Cálculo I - 20/03/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 72,22%
Teorema 2
Se L, m, a e k são números reais e limx→a f(x) = L e limx→a g(x) = M, então:
1) limx→a [f(x) ± g(x)] = limx→a f(x) ± limx→a g(x) = L ± M
2) limx→a [f(x) . g(x)] = limx→a f(x) . limx→a g(x) = L . M
3) limx→a [k . f(x)] = k . limx→a f(x) = k . L
4) limx→a [f(x) / g(x)] = limx→a f(x) / limx→a g(x) = L / M, sendo M ≠ 0.
5) Se r e s são inteiros e s ≠ 0., então: (revisar com a professora)
limx→a [f(x)]r/s = [limx→a f(x)]r/s, desde que Lr/s ∈ R.
Exemplo:
Calcule limx→2 √(4x² - 3)
[Res.]
limx→2 √(4x² - 3)
= limx→2 (4x² - 3)1/2
= [limx→2 (4x² - 3)]1/2
= [limx→2 4x² - limx→2 3]1/2
= [4 . limx→2 x² - limx→2 3]1/2
= [4 . (limx→2 x)² - limx→2 3]1/2
= [4 . (2)² - 3]1/2
= [4 . 4 - 3]1/2
= [16 - 3]1/2
= [13]1/2
= √13
Exercícios:
Suponha que limx→0 f(x) = 1 e limx→0 g(x) = -5.
Usando as propriedades dos limites, calcule:
limx→0 {[2 . f(x) - g(x)] / [f(x) + 7]2/3}
= [2 . limx→0 f(x) - limx→0 g(x)] / [limx→0 f(x) + limx→0 7]2/3
= [2 . 1 - (-5)] / [1 + 7]2/3
= [2 + 5] / [8]2/3
= [7] / [8]2/3
= 7 / ∛(8²)
= 7 / ∛64
= 7 / ∛(4³)
= 7 / 4
Calcule os seguintes limites:
a) limx→0 (x³ - 2x² + 4x + 8)
[Res.]
limx→0 (x³ - 2x² + 4x + 8)
= limx→0 x³ - limx→0 2x² + limx→0 4x + limx→0 8
= [limx→0 x]³ - [limx→0 2x]² + 4 . limx→0 x + 8
= [0]³ - [2 . limx→0 x]² + 4 . 0 + 8
= 0 - [2 . 0]² + 0 + 8
= 0 - [0]² + 0 + 8
= 0 - 0 + 0 + 8
= 8
b) limr→6 [8 . (r - 5) . (r - 7)]
[Res.]
limr→6 [8 . (r - 5) . (r - 7)]
= limr→6 8 . limr→6 (r - 5) . limr→6 (r - 7)
= limr→6 8 . (limr→6 r - limr→6 5) . (limr→6 r - limr→6 7)
= 8 . (6 - 5) . (6 - 7)
= 8 . (1) . (- 1)
= - 8
c) limy→-3 (5 - y)4/3
[Res.]
limy→-3 (5 - y)4/3
= [limy→-3 (5 - y)]4/3
= [limy→-3 5 - limy→-3 y]4/3
= [5 - (-3)]4/3
= [5 + 3]4/3
= [8]4/3
= ∛(84)
= 8 . ∛8
= 8 . ∛(2³)
= 8 . 2
= 16
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 20 de março de 2019
terça-feira, 19 de março de 2019
Cálculo I - 19/03/2019
Cálculo I - 19/03/2019 (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h36min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 74,44%
Limite
No cálculo e suas aplicações interessa-nos em geral analisar valores de f(x) de uma função f para x que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a.
Precisamos então que f esteja definida em algum intervalo que contenha a para podermos estudar seu comportamento.
Exemplo:
Considere a função f(x) = (x³ - 3x²) / (2x - 6)
O que acontece com f(x) quando x se aproxima de a=3?
* Observe que a=3 não está no domínio de f pois f(3) = 0/0, que é uma expressão indeterminada.
Vamos analisar o comportamento de f(x) para alguns valores próximos de 3 através de uma tabela.
Pela esquerda (3-):
Pela direita (3+):
Logo, à medida em que x se aproxima de a = 3, tanto por valores menores quanto por valores maiores, a função f(x) fica cada vez mais próxima de y = 9/2.
limx→3 f(x)
= limx→3 (x³ - 3x²) / (2x - 6)
= limx→3 [x²(x - 3)] / [2.(x - 3)]
= limx→3 [x²] / [2] = x² / 2 = 3² / 2 = 9 / 2
Exemplo:
Esboce o gráfico da função e determine o limite que se pede em cada caso:
a) f(x) = x + 2
limx→1 f(x)
[Res.]
limx→1 (x + 2) = 1 + 2 = 3
b) g(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) = (x + 2) . (x - 1) / (x - 1) = (x + 2), com x ≠ 1
limx→1 g(x)
[Res.]
limx→1 [(x² + x - 2) / (x - 1)] = x + 2 = 1 + 2 = 3, mas g(1) não existe.
Propriedades dos limites e limites naturais
Teorema 1
Sejam a e c números reais, temos que:
a) limx→a c = x (I)
Neste caso, f(x) = c ∀ x ∈ R. Assim, para todos os valores de x próximos de a temos f(x) = c, ou seja, f(x) está próximo de c.
b) limx→a x = a (II)
Neste caso, à medida em que x se aproxima de a, temos que f(x) também se aproxima de a.
Exemplos:
a) limx→2 5 = 5
b) limx→√3 x = √3
c) limx→𝜋 -3√7 = -3√7
d) limx→-9 x = -9
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h36min
Término da aula: 21h43min
Taxa de aproveitamento: 74,44%
Limite
No cálculo e suas aplicações interessa-nos em geral analisar valores de f(x) de uma função f para x que estejam próximos de um número a, mas que não sejam necessariamente iguais a a.
Precisamos então que f esteja definida em algum intervalo que contenha a para podermos estudar seu comportamento.
Exemplo:
Considere a função f(x) = (x³ - 3x²) / (2x - 6)
O que acontece com f(x) quando x se aproxima de a=3?
* Observe que a=3 não está no domínio de f pois f(3) = 0/0, que é uma expressão indeterminada.
Vamos analisar o comportamento de f(x) para alguns valores próximos de 3 através de uma tabela.
Pela esquerda (3-):
| x | f(x) |
|---|---|
| 2,9 | 4,205 |
| 2,99 | 4,497 |
| 2,99999 | 4,49997 |
| 3- | 9/2 |
Pela direita (3+):
| x | f(x) |
|---|---|
| 3,1 | 4,805 |
| 3,001 | 4,5030005 |
| 3,00001 | 4,50003 |
| 3+ | 9/2 |
Logo, à medida em que x se aproxima de a = 3, tanto por valores menores quanto por valores maiores, a função f(x) fica cada vez mais próxima de y = 9/2.
limx→3 f(x)
= limx→3 (x³ - 3x²) / (2x - 6)
= limx→3 [x²(x - 3)] / [2.(x - 3)]
= limx→3 [x²] / [2] = x² / 2 = 3² / 2 = 9 / 2
Exemplo:
Esboce o gráfico da função e determine o limite que se pede em cada caso:
a) f(x) = x + 2
limx→1 f(x)
[Res.]
limx→1 (x + 2) = 1 + 2 = 3
 |
| Gráfico de f(x) = x+2 obtido com o GeoGebra. |
b) g(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) = (x + 2) . (x - 1) / (x - 1) = (x + 2), com x ≠ 1
limx→1 g(x)
[Res.]
limx→1 [(x² + x - 2) / (x - 1)] = x + 2 = 1 + 2 = 3, mas g(1) não existe.
 |
| Gráfico de f(x) = (x² + x - 2) / (x - 1) obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Propriedades dos limites e limites naturais
Teorema 1
Sejam a e c números reais, temos que:
a) limx→a c = x (I)
 |
| Gráfico de f(x) = c, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Neste caso, f(x) = c ∀ x ∈ R. Assim, para todos os valores de x próximos de a temos f(x) = c, ou seja, f(x) está próximo de c.
b) limx→a x = a (II)
 |
| Gráfico de f(x) = x, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Neste caso, à medida em que x se aproxima de a, temos que f(x) também se aproxima de a.
Exemplos:
a) limx→2 5 = 5
b) limx→√3 x = √3
c) limx→𝜋 -3√7 = -3√7
d) limx→-9 x = -9
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sábado, 16 de março de 2019
Cálculo I - aula 7 confronto
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - aula 8 tecnicas
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - aula 5 propriedades parte 2
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - aula 4 propriedades parte 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 15 de março de 2019
Disponibilidade
“Os soberanos desta terra nem sempre, nem com facilidade concedem audiência; mas o Rei do céu, ao contrário, escondido debaixo dos véus eucarísticos, está pronto a receber qualquer um… Ficai certos de que de todos os instantes da vossa vida, o tempo que passardes diante do Divino Sacramento será o que vos dará mais força durante a vida, mais consolação na hora da morte e durante a eternidade”.
Santo Afonso de Ligório
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Santo Afonso de Ligório
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - 15/03/2019
Cálculo I - 15/03/2019 (Sexta-feira)
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h52min
Término da aula: 19h58min
Taxa de aproveitamento: 73,33%
Resumo
Exercícios
1) Calcule o valor de y = arcsen(1/2).
[Res.]
Arcoseno(1/2) é o arco cujo seno é 1/2. Seno é 1/2 para o ângulo de 30°.
2) Um cientista deseja avaliar a performance do seu equipamento com a função y = tg (arcsen(1/2)). Calcule y.
[Res.]
arcsen(1/2) = 30°
y = tg (30°) = √3 / 3
sen²(𝛩) + cos²(𝛩) = 1
(1/2)² + cos²(𝛩) = 1
cos²(𝛩) = 1 - 1/4
cos(𝛩) = √3 / 2
Logo:
𝛩 = 30°
3) A primeira aeronave do programa Apolo tinha a forma de um tronco de cone circular reto. Na figura, os raios da base a e b já foram determinados.
Utilize semelhança de triângulos para expressar y como função de h.
[Res.]
b / y = a / (y + h)
y . a = y . b + b . h
y . (a - b) = b . h
y = b . h / (a - b)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h52min
Término da aula: 19h58min
Taxa de aproveitamento: 73,33%
Resumo
| Funções | Inversas |
|---|---|
| seno(𝛩) | Arco seno(𝛩) |
| cosseno(𝛩) | Arco cosseno(𝛩) |
| tangente(𝛩) | Arco tangente(𝛩) |
| secante(𝛩) | Arco secante(𝛩) |
| cossecante(𝛩) | Arco cossecante(𝛩) |
| cotangente(𝛩) | Arco cotangente(𝛩) |
Exercícios
1) Calcule o valor de y = arcsen(1/2).
[Res.]
Arcoseno(1/2) é o arco cujo seno é 1/2. Seno é 1/2 para o ângulo de 30°.
2) Um cientista deseja avaliar a performance do seu equipamento com a função y = tg (arcsen(1/2)). Calcule y.
[Res.]
arcsen(1/2) = 30°
y = tg (30°) = √3 / 3
| Funções / ângulos | 𝜋/6 (30°) |
𝜋/4 (45°) |
𝜋/3 (60°) |
|---|---|---|---|
| sen | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cos | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| tan | √3/3 | 1 | √3 |
sen²(𝛩) + cos²(𝛩) = 1
(1/2)² + cos²(𝛩) = 1
cos²(𝛩) = 1 - 1/4
cos(𝛩) = √3 / 2
Logo:
𝛩 = 30°
3) A primeira aeronave do programa Apolo tinha a forma de um tronco de cone circular reto. Na figura, os raios da base a e b já foram determinados.
 |
| Cone circular, obtido com o Krita. |
Utilize semelhança de triângulos para expressar y como função de h.
[Res.]
b / y = a / (y + h)
y . a = y . b + b . h
y . (a - b) = b . h
y = b . h / (a - b)
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quinta-feira, 14 de março de 2019
Certificado - Especialista - Marcenaria - CPT e UOV
Certificado - Especialista - Marcenaria - CPT e UOV.
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quarta-feira, 13 de março de 2019
Cálculo I - 13/03/2019
Cálculo I - 13/03/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h45min
Taxa de aproveitamento: 72,22%
Função secante e cossecante
Sejam os pontos M(xm, 0) e N(0, yn) interseções da reta t com os eixos x e y.
Definimos:
sec(𝛩) = xm
csc(𝛩) =yn
Podemos mostrar pela semelhança de triângulo:
OPM
OPN
OHP
OPM com OHP:
OM / OP = OP / OH
sec(𝛩) / 1 = 1 / cos(𝛩)
sec(𝛩) = 1 / cos(𝛩)
OPN com OHP:
ON / OP = OP / PH
csc(𝛩) / 1 = 1 / sen(𝛩)
csc(𝛩) = 1 / cos(𝛩)
Função inversa
arcsen √2 / 2 = ?
sen (𝜋 / 4) = √2 / 2
Logo, temos:
sen(x) = √2 / 2
sen (𝜋 / 4) = √2 / 2
Logo:
arcsen √2 / 2 = 𝜋 / 4
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h45min
Taxa de aproveitamento: 72,22%
Função secante e cossecante
 |
| Esquema para entender a função secante e a cossecante, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Sejam os pontos M(xm, 0) e N(0, yn) interseções da reta t com os eixos x e y.
Definimos:
sec(𝛩) = xm
csc(𝛩) =yn
Podemos mostrar pela semelhança de triângulo:
OPM
OPN
OHP
 |
| Semelhança de triângulos na função secante e na cossecante, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
OPM com OHP:
OM / OP = OP / OH
sec(𝛩) / 1 = 1 / cos(𝛩)
sec(𝛩) = 1 / cos(𝛩)
OPN com OHP:
ON / OP = OP / PH
csc(𝛩) / 1 = 1 / sen(𝛩)
csc(𝛩) = 1 / cos(𝛩)
Função inversa
 |
| Ciclo trigonométrico, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
sen (𝜋 / 4) = √2 / 2
Logo, temos:
sen(x) = √2 / 2
sen (𝜋 / 4) = √2 / 2
Logo:
arcsen √2 / 2 = 𝜋 / 4
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terça-feira, 12 de março de 2019
CALC1S2 14 Função Arco Cossecante
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