^-1(21) = (21 + 4)^(1/2) - k = 25^(1/2) - k
f ^-1(21) = 5 - k

Para k ≤ - 4:
f ^-1(21) ≥ 5 - k
f ^-1(21) ≥ 5 - (-4)
f ^-1(21) ≥ 9

Para k ≤ 4:
f ^-1(21) ≤ 5 - k
f ^-1(21) ≤ 5 - (4)
f ^-1(21) ≤ 1

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 03/04/2019

Cálculo I - 03/04/2019 - (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h56min
Taxa de aproveitamento: 82,22%


Exercícios:

1) Calcule lim_x→2 (x² - 7x + 10) / (x² - 4).

[Res.]

Gráfico de f(x) = (x² - 7x + 10) / (x² - 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→2 (x² - 7x + 10) / (x² - 4)
= lim_x→2 [(x - 2) . (x - 5)] / [(x + 2) . (x - 2)]
= lim_x→2 (x - 5) / (x + 2)
= (2 - 5) / (2 + 2)
= - 3 / 4



2) Calcule lim_x→0 x . cos(1/x).

[Res.]

Gráfico de f(x) = x . cos(1/x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

É fácil observar pelo gráfico da função que o limite tende a 0.



Calculando o limite:
lim_x→0 x . cos(1/x)
= lim_x→0 x . lim_x→0 cos(1/x)

Como:

• lim_x→0 x = 0
• -1 < lim_x→0 cos(1/x) < 1

O cálculo do limite pode ser feito pelo teorema do confronto. A multiplicação dos limites será:
lim_x→0 x . lim_x→0 cos(1/x)
= 0 . lim_x→0 cos(1/x)
= 0



Operações com infinito (lembrete):

• x + ∞ = ∞
• x + (-∞) = -∞
• x - ∞ = -∞
• x - (-∞) = ∞
• ∞ + ∞ = ∞
• -∞ + (-∞) = -∞
• ∞ . ∞ = ∞

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo 1 - 02/04/2019

Cálculo 1 - 02/04/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h52min
Taxa de aproveitamento: 77,77%


Exercícios
1) lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (5 - √x) / (25 - x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)]
= lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)] . [(5 + √x) / (5 + √x)]
= lim_x→25 (25 - x) / [(25 - x) . (5 + √x)]
= lim_x→25 1 / (5 + √x)
= 1 / (5 + 5)
= 1 /10


2) lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = x² / (√(x² + 12) - √12), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]
= lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)] . {[(√(x² + 12) + √12)] / [√(x² + 12) + √12)]}
= lim_x→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / [(x² + 12) - 12]
= lim_x→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / x²
= lim_x→0 √(x² + 12) + √12
= √(0² + 12) + √12
= √12 + √12
= 2 . √12



3) lim_y→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}

[Res.]

Gráfico de f(x) = [sen(5x) . cotg(8x)] / [x . cotg(10x)], obtido com o GeoGebra e o Krita.

Lembrando que :
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1.
lim_x→0 cos(x) = cos(0) = 1.


lim_y→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}
= lim_y→0 {[sen(5y) . cos(8y)/sen(8y)] / [y . cos(10y)/sen(10y)]}
= lim_y→0 {sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . 1/y . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5/5 . 1/y . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5/(5y) . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}

= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) . (10y)/cos(10y)]} 
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [(10y) . sen(10y)/(10y) . 1/cos(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y) . [1/cos(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}

= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 5/4 . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 {5 . 5/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 {25/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 25/4 . lim_y→0 [sen(5y)/(5y)] . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . lim_y→0 {1 / [sen(8y)/(8y)]} . lim_y→0 [sen(10y)/(10y)]
= 25/4 . 1 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . lim_y→0 1 / lim_y→0 [sen(8y)/(8y)] . 1
= 25/4 . 1 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . 1 / 1 . 1
= 25/4 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)]
= 25/4 . lim_y→0 cos(8y) / lim_y→0 cos(10y)
= 25/4 . 1 / 1
= 25/4


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

3ª Lista de Cálculo I - Funções Compostas

3ª Lista de Cálculo I - Funções Compostas

1) Considere f(x) = 1 / (x - 1). Determine o valor de x, para o qual (f ° f)(x) = 1.
[Res.]
f(f(x)) = 1 / ((1 / (x - 1)) - 1) = 1 / ((1 - x + 1) / (x-1)) = 1 / ((2-x)/(x-1))
Como f(f(x)) = 1, logo:
1 / ((2-x)/(x-1)) = 1
1 = (2-x)/(x-1)
x - 1 = 2 - x
2x = 3
x = 3/2

2) Se f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x², determine o valor de f(g(-1)) - g(f(-1)).
[Res.]
f(g(-1)) = 3(2x²) + 1 = 6x² + 1 = 6(-1)² + 1 = 7
g(f(-1)) = 2(3x + 1)² = 2(3(-1) + 1)² = 2 (-3+1)² = 2 (-2)² = 2 . 4 = 8
Logo:
f(g(-1)) - g(f(-1)) = 7 - 8 = -1

3) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² - 1. Determine as raízes da equação f(g(x)) = 0.
[Res.]
f(g(x)) = 2(x² - 1) + 1 = 2x² - 2 + 1 = 2x² - 1
Fazendo 2x² - 1 = 0, obtém-se:
x1 = (-0 + (0 +8)^(1/2)) / 4 = 2(2)^(1/2)/4 = (2)^(1/2)/2
x2 = (-0 - (0 +8)^(1/2)) / 4 = -2(2)^(1/2)/4 = -(2)^(1/2)/2


4) Determine as funções compostas (f ° g)(x), (g ° f)(x) com seus respectivos domínios onde:
a) f(x) = x² - 3x e g(x) = (x + 2)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = ((x + 2)^(1/2))² - 3((x + 2)^(1/2))
= x + 2 - 3((x + 2)^(1/2))
Domínio = [-2, ∞[

g(f(x)) = ((x² - 3x) + 2)^(1/2)
= (x² - 3x + 2)^(1/2)
= ((x-2)(x-1))^(1/2)
Domínio = ]-∞, 1] U [2, ∞[

b) f(x) = (x-2)^(1/2) e g(x) = (x + 5)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (((x + 5)^(1/2))-2)^(1/2)
Domínio = [-1, ∞[

g(f(x)) = (((x-2)^(1/2)) + 5)^(1/2)
Domínio = [2, ∞[

c) f(x) = (25-x²)^(1/2) e g(x) = (x - 3)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (25-((x - 3)^(1/2))²)^(1/2)
= (28 - x)^(1/2))²)^(1/2)
Domínio = [3, 28]

g(f(x)) = (((25-x²)^(1/2)) - 3)^(1/2)
Domínio = [-4, 4]

d) f(x) = x / (3x + 2) e g(x) = 2/x
[Res.]
f(g(x)) = (2/x) / (3(2/x) + 2)
= (2/x)/((6+2x)/x) = 2/x * x/(6+2x) = 1 / (3+x)
Domínio = IR - {0, -3}

g(f(x)) = 2/(x / (3x + 2))
= (6x + 4) / x
Domínio = IR - {0, -2/3}


5) Sabendo que f(x) = x+2 e f(g(x)) = 2x - 3, determine a função g(x).
[Res.]
f(x) = x + 2
Fazendo g(x) = y, f(g(x)) = y + 2
Como f(g(x)) = 2x -3, logo:
2x - 3 = y + 2
y = 2x - 5

Logo, g(x) = 2x - 5


6) Sendo g(x) = x - 7 e f(g(x)) = 3x - 1, determine a função f(x).
[Res.]
De f(g(x)) = 3x - 1:
x = (f(g(x)) + 1) / 3

g(x) = (f(g(x)) + 1)/3 - 7 = (f(g(x)) + 1 - 21) / 3
3*g(x) = f(g(x)) -20
f(g(x)) = 3g(x) + 20

Logo:
f(x) = 3x + 20

7) Determine uma forma funcional composta para y em cada caso:

a) y = (x² + 3x)^(1/3)
[Res.]
y = u^(1/3)
com u = x^2 + 3x

b) y = 1 / (x - 3)^4
[Res.]
y = 1 / u^4
com u = x - 3

c) y = (x^4 - 16)^(1/4)
[Res.]
y = u^(1/4)
com u = x^4 - 16

d) y = 4 + (x^2 + 1)^(1/2)
[Res.]
y = 4 + u^(1/2)
com u = x^2 + 1

e) y = (x^4 - 2.x^2 + 5)^5
[Res.]
y = u^5
com u = x^4 - 2.x^2 + 5

f) y = ((x + 4)^(1/2) - 2) / ((x + 4)^(1/2) + 2)
[Res.]
y = (u - 2) / (u + 2)
com u = v^(1/2)
com v = (x+4)

g) y = 1 / (x² + 3x - 5)^3
[Res.]
y = 1 / u^3
com u = x² + 3x - 5

h) y = x^(1/3) / (1 + x^(1/3))
[Res.]
y = u / (1 + u)
com u = x^(1/3)


8) Sejam f(x) = x² + 3x + 4 e g(x) = ax + b duas funções. Determine as constantes reais a e b para que (f ° g) (x) = (g ° f) (x) para todo x real.
[Res.]
(f ° g) (x) = (ax + b)² + 3(ax + b) + 4
(g ° f) (x) = a(x² + 3x + 4) + b

Fazendo (f ° g) (x) = (g ° f) (x):
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b

a²x² + 2 abx + b² + 3ax + 3b + 4 = ax² + 3ax + 4a + b

a²x² + 2 abx + b² + 3ax + 3b + 4 = ax² + 3ax + 4a + b

a²x² + 2 abx + b² + 3b + 4 = ax² + 4a + b

Comparando-se os termos, tem-se:
2abx = 0
a²x² = ax², logo a² = a, e, portanto, a = 1
b² + 3b + 4 = 4a + b

Com a = 1, tem-se:
b² + 3b + 4 = 4a + b
b² + 3b + 4 = 4 . 1 + b
b² + 2b = 0
b (b + 2) = 0
b = 0 ou b = -2

Testando a = 1 e b = 0:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + 0)² + 3(1 . x + 0) + 4 = 1(x² + 3x + 4) + 0
x² + 3x + 4 = x² + 3x + 4, o que é verdadeiro!

Testando a = 1 e b = -2:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + (-2))² + 3(1 . x + (-2)) + 4 = 1 . (x² + 3x + 4) + (-2)
(x -2)² + 3(x - 2) + 4 = x² + 3x + 2
x² - 4x + 4 + 3x - 6 + 4 = x² + 3x + 2
x² - x + 2 = x² + 3x + 2, o que não é verdadeiro!

Logo, a resposta é:
a = 1 e b = 0.

9) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x - 1, e g(x) = ax + b. Sabendo que f(g(x)) = -2x, determine a função g(x).
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (g(x)) - 1

Como f(g(x)) = -2x:
(g(x)) - 1 = -2x
Assim:
g(x) = -2x + 1

10) Se f(x) = 2 / (2x + 5) determine o valor de x de modo que f(f(x)) = 2.
[Res.]
f(f(x)) = 2 / (2(2 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (4 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (((4 + 5 (2x +5))) / (2x+5))
= 2 / ((4 + 10x + 25) / (2x + 5))
= (4x + 10) / (10x + 29)

Como f(f(x)) = 2, logo:
(4x + 10) / (10x + 29) = 2
(4x + 10) = 2 . (10x + 29)
4x + 10 = 20x + 58
16x = -48
x = -48 / 16
x = -3


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - 29/03/2019

Cálculo I - 29/03/2019 - (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 19h00min
Término da aula: 20h10min
Taxa de aproveitamento: 77,77%


Exercícios de Limites Trigonométricos

Lembrando que
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1

1) Encontre o limite:

a) lim_x→0 [sen(3x)/8x]

[Res.]
lim_x→0 [sen(3x)/8x]
= lim_x→0 {[3/8 . sen(3x)] / [3/8 . (8x)]}
= lim_x→0 {[3/8 . sen(3x)] / [3x]}
= lim_x→0 [3/8 . sen(3x)/(3x)]
= lim_x→0 3/8 . lim_x→0 [sen(3x)/(3x)]
= 3/8 . 1
= 3/8


b) lim_x→0 [sen(3x)/sen(2x)]

[Res.]
lim_x→0 [sen(3x)/sen(2x)]
=  lim_x→0 {[3/2 . sen(3x)/3x] /[3/2 . sen(2x)/3x]}
=  lim_x→0 {[3/2 . sen(3x)/3x] /[sen(2x)/2x]}
=  lim_x→0 (3/2) . lim_x→0 [sen(3x)/3x] / lim_x→0 [sen(2x)/2x]
=  3/2 . 1 / 1
= 3/2


Limites infinitos

Ao investigarmos lim_x→a^- f(x) ou lim_x→a⁺ f(x), pode ser que o valor de f(x) ou aumente ou decresça sem limite à medida em que x se aproxima de a.


Exemplos: 
Seja f(x) = 1 / (x - 2). Estude lim_x→2 f(x).

Gráfico de f(x) = 1 / (x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Quando x tende a 2 pela direita, f(x) aumenta sem limite. Denotamos este fato escrevendo:
lim_x→2⁺ [1/(x - 2)] = + ∞.

Por outro lado, quando x tende a 2 pela esquerda, f(x) decresce sem limite. Daí, escrevemos:
lim_x→2^- [1/(x - 2)] = - ∞.


Se os limites laterais são distintos, não existe limite no ponto: ∄ lim_x→2 f(x).


Definição:
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em x = a.

Escrevemos lim_x→a f(x) = + ∞ se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes com x próximo de a, mas x ≠ a.

Escrevemos lim_x→a f(x) = - ∞ se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente pequenos com x próximo de a, mas x ≠ a.


Exercícios:
* lim_x→-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1)

[Res.]

Gráfico de f(x) = 2x⁵ - 5x³ + 1, obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1)
= lim_x→-∞ 2x⁵ - lim_x→-∞ 5x³ + lim_x→-∞ 1
= [lim_x→-∞ 2x]⁵ - [lim_x→-∞ 5x]³ + 1
= [2 . lim_x→-∞ x]⁵ - [5 . lim_x→-∞ x]³ + 1
= [2 . (-∞)]⁵ - [5 . (-∞)]³ + 1
= [-∞]⁵ - [-∞]³ + 1
Como o limite tendeu ao infinito (negativo), iremos considerar apenas o termo de maior expoente para encontrar o limite da função. Assim:
lim_x→-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1) = -∞


* lim_x→+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (3 - x) / (√(5 + 4 . x²)), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²)]
= lim_x→+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²) . √(5 + 4 . x²) / √(5 + 4 . x²)]
= lim_x→+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / (5 + 4 . x²)}
= lim_x→+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / [x².(5/x² + 4 . x²/x²)]}
= lim_x→+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[x(3/x - x/x) . x√(5/x² + 4 . x²/x²)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[x²(3/x - 1) . √(5/x² + 4 . 1)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[x²(3/x - 1) . √(5/x² + 4)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[(3/x - 1) . √(5/x² + 4)] / [(5/x² + 4)]}
= {[(0 - 1) . √(0 + 4)] / [(0 + 4)]}
= {[(- 1) . √4] / [4]}
= {[-√4] / [4]}
= {[-2] / [4]}
= -2 / 4
= -1 / 2


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Me Salva! LIM09 - Limites no infinito e assíntotas horizontais

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

CALC1S4 06 Limites Infinitos

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

CALC1S4 05 Exemplos

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

CALC1S4 04 Consequências

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

CALC1S4 03 Limites Trigonometricos Fundamentais

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

CALC1S4 02 Limites Laterais Parte 2

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.