Mecânica dos Fluidos - Aula 2 - 08/08/2022

Mecânica dos Fluidos - Aula 2 - 08/08/2022 (Segunda-feira)

Capítulo 6 - Escoamento incompressível de fluidos não viscosos

Observação: Aula tem algumas definições que são do capítulo 4 e capítulo 5:

• Capítulo 4: Conservação:
• da massa (CM)
• da quantidade de movimento (CQM)
• Capítulo 5: equações utilizadas para CM e CQM com base nas equações diferenciais

∇ - gradiente 

Obs.: Nabla é um símbolo representado por ∇. O nome está associado a uma palavra grega que designa um instrumento musical (tipo de lira) com uma forma semelhante ao símbolo.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Nabla#:~:text=O%20s%C3%ADmbolo%20nabla%20%E2%80%94%20tamb%C3%A9m%20chamado,opera%C3%A7%C3%A3o%2C%20usava%20esse%20tri%C3%A2ngulo%20invertido.

∇ = ∂/∂x vetor_i + ∂/∂x vetor_j + ∂/∂x vetor_k

ρ . DV / Dt = ρ . g - p . ∇

dP / ρ + V . dV + g . dz = 0

integrando a anterior:

P / ρ + V²/2 + g . z = constante

ou

P + ρ . V²/2 + ρ . g . z = constante

Para fluidos invíscidos (hipóteses):

1) Escoamento em regime permanente

2) Escoamento incompressível

3) Escoamento sem atrito (ou invíscido)

4) Escoamento ao longo de uma linha corrente

ṁ₁ = ṁ₂

ρ . Q₁ = ρ . Q₂

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ = V₂

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₂ + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z₂

onde:

• P₁ = pressão estática
• ρ . V₁² / 2 = pressão dinâmica

Pascal = Pa = N/m² = kg / m² . m / s² = kg / (m . s²)

[M . L^-1 . T^-2]

ρ em kg / m³

kg/m³ . m²/s² = kg / (m . s²)

kg/m³ . m/s² . m = kg / (m . s²)

Pressão de estagnação: quando um fluido em escoamento é desacelerado até a velocidade zero.

Tubo de Pitot (medidor de vazão):

Esquema de Tubo de Pitot
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Tubo_de_Pitot

P₀ + ρ . V₀² / 2 = P + ρ . V² / 2

Como ρ . V₀² / 2 = 0, pois V₀ = 0:

P₀ = P + ρ . V² / 2

Onde P₀ é a pressão de estagnação. Daí:

V = (2 (P₀ - P) / ρ)^(1/2)

V . A = Q

Tomada de pressão estática de escoamento:

Exemplos:

Exemplo 1:

Um tubo de Pitot é inserido em um escoamento de ar (na condição-padrão) para medir a velocidade do escoamento. O tubo é inserido apontando para montante dentro do escoamento de modo que a pressão captada pela sonda é a pressão de estagnação. A pressão estática é medida no mesmo local do escoamento com uma tomada de pressão na parede. Se a diferença de pressão é de 30 mm de mercúrio, determine a velocidade do escoamento.

Dados:

• 𝜌_{𝑎𝑟−𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜} = 1,23 𝑘𝑔/𝑚3
• 𝜌_𝐻𝑔 = 𝜌_{𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜} = 13600 𝑘𝑔/𝑚³.

Resolução:

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₂ + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z₂

P₂ = P₁ + ρ . V₁² / 2

Hipóteses:

1. regime permanente
2. fluido incompressível
3. escoamento ao longo de uma linha de corrente
4. fluido sem atrito
5. z₁ = z₀
6. V₀ = 0

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₀ + ρ . V₀² / 2 + ρ . g . z₀

Como:

• ρ . g . z₁ = ρ . g . z₀
• ρ . V₀² / 2 = 0

Logo:

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₀ + ρ . V₀² / 2 + ρ . g . z₀

Pressão de estagnação:

P₀ = P₁ + ρ . V₁² / 2

Manômetro:

P₂ = P₃

P₀ = ρ_Hg . g . h + P₁

P₁ = ρ_ar . V₁² / 2 = ρ_Hg . g . h + P₁

Velocidade de escoamento:

V₁² = (2 . ρ_Hg . g . h / ρ_ar) ^ (1/2)

V₁² = (2 . 13600 kg/m³ . 9,81 m/s² . 0,03 m / (1,23 kg/m³)) ^ (1/2) = 80,67 m/s

Exemplo 2:

Ar escoa em regime permanente e com baixa velocidade através de um bocal (por definição um equipamento para acelerar um escoamento) horizontal que o descarrega para a atmosfera. Na entrada do bocal, a área é 0,1 m² e, na saída, 0,02 m². Determine a pressão manométrica necessária na entrada do bocal para produzir uma velocidade de saída de 50m/s.

Dados: 𝜌_{𝑎𝑟−𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜} = 1,23 𝑘𝑔/𝑚³.

Resolução:

Hipóteses:

1. regime permanente
2. fluido incompressível
3. escoamento ao longo de uma linha de corrente
4. fluido sem atrito
5. z₁ = z₂
6. P_{2 manométrico} = 0

Lembrete:

Calculando:

P_{1 manométrico} + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P_{2 manométrico} + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₂

Como:

• z₁ = z₂
• P_{2 manométrico} = 0

P_{1 manométrico} + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P_{2 manométrico} + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₂

P_{1 manométrico} + ρ . V₁² / 2 = ρ . V₁² / 2

Como:

Q₁ = Q₂

Logo:

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ = V₂ . A₂ / A₁

P_{1 manométrico} = ρ / 2 . [V₂² - V₁²]

P_{1 manométrico} = ρ / 2 . [V₂² - (V₂ . A₂ / A₁)²]

P_{1 manométrico} = ρ / 2 . [V₂² - V₂² . A₂² / A₁²]

P_{1 manométrico} = 1,23/2 kg/m³ . [50² m²/s² - 50² m²/s². (0,02/0,1)²] = 1476 Pascal

kg / (m . s²)

[M . L^-1 . T^-2]

Exemplo 3:

Um tubo em U atua como um sifão de água. A curvatura no tubo está 1m acima da superfície da água; a saída do tubo está 7 m abaixo da superfície da água. A água sai pela extremidade inferior do sifão como um jato livre para a atmosfera. Determine (após listar as considerações necessárias):

a) a velocidade do jato livre

b) a pressão absoluta mínima da água na curvatura.

Dados:

• 𝜌_{á𝑔𝑢𝑎} = 1000 𝑘𝑔/𝑚3
• 𝑃_𝑎𝑡𝑚 = 101,3 𝑘𝑃𝑎.

Considerar a área do reservatório como muito grande, tendendo ao infinito.

Resolução:

a) 

P₁ = P₂ + ρ . V₂² / 2 - ρ . g . 7

Como:

P₁ = P₂

Logo:

ρ . V₂² / 2 = ρ . g . 7

ρ . V₂² / 2 = ρ . g . 7

V₂² / 2 = g . 7

V₂² = 2 . g . 7 = 14 . g = 14 . 9,81

V₂ = (14 . 9,81) ^ (1/2) = 11,71 m/s

b)

P₁ + ρ_H2O . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P_A + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z_A

Como:

• V₁ = 0
• z₁ = 0
• P₁ = pressão atmosférica

Logo:

P₁ + ρ_H2O . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P_A + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z_A

P₁ = P_A + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z_A

101,3 . 10³ = P_A + 1000 . 11,71² / 2 + 1000 . 9,81 . 1 = 22927,95 Pascal ≈ 23kPa

Pressão Manométrica

P_{A manométrica} = P_A - P_atmosférica

P_{A manométrica} = 22,8 - 101,3 = -78,5kPa

Exemplo 4:

Água escoa sob uma comporta, em um leito horizontal na entrada de um canal. A montante da comporta, a profundidade da água é 0,45 m e a velocidade é desprezível. Na seção contraída (vena contracta) a jusante da comporta, as linhas de corrente são retilíneas e a profundidade é de 50 mm. Determine a velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão em metros cúbicos por segundo por metro de largura.

Resolução:

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₂ + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z₂

Como:

• V₁ = 0
• z₁ = 0

Logo:

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₂ + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z₂

1 atm = 1 atm + 1000 . V₂² / 2 + 1000 . 9,81 . (-0,4)

1 atm = 1 atm + 1000 . V₂² / 2 + 1000 . 9,81 . (-0,4)

1000 . 9,81 . 0,4 = 1000 . V₂² / 2

1000 . 9,81 . 0,4 = 1000 . V₂² / 2

9,81 . 0,8 = V₂²

V₂ = (9,81 . 0,8) ^ (1/2) = 2,80 m/s

Exemplo 5:

Um pequeno avião voa a 150 km/h no ar-padrão (𝜌 = 1,23 𝑘𝑔/𝑚³ a 1 𝑎𝑡𝑚 = 101,3 𝑘𝑃𝑎) em uma altitude de 1000 m. Determine a pressão de estagnação na borda de ataque da asa. Em certo ponto perto da asa, a velocidade do ar relativa à asa é 60 m/s. Calcule a pressão nesse ponto.

Resolução:

Pressão de estagnação:

P₀ = P + ρ . V² / 2

Calculando P (onde P_NM= P_normal) para altitude de 1000m:

P = P_normal . 0,8870 = 101,3 . 10³ . 0,8870 = 89,85 kPa

Calculando ρ (onde ρ_NM= ρ_normal) para altitude de 1000m:

ρ = ρ_normal . 0,9075 = 1,23 . 0,9075 = 1,12 kg/m³

Convertendo a velocidade para m/s:

150 km/h . 1000 m/km . 1 h/60min . 1min/60s = 150 / 3,6 = 41,67m/s

Daí:

P₀ = 89,85 . 10³ + 1,12 . (41,67)² / 2 = 90,82 kPa

Encontrando P_B:

P_ar + ρ . V_ar² / 2 + ρ . g . z_A = P_B + ρ . V_B² / 2 + ρ . g . z_B

Considerando z_A = z_B:

P_ar + ρ . V_ar² / 2 + ρ . g . z_A = P_B + ρ . V_B² / 2 + ρ . g . z_B

89,85 . 10³ + 1,12 . (41,67)²/2 = P_B + 1,12 . 60² / 2

P_B = 88,8 kPa

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.