Mecânica dos Fluidos - Aula 04 - Linha de energia e Linha piezométrica

Mecânica dos Fluidos  - Aula 04 - Linha de energia e Linha piezométrica

Linha de Energia (LE) e Linha Piezométrica (LP)

P / ρ = V² / 2 + g . z = constante

P / (ρ . g) = V² / (2 . g) + z = H

(m/s)² / (m/s²) = (m²/s²) / (m/s²) = m

Força = massa . aceleração = Newton

N / m² / [(kg/m³) . (m/s²)] = [(kg / m²) . (m / s²)] / [(kg/m²) . (m/s²)]

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Linha de Energia

LE = P / (ρ . g) + V² / (2 . g) + z

Obs.: a Linha de Energia pode ser medida usando o tubo de Pitot

h + z = P / (ρ . g) + V² / (2 . g) + z = LE = H, onde:

LE é a soma das pressões estática e dinâmica de escoamento

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Linha Piezométrica (LP)

LP = P / (ρ . g) + z

LE = P / (ρ . g) + V² / (2 . g) + z

LE - LP = V² / (2 . g)

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Exercício de revisão:

Problema 6.49 (FOX 6ª Edição):

Um bocal com diâmetro D = 75mm está acoplado na ponta de uma mangueira de incêndio.

O bocal é de perfil e tem diâmetro de saída d = 25mm. A pressão de projeto na entrada do bocal é P₁ = 689kPa (manométrica).

Avalie a máxima vazão em volume (em m³/h) que este bocal pode fornecer.

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

Q₁ = Q₂

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ . π . D² / 4 = V₂ . π . d² / 4

V₁ = V₂ . d² / D²

Resolvendo:

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

689 . 10³ / 1000 + (V₂ . d² / D²)² / 2 + g . z₁ = 0 / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

Como z₁ = z₂:

689 . 10³ / 1000 + (V₂ . d² / D²)² / 2 = 0 / ρ + V₂² / 2

689 . 10³ / 500 + V₂² . d⁴ / D⁴ = V₂²

V₂² . (1 - d⁴ / D⁴) = 689 . 10³ / 500 = 689 . 1000 / 500 = 689 . 2 / (1 - d⁴ / D⁴)

V₂² = [1378 / (1 - d⁴ / D⁴)] ^ (1/2) = 37,35 m/s

Como Q₂ = A₂ . V₂:

Q₂ = π . d² / 4 . 37,35 = 0,018m³/s

0,018m³/s . 60 s/min . 60 min/h = 64,8 m³/h

Resolução do professor:

Hipóteses:

1. ...
2. ...
3. ...
4. ...
5. z₁ = z₂
6. P_{2manométrica} = 0

Q₁ = Q₂

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ = V₂ . A₂ / A₁

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

P₁ / ρ + (V₂² . A₂²) / (2 . A₁²) = V₂² / 2

V₂² - V₂² . (A₂² / A₁²) = 2 . P₁ / ρ 

V₂² . [1 - (A₂² / A₁²)] = 2 . P₁ / ρ

V₂  = {2 . P₁ / [ρ  . (1 - A₂² / A₁²)]} ^ (1/2)

V₂  = {2 . 689 . 10³ / [1000  . (1 - ((π . 0,025² / 4) / (π . 0,075² / 4))²)]} ^ (1/2) = 37,35271 m/s

Bernoulli:

• Pascal:
  P + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z
• m²/s²:
  P / ρ + V₁² / 2 + g . z
• m:
  P / (ρ .g) + V₁² / (2 . g) + z

Q = V . A = 37,35 m/s . π . 0,025² / 4 m² = 0,018 m³/s

Q = 0,018 m³/s . 3600 s/h = 64,8 m³/h

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Problema 6.63 (FOX, 6ª Edição)

O tanque, de diâmetro 𝐷, tem um orifício arredondado e liso de diâmetro 𝑑. Em 𝑡 = 0, o nível da água está na altura ℎ0. Desenvolva uma expressão para a relação adimensional entre a altura instantânea e a altura inicial de água, ℎ/ℎ0. Não considere que o diâmetro 𝐷 é muito maior que o diâmetro 𝑑.

Resolução:

1° Passo: Encontre uma expressão para a velocidade do tanque

Hipóteses:

1. ...
2. ...
3. ...

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

Considerando P₁ = P₂:

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

V₁² / 2 + g . z₁ = V₂² / 2 + g . z₂

(V₁² - V₂²) / 2 = g . (z₂ - z₁)

V₁ . A₁ = V₂ . A₂ 

V₂ = V₁ . A₁ / A₂ 

1 / 2 . [V₁² - V₁² . (A₁ / A₂)² ] = g . [H - (H + h)]

V₁² [1 - (d₁ / d₂)²] = 2 . g . (H - H - h)

V₁ = {-2 . g . h / [1 - (d₁ / d₂)²]} ^ (1/2) = {2 . g . h / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) = - dh / dt

h^1/2 . {2 . g / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) = - dh / dt

- {2 . g / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) . ∫ dt = ∫ (dh / h^1/2) = ∫ h^-1/2 . dh

Aplicando a regra da potência para integração:

- {2 . g / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) . t = ∫ (dh / h^1/2) = h^{-1/2 + 1} / (-1/2 + 1) + C, onde C é a constante de integração.

- {2 . g / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) . t = ∫ (dh / h^1/2) = h^1/2 / (1/2) + C

- {2 . g / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) . t = ∫ (dh / h^1/2) = 2 . h^1/2 + C

Utilizando a condição de contorno:

• para t = 0, h = h₀, logo:
  C = -2 . h₀^1/2

Observação: estudar o que é condição de contorno.

Condição de contorno: Em matemática, no ramo de equações diferenciais, um problema de valor sobre o contorno é um sistema de equações diferenciais provido de um conjunto de restrições adicionais, as chamadas condições de contorno ou condições de fronteira. Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_sobre_o_contorno

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Exercício em sala para ponto:

Questão 1: Na figura abaixo ambos os fluidos estão a 20°C (ρ_Hg = 13550 kg/m³ e ρ_H2O = 998kg/m³). Se V₁ = 0,52 m/s e as perdas são desprezadas, qual deve ser a leitura do manômetro, h, em cm?

Resolução:

Hipóteses:

1. Regime permanente
2. fluido incompressível
3. escoamento ao longo de uma linha de corrente
4. fluido sem atrito

Q₁ = Q₂

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ = V₂ . A₂ / A₁

V₁ . π . D² / 4 = V₂ . π . d² / 4

V₁ = V₂ . d² / D²

V₂ = V₁ . D² / d²

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

Como z₁ = 0, z₂ = 3, P₂ = 0:

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . 0 = 0 / ρ + V₂² / 2 + g . 3

P₁ / ρ + V₁² / 2 = V₂² / 2 + g . 3

P₁ / ρ + V₁² / 2 = (V₁ . D² / d²)² / 2 + g . 3

P₁ / ρ = (V₁ . D² / d²)² / 2 - V₁² / 2 + g . 3

P₁ = [(V₁ . D² / d²)² / 2 - V₁² / 2 + g . 3] . ρ

P₁ = {1/2 . [(V₁ . D² / d²)² - V₁²] + g . 3} . ρ

P₁ = {1/2 . V₁² . [(D² / d²)² - 1] + g . 3} . ρ

P₁ = {1/2 . V₁² . [(D⁴ / d⁴) - 1] + g . 3} . ρ

P₁ = {1/2 . 0,52² . [(0,075⁴ / 0,025⁴) - 1] + 9,81 . 3} . 998 = 40165,508 Pa

Como ρ_Hg . g . h = ρ_H2O . g . 0,6 + P₁:

13550 . g . h = 998 . g . 0,6 + 40165,508, logo:

h = 0,34635 m

h = 34,635 cm

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.