Protetor de Pólo de Bateria de Carros Wurth

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas

-- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

Gerenciando mudança e transição - Harvard Business Essentials - Organizado pelo professor de MBA Mike Beer

Gerenciando mudança e transição - Harvard Business Essentials - Organizado pelo professor de MBA Mike Beer - 165p. - Leitura finalizada em 19 de Junho de 2018.

Notas minhas:

• Teoria E (abordagem econômica) X Teoria O (abordagem centrada nos recursos organizacionais)
• mudança estrutural, redução de custos, modificação de processos e mudança cultural
• Contratação de consultores:
• Os consultores podem ser:
• consultores especializados
• consultores de processos
• Começar a implementação de mudanças pelas "bordas"
• implantar programas piloto, por exemplo
• Os consultores normalmente seguem o seguinte modus operandi:
• Diagnóstico
• Avaliação de recursos
• Desenvolvimento de estratégia
• Implementação
• Lidar com a resistência
• Outsider interno
• Exemplo: Jack Welch, que era de uma divisão de plásticos da própria GE antes de se tornar o CEO
• Reações às mudanças:
• choque
• negação defensiva
• reconhecimento
• aceitação e adaptação
• Lidar com o estresse (pessoalmente)
• Exercícios físicos
• atividades com amigos
• dormir
• tirar folgas ocasionais
• As mudanças podem ser:
• descontínuas
• grandes mudanças, com grandes períodos entre elas
• contínuas
• pequenas mudanças ocorrendo uma após a outra (Kaizen)

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

Pesquisa Operacional - Exercícios extra classe

Pesquisa Operacional - Exercícios extra classe

Exercícios da página 86, tópico 5 de análise de sensibilidade.
Exercício 1 e Exercício 2.

Faça a Análise de Sensibilidade dos seguintes casos:

1)
Variáveis de decisão:

x₁: quantidade de P1 a ser produzida
x₂: quantidade de P2 a ser produzida

Função objetivo:
Maximizar: Lucro = 100 . x₁ + 120 . x₂

Restrições
R1: 2 . x₁ + 3 . x₂ ≤ 12
R1: 2 . x₁ + 1 . x₂ ≤ 8

Tabela com o resultado:

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	Lucro		pivotagem encerrada
-0,67	0	-1,33	1	0	4
1,67	1	0,33	0	0	5
100	0	40	0	1	600

Resolução:

Como a variável básica é x₂, nós iremos analisar a variação de uma unidade de x₁ nas demais variáveis básicas (S₂, x₂ e Lucro).

Primeira análise (S₂):

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	Lucro		pivotagem encerrada
-0,67	0	-1,33	1	0	4
1,67	1	0,33	0	0	5
100	0	40	0	1	600

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo S₂ será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:
S₂ + (-0,67) = 4
S₂ = 4 + 0,67 = 4,67
Logo, o novo valor de S₂= 4,67

ΔS₂ = 4,67 - 4 = 0,67

Logo, sobrará mais 0,67 unidade do recurso 2.

Segunda análise (x₂):

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	Lucro		pivotagem encerrada
-0,67	0	-1,33	1	0	4
1,67	1	0,33	0	0	5
100	0	40	0	1	600

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo x₂ será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:
x₂ + (1,67) = 5
x₂ = 5 - 1,67 = 3,33
Logo, o novo valor de S₂= 3,33

Δx₂ = 3,33 - 5 = - 1,67

Logo, será produzida -1,67 unidade de x₂.

Terceira análise (Lucro):

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	Lucro		pivotagem encerrada
-0,67	0	-1,33	1	0	4
1,67	1	0,33	0	0	5
100	0	40	0	1	600

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo Lucro será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:
Lucro + 100 = 600
Lucro = 600 - 100 = 500
Logo, o novo valor de Lucro= 500

ΔLucro = 500 - 600 = -100

Logo, para se produzir mais uma unidade de x₁, o lucro será reduzido em 100 unidades monetárias.

Análise do lucro pela fórmula da função objetivo:

Maximizar: Lucro = 100 . x₁ + 120 . x₂
Lucro = 100 . 1 + 120 . 3,33

Lucro = 499,60


2)
Variáveis de decisão:

x₁: quantidade de jaquetas adultas femininas a produzir
x₂: quantidade de jaquetas adultas masculinas a produzir

Função objetivo:
Maximizar: Lucro = 300 . x₁ + 450 . x₂

Restrições
Demanda: x₁ ≤ 120
Demanda: x₂ = 90
Funcionários: 6 . x₁ + 9 . x₂ ≤ 360

Tabela com o resultado:

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	S3	L		pivotagem encerrada
0,67	1	0	0	0,11	0	40
-0,67	0	0	1	-0,11	0	50
1	0	1	0	0	0	120
0	0	0	0	50	1	18000

Como a variável básica é x₂, nós iremos analisar a variação de uma unidade de x₁ nas demais variáveis básicas (x₂, S₁, S₂ e Lucro).

Primeira análise (x₂):

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	S3	L		pivotagem encerrada
0,67	1	0	0	0,11	0	40
-0,67	0	0	1	-0,11	0	50
1	0	1	0	0	0	120
0	0	0	0	50	1	18000

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo x₂ será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:

x₂ + (0,67) = 40
x₂ = 40 - 0,67 = 39,33
Logo, o novo valor de x₂ = 39,33

Δx₂ = 39,33 - 40 = -0,67

Logo, para se produzir uma unidade de x₁, haverá uma redução de 0,67 na produção de x₂.

Segunda análise (S₁):

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	S3	L		pivotagem encerrada
0,67	1	0	0	0,11	0	40
-0,67	0	0	1	-0,11	0	50
1	0	1	0	0	0	120
0	0	0	0	50	1	18000

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo S₁ será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:

S₁ + 1 = 120
S₁ = 120 - 1 = 119
Logo, o novo valor de S₁ = 119

ΔS₁ = 119 - 120 = -1

Logo, para se produzir uma unidade de x₁, haverá uma redução de 1 unidade na sobra do recurso 1.

Terceira análise (S₂):

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	S3	L		pivotagem encerrada
0,67	1	0	0	0,11	0	40
-0,67	0	0	1	-0,11	0	50
1	0	1	0	0	0	120
0	0	0	0	50	1	18000

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo S₂ será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:

S₂ + (-0,67) = 50
S₂ = 50 - 0,67 = 49,33
Logo, o novo valor de S₂ = 49,33

ΔS₂ = 49,33 - 50 = -0,67

Logo, para se produzir uma unidade de x₁, haverá uma redução de 0,67 unidades na sobra do recurso 2.

Terceira análise (Lucro):

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	S3	L		pivotagem encerrada
0,67	1	0	0	0,11	0	40
-0,67	0	0	1	-0,11	0	50
1	0	1	0	0	0	120
0	0	0	0	50	1	18000

Assim (com base na linha em que está o número 1), o valor do novo Lucro será obtido da subtração do valor da última coluna pelo valor de x₁ na linha:

Lucro + (0) = 18000
Lucro = 18000 - 0 = 18000
Logo, o novo valor de Lucro = 18000

ΔLucro = 18000 - 18000 = 0

Logo, para se produzir uma unidade de x₁, não haverá alteração no lucro, ou seja, não haverá nem aumento nem diminuição do lucro.

Análise do lucro pela fórmula da função objetivo:

Maximizar: Lucro = 300 . x₁ + 450 . x₂
Lucro = 300 . 1 + 450 . 39,33

Lucro = 17999,50

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

Pesquisa Operacional - 12/06/2018

Pesquisa Operacional - 12/06/2018

Análise de sensibilidade

Exemplo:

Variáveis de decisão

x₁: quantidade de pizza tamanho "G" a ser produzida.
x₂: quantidade de pizza tamanho "GG" a ser produzida.

Maximizar Lucro = 8 . x₁ + 2 . x₂

Sujeito a:
horas: 2 . x₁ + 3 . x₂  ≤ 12
funcionários: 2 . x₁ + x₂  ≤ 8
demanda x₁: x₁ ≤ 20
demanda x₂: x₂ ≤ 28
não negatividade: x_i ≥ 0

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	S3	S4	L		pivotagem encerrada
0	2	1	-1	0	0	0	4
1	1/2	0	1/2	0	0	0	4
0	-1/2	0	-1/2	1	0	0	16
0	1	0	0	0	1	0	28
0	2	0	4	0	0	1	32

x₁ = 4 (Pizza G)
S₁ = 4 (sobram 4 horas)
S₃ = 16 (Não atende em 16 a demanda "G")
S₄ = 28 (Não atende em 28 a demanda "GG")

Lucro = $ 32,00

1º Passo: calcular a variação em x₁, com a produção de 1 (uma) unidade de x₂.

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	S3	S4	L		pivotagem encerrada
0	2	1	-1	0	0	0	4
1	1/2	0	1/2	0	0	0	4
0	-1/2	0	-1/2	1	0	0	16
0	1	0	0	0	1	0	28
0	2	0	4	0	0	1	32

x₁ + (1/2) = 4
x₁ = 4 - (1/2)
x₁ = 3,5
Logo, novo x₁ = 3,5
Δx₁ = -3,4 - 4

Δx₁ = -0,5

Vai ser produzidade -1/2 pizza G (o que dá menos uma pizza G inteira).

2º Passo: calcular a variação de S₁, com a produção de 1 (uma) unidade de x₂.

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	S3	S4	L		pivotagem encerrada
0	2	1	-1	0	0	0	4
1	1/2	0	1/2	0	0	0	4
0	-1/2	0	-1/2	1	0	0	16
0	1	0	0	0	1	0	28
0	2	0	4	0	0	1	32

S₁ + 2 = 4
S₁ = 4 - 2
S₁ = 2
Logo, novo S₁ = 2
ΔS₁ = 2 - 4

ΔS₁ = -2

Estavam sobrando quatro horas. Agora vão sobrar apenas 2 horas.

3º Passo: calcular a variação de S₃, com a produção de 1 (uma) unidade de x₂.

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	S3	S4	L		pivotagem encerrada
0	2	1	-1	0	0	0	4
1	1/2	0	1/2	0	0	0	4
0	-1/2	0	-1/2	1	0	0	16
0	1	0	0	0	1	0	28
0	2	0	4	0	0	1	32

S₃ + (-1/2) = 16
S₃ = 16 + 1/2
S₃ = 16,5
Logo, novo S₃ = 16,5
ΔS₃ = 16,5 - 16

ΔS₃ = 0,5

4º Passo: calcular a variação de S₄, com a produção de 1 (uma) unidade de x₂.

Matriz Final

X1	X2	S1	S2	S3	S4	L		pivotagem encerrada
0	2	1	-1	0	0	0	4
1	1/2	0	1/2	0	0	0	4
0	-1/2	0	-1/2	1	0	0	16
0	1	0	0	0	1	0	28
0	2	0	4	0	0	1	32

S₄ + 1= 28
S₄ = 28 - 1
S₄ = 27
Logo, novo S₄ = 27
ΔS₄ = 27 - 28

ΔS₄ = -1

5º Passo: calcular a variação no lucro com a produção de 1 (uma) unidade de x₂.

Maximizar Lucro = 8 . x₁ + 2 . x₂

Novo Lucro = 8 . 3,5 + 2 . 1
Novo Lucro = $30,00

ΔLucro = 30 - 32
ΔLucro = - 2,00 $

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Fazer os exercícios da página 86, tópico 5 de análise de sensibilidade.
Exercício 1 e Exercício 2.


Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

Revisão - revisão - para a prova de Estradas de Ferro

Material desenvolvido com base em anotações das Aulas de Estrada de Ferro da UCL (2018/1).

Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria no material de revisão. Obrigado. Bons estudos.

Lucas T R Freitas

lucastrfreitas@gmail.com

Capacidade de uma via singela

Cap = [(1440 - T_m) / (T_i + T_p + 2 . θ)] . Eficiência
onde:
Cap = capacidade diária em pares de trens
1440 = número de minutos do dia
T_m = Tempo diário de manutenção (120 a 240 minutos)
Ef = eficiência da operação (0,75 a 0,85)
T_i = tempo de percurso no sentido ímpar (minutos)
T_p = tempo de percurso no sentido par (minutos)
θ = tempo de licenciamento de um trem (3 a 12 minutos)

Capacidade para uma via dupla

H = t₁ + t₂ + t₃ +t₄
onde:
H = Headway em minutos
t₁ = tempo de percurso do comprimento do trem 1
t₂ = tempo de percurso do circuito da via 1 entre os sinais S₂ amarelo e S₁ vermelho
t₃ = tempo de percurso do circuito da via 2 entre os sinais S₃ verde e S₂ amarelo

t₄ = tempo de percurso da distância de visibilidade de aproximadamente 100 metros até o sinal S₃ verde

Cap = [(1440 - T_m) / (H)] . Eficiência
onde:
Cap = capacidade diária em  pares de trens
T_m = tempo diário de manutenção (120 a 240 minutos)
Ef = eficiência da operação (0,75 a 0,85)
H = Headway em minutos

O cálculo é feito para cada par de circuito da via, e nos dois sentidos, verificando-se qual a seção crítica do trecho por sentido.

Operação em frota

A capacidade é obtida pelo número de ciclos (viagens) possíveis ao longo do dia, multiplicando pelo número de trens de cada ciclo.

Cap = {[(1440 - T_m) . N ] / [(θ₁ + t₁ + (N-1) . H₁) + (θ₂ + t₂ + (N-1) . H₂)]} . Eficência

Explicação parcial:
Parte referente à ida: (θ₁ + t₁ + (N-1) . H₁)
Parte referente à volta: (θ₂ + t₂ + (N-1) . H₂)


Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

Instalação do Scanner Scanjet 200 da HP no Windows 10

Instalação do Scanner Scanjet 200 da HP no Windows 10

Resposta do fórum da HP sobre como instalar:

https://h30487.www3.hp.com/t5/Digitaliza%C3%A7%C3%A3o-fax-e-c%C3%B3pia/scanjet-200-n%C3%A3o-instala-no-windows-10-64bit/td-p/683055

Outros links:

http://www.hpdrivers.net/hp-scanjet-200-driver-download/

https://support.hp.com/br-pt/drivers/selfservice/swdetails/hp-scanjet-200-flatbed-scanner/5251697/swItemId/dp-114097-3

Resolvi o problema da instalação do scanner removendo o antivirus que estava rodando, o Antivir Avira. Aí o Scanner instalou no Windows 10, foi reconhecido e funcionou.

Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."

Resumo - revisão - para a prova de Pesquisa Operacional

Resumo - revisão - para a prova de Pesquisa Operacional

Material desenvolvido com base em anotações das Aulas de Pesquisa Operacional da UCL (2018/1).

Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria no material de revisão. Obrigado. Bons estudos.

Lucas T R Freitas

lucastrfreitas@gmail.com

Casos estudados para aplicação do método da matriz Simplex ("Normal", "Primal e Dual", "Restrições mistas", "Soluções Múltiplas"):

Caso normal

- Características:
*Todas as restrições estão com menor ou igual ("≤")
*O problema é de maximização

Procedimentos

Incluir as variáveis de sobra transformando as restrições de menor ou igual para igual.

- Exemplo: 2 . X₁ + 1 . X₂ ≤ 1000 passa a ser 2 . X₁ + 1 . X₂ + S₁ = 1000 (a variável de sobra preenche o espaço até completar 1000 unidades)
- cada restrição terá uma variável de sobra correspondente (se for inequação)

Acertar a disposição da função objetivo para o modo de inserção na matriz Simplex.
- Exemplo: 45 . X₁ + 30 . X₂ = f passa a ser escrito - 45 . X₁ - 30 . X₂ + f = 0

Preencher a matriz Simplex.
Primeiro coloca-se cada restrição. Na última linha da matriz coloca-se a função objetivo reescrita.
- Exemplo
Matriz A
linha 1 - Restrição 1
linha 2 - Restrição 2
...
última linha - função objetivo (FO)

Pivotar a Matriz
- Olhar na última linha da matriz a entrada mais negativa. Ela será a indicadora da coluna pivô.
- Dividir o último número da direita de cada linha das restrições pelo número da coluna pivô. O menor número encontrado indicará a linha em que a entrada pivô está.
- Deverá ser construída uma nova matriz através da pivotagem. O número da entrada entrada pivô deverá ser transformado em "1" através de uma operação de divisão ou de multiplicação. As demais "entradas" da coluna pivô deverão ser transformadas em "0" a partir do número "1" obtido da entrada pivô anterior.

Exemplo de pivotagem

Matriz A

X1	X2	S1	S2	S3	S4	f		escolha da entrada pivô
2	1	1	0	0	0	0	1000	1000 / 2 = 500
1	1	0	1	0	0	0	800	800 / 1 = 800
1*	0	0	0	1	0	0	400	400 / 1 = 400*
0	1	0	0	0	1	0	700	700 / 0 = não existe
-45	-30	0	0	0	0	1	0

Escolhe-se primeiramente a coluna pivô, a partir da última linha que deverá ter o número mais negativo da linha. Deu -45 na Matriz A.
Depois calcula-se o menor coeficiente positivo dividindo-se a última linha da direita pela coluna pivô. Deu 400 na Matriz A.
Daí encontramos a coluna pivô e a linha pivô. E pode-se começar a pivotagem.

Para construirmos a matriz B seguiremos alguns passos.
Primeiro deve-se fazer a entrada pivô igualar a "1", caso ela já não seja (por meio de operações de multiplicação e divisão). Como na Matriz A a entrada pivô já é "1", a linha dela pode permanecer como está.
A partir da nova entrada pivô, deve-se zerar os demais números da coluna pivô.

Matriz B

cálculo realizado	X1	X2	S1	S2	S3	S4	f		escolha da nova entrada pivô
R1' = -2 . R3 + R1	0	1*	1	0	-2	0	0	200	200 / 1 = 200
R2' = -1 . R3 + R2	0	1	0	1	-1	0	0	400	400 / 1 = 400
linha pivô permanece igual	1	0	0	0	1	0	0	400	400 / 0 = não existe
R4 já era zero: permanece	0	1	0	0	0	1	0	700	700 / 1 = 700
R5' = 45 . R3 + R5	0	-30	0	0	45	0	1	18000

Na matriz B verifica-se que a menor entrada negativa na última linha é o "-30". Daí encontramos a nova coluna pivô.
Calculando-se o coeficiente a partir da última linha da direita, encontramos que o menor coeficiente positivo é o "200". Daí encontramos a nova linha pivô.
Assim a nova entrada pivô é "1". Como ela já é igual a 1, a nova linha pivô permanecerá igual na Matriz C.

Matriz C

cálculo realizado	X1	X2	S1	S2	S3	S4	f		escolha da nova entrada pivô
linha pivô permanece igual	0	1	1	0	-2	0	0	200	200 / -2 = -100
R2'' = -1 . R1' + R2'	0	0	-1	1	1*	0	0	200	200 / 1 = 200*
R3 permanece igual	1	0	0	0	1	0	0	400	400 / 1 = 400
R4' = -1 . R1' + R4	0	0	-1	0	2	1	0	500	500 / 2 = 250
R5'' = 30 . R1' + R5'	0	30	0	0	-15	0	1	24000

Como ainda resta um número negativo na última linha, deve-se novamente realizar o procedimento de pivotagem.
A coluna pivô será a que tem o número mais negativo na última linha: "-15".
A partir do menor coeficiente positivo obtido pela divisão da última coluna da direita pela coluna pivô ("200"), encontra-se a linha pivô. Daí encontra-se a entrada pivô "1".
Como a entrada pivô já é "1", basta repetir a linha pivô e zerar as demais entradas da coluna pivô na pivotagem.

Matriz D

cálculo realizado	X1	X2	S1	S2	S3	S4	f		fim da pivotagem
R2''' = 2 . R2'' + R1'	0	1	-1	2	0	0	0	600	-
linha pivô permanece igual	0	0	-1	1	1	0	0	200	-
R3''' = (-1) . R2'' + R3	1	0	1	-1	0	0	0	200	-
R4'' = (-1) . R2'' + R4'	0	0	1	-2	0	1	0	100	-
R5''' = 15 . R2'' + R5''	0	0	15	15	0	0	1	27000

Como não há mais valores negativos na última linha, e nem na última coluna da direita, a pivotagem está encerrada.
A Matriz D informa o seguinte:

• X₁ = 200 unidades do produto A
• X₂ = 600 unidades do produto B
• Não há sobras dos recursos da restrição 1 e da restrição 2.
• Há sobra de 200 unidades do recurso da restrição 3.
• Há sobra de 100 unidades do recurso da restrição 4.
• A função objetivo é maximizada em 27000 reais.

Caso Primal e Dual

- Características:
*Todas as restrições estão com maior ou igual ("≥")
*O problema é de minimização
*A matriz transposta (Dual, obtida da Primal) poderá possibilitar a resolução do problema pelo método Simplex, transformando o problema para um caso de maximização.

Exemplo:
Minimizar g = 18.y₁ + 12.y₂
Sujeito a:

• 2 . y₁ + y₂ ≥ 8
• 6 . y₁ + 6 . y₂ ≥ 36

Para construir a matriz PRIMAL vamos inserir primeiro as restrições, e na última linha a função objetivo.

Matriz PRIMAL A

y1	y2	__
2	1	8
6	6	36
18	12	g

Realizando-se a transposição obtém a transposta, a Matriz DUAL A^T. Assim, de minimizar g, passamos a maximizar f.

Matriz DUAL A^T

y1	y2	__
2	6	18
1	6	12
8	36	f

Seguindo as linhas da Matriz DUAL A^T, obtém-se as restrições para maximizar f. Nota-se que agora as restrições são escritas com "≤".
Restrições da Matriz Dual:
2 . y₁ + 6. y₂ ≤ 18
1 . y₁ + 6 . y₂ ≤ 12
Função objetivo da Matriz Dual:
8 . y₁ + 36 . y₂ = f

Como a Matriz Dual passou a se tratar de uma função de maximização, precisamos encontrar o valor de f. Procedemos então à adequação das restrições com inserção das variáveis de sobra para a montagem da matriz Simplex.
Restrição 1:
2 . y₁ + 6. y₂ + S₁ = 18
Restrição 2:
1 . y₁ + 6 . y₂ + S₂ = 12

Adequamos também a função objetivo para:

- 8 . y₁ - 36 . y₂ + f = 0

Agora podemos montar a matriz Simplex para tentar solucionar o problema.

Matriz A

Y1	Y2	S1	S2	f		escolha da entrada pivô
2	6	1	0	0	18	18 / 6 = 3
1	6*	0	1	0	12	12 / 6 = 2
-8	-36	0	0	1	0

Encontramos a coluna pivô a partir do número mais negativo da última linha ("-36").
Dividindo-se os números da última coluna da direita pelos números da coluna pivô, encontra-se a linha pivô, indicada pelo menor coeficiente positivo obtido. Daí a entrada pivô será "6".

Iniciamos então a pivotagem da Matriz A, obtendo a Matriz B.

Primeiro é preciso tornar a entrada pivô igual a "1". Depois é preciso zerar os demais números da coluna pivô.

Matriz B

cálculo realizado	Y1	Y2	S1	S2	f		escolha da entrada pivô
R1' = (-6) . R2 + R1	1	0	1	-1	0	6	6 / 1 = 6
R2' = 1/6 . R2	1/6	1	0	1/6	0	2	2 / (1/6) = 12
R3' = (36) . R2' + R3	-2	0	0	6	1	72

A partir do número mais negativo da última linha da matriz B ("-2") encontra-se a nova coluna pivô. Dividindo-se os valores da última coluna da direita pelos da coluna pivô, o menor coeficiente positivo indicará a linha pivô ("6").
Como a nova entrada pivô já é igual a "1", basta repetí-la e zerar os demais números da coluna pivô.

Matriz C

cálculo realizado	Y1	Y2	S1	S2	f		pivotagem encerrada
R1'	1	0	1	-1	0	6	-
R2'' = (-1/6) . R1' + R2'	0	1	-1/6	1/3	0	1	-
R3'' = (2) . R1' + R3'	0	0	2	4	1	84

Como não há mais números negativos na última linha nem na última coluna da matriz C, a pivotagem está encerrada.
A matriz C informa o seguinte, lembrando que estamos lidando com um caso de matriz Primal e Dual:
- Os valores abaixo das variáveis de sobra indicarão os valores das variáveis principais:
Y₁ = 2
Y₂ = 4
f é maximizada em 84, o que significa que g é minimizada em 84.

Restrições mistas

- Características:
*As restrições estão com menor ou igual ("≤") e com maior ou igual ("≥"), ou seja, estão misturadas (mistas)
*O problema pode ser de maximização ou de minimização. Se for de maximização, busca-se encontrar o valor de "f". Se for de minimização, busca-se encontrar o valor de "-f".

Explicação: como o método Simplex maximiza, para encontrarmos o valor de uma minimização (no caso de restrições mistas), iremos maximizar o valor de "-f". Como resultado final, poderemos obter a maximização de "-f", que nos possibilitará encontrar o valor desejado de "f".

Exemplo:

Minimizar f = 3.X + 4.Y
Sujeito a:
X + Y ≥ 20
X + 2.Y ≥ 25
-5.X + Y ≤ 4

Como se trata de um problema de minimização com restrições mistas, deveremos encontrar o valor maximizado de "-f" na matriz Simplex, para depois encontrarmos o valor de "f".
Assim:
3.X + 4.Y - f = 0

As restrições precisam ser passadas para o modo de maximização, que é o modo em que a matriz Simplex trabalha:
Restrição 1 (ajustada):
-X - Y ≤ -20
Restrição 2 (ajustada):
-X - 2 . Y ≤ -25
Restrição 3 (mantida):
-5 . X + Y ≤ 4

Agora, com as restrições ajustadas, inserimos as variáveis de folga, uma para cada restrição:
Restrição 1:
-X - Y + S1 = -20
Restrição 2:
-X - 2 . Y + S2 = -25
Restrição 3:
-5 . X + Y + S3 = 4

Agora está tudo preparado para tentar resolver o problema pela matriz Simplex para maximização. Para montar a matriz Simplex, primeiro entramos com as restrições, e na última linha inserimos a função objetivo.

Matriz A

X1	Y	S1	S2	S3	-f		escolha da entrada pivô
-1	-1	1	0	0	0	-20	linha pivô escolhida
-1	-2	0	1	0	0	-25	-
-5	1	0	0	1	0	4	-
3	4	0	0	0	1	0

Trata-se de um caso especial de pivotagem. Como há números negativos na última coluna da direita, começamos a pivotagem olhando por ela. Vemos que há dois números negativos ("-20" e "-25"). Nesse caso, poderemos escolher qualquer um deles para definir qual será a linha pivô. Vamos escolher o "-20". Falta agora decidir qual será a coluna pivô, que deverá ser escolhida a partir de números negativos na linha pivô. Verificamos que há dois números negativos na linha, todos os dois iguais a "-1". A escolha entre eles é opcional e define qual será a coluna pivô, que será a coluna do número escolhido. Vamos escolher o primeiro para dar início à pivotagem.

Primeiro, tornamos igual a "1" a entrada pivô. Depois zeramos os demais números da coluna pivô.

Matriz B

cálculo realizado	X1	Y	S1	S2	S3	-f		escolha da entrada pivô
R1' = (-1) . R1	1	1	-1	0	0	0	20
R2' = R1' + R2	0	-1	-1	1	0	0	-5	nova linha pivô
R3' = 5 . R1' + R3	0	6	-5	0	1	0	104
R4' = (-3) . R1' + R4	0	1	3	0	0	1	-60

Olhamos então novamente para a última coluna da direita da Matriz A e observamos que existe um número negativo ("-5") na coluna. É importante observar que não consideramos a linha da função objetivo para a análise da última coluna da direita da matriz Simplex.
Daí, o "-5" indica a nova linha pivô. Precisamos agora encontrar a coluna pivô, e temos duas opções, todas iguais a "-1". Vamos escolher a primeira novamente para iniciar a pivotagem.

Devemos realizar o procedimento padrão de tornar a entrada pivô igual a "1" e zerar os demais números da coluna pivô.

Matriz C

cálculo realizado	X1	Y	S1	S2	S3	-f		pivotagem encerrada
R1'' = (-1) . R2'' + R1'	1	0	-2	1	0	0	15
R2'' = (-1) . R2'	0	1	1	-1	0	0	5
R3'' = (-6) . R2'' + R3'	0	0	-11	6	1	0	74
R4'' = (-1) . R2'' + R4'	0	0	2	1	0	1	-65

Como não há mais números negativos na última coluna da direita da Matriz C (excetuando-se a linha da função objetivo), a pivotagem está encerrada.
A Matriz C informa o seguinte:
X₁ = 15 unidades

Y = 5 unidades

Há sobra de 74 unidades do recurso da restrição 3
"-f" é maximizada em "-65", logo f é minimizada em 65

Soluções múltiplas

- Características:
*Todas as restrições estão com menor ou igual ("≤")
*O problema é de maximização
*O coeficiente angular da função objetivo é igual ao coeficiente angular de uma ou mais de uma das restrições.

Exemplo:

Maximizar Z = 2 . X₁ + X₂

Sujeito a:
X₁ + (1/2) . X₂ ≤ 16

X₁ + X₂ ≤ 24

Vamos calcular os coeficientes angulares para ver se existe igualdade entre eles.
- Função objetivo: m = -a/b = -2/1 = -2
- Restrição 1: m = -a/b = -1/(1/2) = -2
- Restrição 2: m = -a/b = -1/1 = -1
Logo, é possível observar que o coeficiente angular da função objetivo é igual ao coeficiente angular da restrição 1. Assim, pode ser que existam múltiplas soluções para o problema.

Vamos prosseguir com a montagem da matriz Simplex.
De Z = 2 . X₁ + X₂ obtemos -2 . X₁ - X₂ + f = 0
Inserindo as variáveis de sobra nas restrições:
Restrição 1:

X₁ + (1/2) . X₂ + S₁ = 16

Restrição 2:
X₁ + X₂ + S₂ = 24

Para montar a matriz Simplex, primeiro inserimos as restrições, e depois a função objetivo.

Matriz A

X1	X2	S1	S2	f		escolha da entrada pivô
1	1/2	1	0	0	16	16 / 1 = 16
1	1	0	1	0	24	24 / 1 = 24
-2	-1	0	0	1	0

Olhando a linha da função objetivo, observa-se que o menor número negativo é o "-2". Daí obtém-se a coluna pivô.
Dividindo-se os números da última coluna da direita pelos números da coluna pivô, o menor coeficiente positivo encontrado indicará a linha pivô ("16").
Agora podemos prosseguir com a pivotagem. Como a entrada pivô já é igual a "1", ela não precisará de ajustes. Basta zerar os demais números da coluna pivô.

Matriz B

cálculo realizado	X1	X2	S1	S2	f		escolha da entrada pivô
linha pivô permanece igual	1	1/2	1	0	0	16	16 / (1/2) = 32
R2' = (-1) . R1 + R2	0	1/2*	-1	1	0	8	8 / (1/2) = 16
R3' = (2) . R1' + R3	0	0	2	0	1	32

Como não há mais nenhum indicador negativo na última linha, isso indica que o valor ótimo de f foi encontrado.
A matriz indica o seguinte:
X₁ = 16 unidades.
X₂ = 0 unidades.
Há sobra de 8 unidades do recurso da restrição 2.
f = 32.

Um detalhe importante é que se uma variável não básica possuir um indicador nulo na última linha (caso de X₂), a coluna com o indicador nulo poderá ser utilizada como coluna pivô para encontrar uma segunda solução.

Assim, vamos prosseguir com a pivotagem

Matriz C

cálculo realizado	X1	X2	S1	S2	f		pivotagem encerrada
R1' = (-1/2) . R2'' + R1	1	0	2	-1	0	8
R2'' = (2) . R2'	0	1	-2	2	0	16
linha permanece igual	0	0	2	0	1	32

Da matriz C pode-se entender o seguinte:
X₁ = 8 unidades.
X₂ = 16 unidades.
Não há sobras de recursos das restrições.
f continua maximizado em 32.

Testando os valores obtidos no método Simplex na Função Objetivo:
Z = 2 . X₁ + X₂
(16, 0): Z = 2 . 16 + 0 = 32
(8, 16): Z = 2 . 8 + 16 = 16 + 16 = 32

Assim, o método Simplex se mostrou capaz de solucionar problemas com soluções múltiplas.


Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."