quinta-feira, 6 de junho de 2019
SDP - Das Lied (feat. Bela B)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
HARRIS & FORD feat. FiNCH ASOZiAL - FREITAG SAMSTAG
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Dido - Thank You (Official Music Video)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 5 de junho de 2019
Cálculo 1 - 05/06/2019
Cálculo 1 - 05/06/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 21h51min
Taxa de aproveitamento: 72/90 = 80%
Produtos indeterminados
Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis tais que:
limx→a f(x) = 0 e limx→a g(x) = ± ∞
O cálculo do limx→a [f(x) . g(x)] nos leva à uma forma indeterminada do tipo ± 0 . ∞.
Podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular tal limite e para isso devemos escrever o produto f . g como um quociente:
f . g = f / (1/g) ou f . g = g / (1/f)
Isso converte o limite na forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞.
Potências indeterminadas
limx→a [f(x)]g(x)
1) Se limx→a f(x) = 1 e limx→a g(x) = ± ∞, temos: 1±∞
2) Se limx→a f(x) = ∞ e limx→a g(x) = 0, temos: ∞0
3) Se limx→a f(x) = 0 e limx→a g(x) = 0, temos: 00
Vamos usar regra de L'Hôpital para resolver limites em situações assim. Para isso, é necessário ajustar a função para ela se encaixar na regra do quociente. Um método para isso é utilizar o logaritmo natural em ambos os membros da equação, o que será apresentado abaixo.
1) Seja y = [f(x)]g(x), usando logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, temos:
ln y = ln [f(x)]g(x)
ln y = g(x) . ln [f(x)]
Observação:
Como ln é uma função contínua, temos que:
limx→a ln y = ln (limx→a y)
* Se limx→a ln y = L, então ln (limx→a y) = L ⇒ limx→a y = eL
* Se limx→a ln y = ∞, então ln (limx→a y) = ∞ ⇒ limx→a y = e∞ = ∞
Exemplo:
limx→0 (x² + 2x)x ∴ Forma indeterminada do tipo: 00.
y = (x² + 2x)x
y = (x² + 2x)x
Aplicando logaritmo natural:
ln y = ln (x² + 2x)x
ln y = x . ln (x² + 2x)
Como ln y = x . ln (x² + 2x), logo:
limx→0 ln y = limx→0 [x . ln (x² + 2x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 0 . (- ∞).
= limx→0 [ln (x² + 2x) / (1/x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: -∞/∞.
Lembrando que:
y = ln u →y' = 1/u . u'
Continuando as derivações:
= limx→0 [ln (x² + 2x) / (1/x)]
= limx→0 {[1/(x² + 2x) . (2x + 2)] / (-1 . x-2)}
= limx→0 {[(2x + 2)/(x² + 2x)] / (-1/x²)} ∴ Forma indeterminada do tipo: 0/0.
= limx→0 [-(2x³ + 2x²)/(x² + 2x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 0/0.
= limx→0 [-(6x² + 4x)/(2x + 2)]
= -0 / 2
= 0
Como limx→0 ln y = 0, logo:
limx→a y = e0 = 1
Exercícios:
Encontro o limite: limx→0 (1 + 3x)1/2x ∴ Forma indeterminada do tipo: 1∞
[Res.]
Para solucionar o limite, aplicaremos o logaritmo natural.
Seja:
y = (1 + 3x)1/(2x)
y = (1 + 3x)1/(2x)
ln y = ln (1 + 3x)1/(2x)
ln y = 1/(2x) . ln (1 + 3x)
Como ln y = 1/(2x) . ln (1 + 3x), logo:
limx→0 ln y = limx→0 [1/(2x) . ln (1 + 3x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 1∞ / 0
= limx→0 [ln (1 + 3x) / (2x)]
= limx→0 {[1 / (1 + 3x) . 3] / (2)}
= limx→0 {[3 / (1 + 3x)] / (2)}
= limx→0 {3 / [2 . (1 + 3x)]}
= limx→0 [3 / (2 + 6x)]
= 3 / (2 + 0)
= 3 / 2
Como limx→0 ln y = 3 / 2, logo:
limx→0 y = e3/2 = √(e³)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 21h51min
Taxa de aproveitamento: 72/90 = 80%
Produtos indeterminados
Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis tais que:
limx→a f(x) = 0 e limx→a g(x) = ± ∞
O cálculo do limx→a [f(x) . g(x)] nos leva à uma forma indeterminada do tipo ± 0 . ∞.
Podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular tal limite e para isso devemos escrever o produto f . g como um quociente:
f . g = f / (1/g) ou f . g = g / (1/f)
Isso converte o limite na forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞.
Potências indeterminadas
limx→a [f(x)]g(x)
1) Se limx→a f(x) = 1 e limx→a g(x) = ± ∞, temos: 1±∞
2) Se limx→a f(x) = ∞ e limx→a g(x) = 0, temos: ∞0
3) Se limx→a f(x) = 0 e limx→a g(x) = 0, temos: 00
Vamos usar regra de L'Hôpital para resolver limites em situações assim. Para isso, é necessário ajustar a função para ela se encaixar na regra do quociente. Um método para isso é utilizar o logaritmo natural em ambos os membros da equação, o que será apresentado abaixo.
1) Seja y = [f(x)]g(x), usando logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, temos:
ln y = ln [f(x)]g(x)
ln y = g(x) . ln [f(x)]
Observação:
Como ln é uma função contínua, temos que:
limx→a ln y = ln (limx→a y)
* Se limx→a ln y = L, então ln (limx→a y) = L ⇒ limx→a y = eL
* Se limx→a ln y = ∞, então ln (limx→a y) = ∞ ⇒ limx→a y = e∞ = ∞
Exemplo:
limx→0 (x² + 2x)x ∴ Forma indeterminada do tipo: 00.
y = (x² + 2x)x
 |
| Gráfico de f(x) = (x² + 2x)x, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
 |
| Gráfico de f(x) = (x² + 2x)x, em detalhe, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
y = (x² + 2x)x
Aplicando logaritmo natural:
ln y = ln (x² + 2x)x
ln y = x . ln (x² + 2x)
 |
| Gráfico de f(x) = x . ln (x² + 2x), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Como ln y = x . ln (x² + 2x), logo:
limx→0 ln y = limx→0 [x . ln (x² + 2x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 0 . (- ∞).
= limx→0 [ln (x² + 2x) / (1/x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: -∞/∞.
Lembrando que:
y = ln u →y' = 1/u . u'
Continuando as derivações:
= limx→0 [ln (x² + 2x) / (1/x)]
= limx→0 {[1/(x² + 2x) . (2x + 2)] / (-1 . x-2)}
= limx→0 {[(2x + 2)/(x² + 2x)] / (-1/x²)} ∴ Forma indeterminada do tipo: 0/0.
= limx→0 [-(2x³ + 2x²)/(x² + 2x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 0/0.
= limx→0 [-(6x² + 4x)/(2x + 2)]
= -0 / 2
= 0
Como limx→0 ln y = 0, logo:
limx→a y = e0 = 1
Exercícios:
Encontro o limite: limx→0 (1 + 3x)1/2x ∴ Forma indeterminada do tipo: 1∞
[Res.]
Para solucionar o limite, aplicaremos o logaritmo natural.
Seja:
y = (1 + 3x)1/(2x)
 |
| Gráfico de f(x) = (1 + 3x)1/(2x), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
y = (1 + 3x)1/(2x)
ln y = ln (1 + 3x)1/(2x)
ln y = 1/(2x) . ln (1 + 3x)
Como ln y = 1/(2x) . ln (1 + 3x), logo:
limx→0 ln y = limx→0 [1/(2x) . ln (1 + 3x)] ∴ Forma indeterminada do tipo: 1∞ / 0
= limx→0 [ln (1 + 3x) / (2x)]
= limx→0 {[1 / (1 + 3x) . 3] / (2)}
= limx→0 {[3 / (1 + 3x)] / (2)}
= limx→0 {3 / [2 . (1 + 3x)]}
= limx→0 [3 / (2 + 6x)]
= 3 / (2 + 0)
= 3 / 2
Como limx→0 ln y = 3 / 2, logo:
limx→0 y = e3/2 = √(e³)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 4 de junho de 2019
Cálculo I - 04/06/2019
Cálculo I - 04/06/2019 - (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h33min
Término da aula: 21h59min
Taxa de aproveitamento: 95,55%
Diferenciais
Até agora dy/dx tem sido visto apenas como uma simples notação para a derivada da função y = f(x).
O que faremos aqui é introduzir duas novas variáveis dx e dy com a propriedade de que, caso a razão dy/dx exista, esta será igual à derivada f '(x).
Definição
Seja y = f(x), onde f é uma função diferenciável e seja ∆x um incremento de x.
* A diferencial dx da variável independente x é: dx = ∆x.
* A diferencial dy da variável independente y é: dy = f '(x) dx
Logo:
dy/dx = f '(x)
Exemplo:
Determine o diferencial dy se y = (x² - 1)1/5.
[Res.]
dy/dx = 1/5 . (x² - 1)-4/5 . 2x
dy = 2x / [5 . (x² - 1)4/5] . dx
Aplicações das derivadas
* Formas indeterminadas e Regra de L'Hôpital
Formas indeterminadas do tipo 0/0 e ∞/∞.
No capítulo 1 tratamos de limites de quocientes tais como:
* limx→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]
* limx→0 [sen (x) / x]
Para resolver estes limites, usamos métodos algébricos, geométricos e trigonométricos, mas esses métodos não resolvem todos os limites que resultam em formas indeterminadas.
O principal instrumento para o estudo destas formas indeterminadas é a regra de L'Hôpital.
Regra de L'Hôpital
Suponha que f e g sejam diferenciáveis e g'(x) ≠ 0. Suponha que f(x) / g(x) tenha forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞ em x = 0.
limx→a [f(x) / g(x)] = limx→a [f '(x) / g'(x)], desde que:
limx→a [f '(x) / g'(x)] exista ou limx→a [f '(x) / g'(x)] = ± ∞.
Observação:
1) A Regra de L'Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas.
2) A Regra de L'Hôpital é válida também para limites laterais.
Exemplo:
Determine, usando a regra de L'Hôpital, os seguintes limites:
1) limx→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]
[Res.]
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: 0/0.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]
= limx→2 [(3 . x²) / 1]
= limx→2 (3 . x²)
= limx→2 3 . limx→2 x²
= 3 . (limx→2 x)²
= 3 . (2)²
= 3 . 2²
= 3 . 4
= 12
2) limx→∞ [(x² - 1) / (2x² + 1)]
[Res.]
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→∞ [(x² - 1) / (2x² + 1)]
= limx→∞ [2x / 4x]
= limx→∞ [2 / 4]
= limx→∞ 2 / limx→∞ 4
= 2/4
= 1/2
3) limx→∞ [(e3x) / (x²)]
[Res.]
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→∞ [(e3x) / (x²)]
= limx→∞ [(e3x . 3) / (2x)]
= limx→∞ [(3 . e3x . 3) / (2)]
= limx→∞ [(9 . e3x) / (2)]
= limx→∞ (9/2 . e3x)
= limx→∞ 9/2 . limx→∞ e3x
= 9/2 . ∞
= + ∞
4) limx→𝜋/2- [(4 . tg(x)) / (1 + sec(x))]
[Res.]
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→𝜋/2- [(4 . tg(x)) / (1 + sec(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . 1 . sec²(x)) / (0 + 1 . sec(x) . tg(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . sec²(x)) / (sec(x) . tg(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . sec(x)) / (tg(x))]
Lembrando que:
sec(x) = 1/cos(x)
tg(x) = sen(x) / cos(x)
Continuando o limite:
limx→𝜋/2- [(4 . sec(x)) / (tg(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . 1/cos(x)) / (sen(x)/cos(x))]
= limx→𝜋/2- [(4/cos(x)) . (cos(x)/sen(x))]
= limx→𝜋/2- [4 / cos(x) . cos(x) / sen(x)]
= limx→𝜋/2- [4 / sen(x)]
= limx→𝜋/2- 4 / limx→𝜋/2- sen(x)
= 4 / 1
= 4
5) limx→0 [(sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1)]
[Res.]
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: 0/0.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→0 [(sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1)]
Lembrando que:
y = sen(u) ⇒ y' = u' . cos (u)
y = cos(u) ⇒ y' = -u' . sen (u)
y = u . v ⇒ y' = u' . v + v' . u
sen(2x) = 2 . sen(x) . cos(x)
Derivando-se o numerador e o denominador, obtém-se:
= limx→0 [(2 . sen(x) . cos(x) - 2 . sen(x)) / (-2 . sen(x) . cos(x) - sen(x) - x . cos(x))]
Porém, ainda encontra-se a forma indeterminada: 0/0. Assim, pode-se proceder a nova derivação do numerador e do denominador.
Antes de proceder às derivações, iremos utilizar a identidade trigonométrica sen(2x) = 2 . sen(x) . cos(x) para facilitar as operações:
= limx→0 [(2 . sen(x) . cos(x) - 2 . sen(x)) / (-2 . sen(x) . cos(x) - sen(x) - x . cos(x))]
= limx→0 [(sen(2x) - 2 . sen(x)) / (-sen(2x) - sen(x) - x . cos(x))]
Procedendo as derivações:
= limx→0 [(sen(2x) - 2 . sen(x)) / (-sen(2x) - sen(x) - x . cos(x))]
= limx→0 [(cos(2x) . 2 - 2 . cos(x)) / (-cos(2x) . 2 - cos(x) - 1 . cos(x) - (-sen(x)) . x)]
= limx→0 [(2 . cos(2x) - 2 . cos(x)) / (-2 . cos(2x) - 2 . cos(x) + x . sen(x))]
Agora é possível calcular o limite da função:
= limx→0 [(2 . cos(2x) - 2 . cos(x)) / (-2 . cos(2x) - 2 . cos(x) + x . sen(x))]
= (2 . 1 - 2 . 1) / (-2 . 1 - 2 . 1 + 0 . 0 )
= (2 - 2) / (-2 -2)
= 0 / (-4)
= 0
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h33min
Término da aula: 21h59min
Taxa de aproveitamento: 95,55%
Diferenciais
Até agora dy/dx tem sido visto apenas como uma simples notação para a derivada da função y = f(x).
O que faremos aqui é introduzir duas novas variáveis dx e dy com a propriedade de que, caso a razão dy/dx exista, esta será igual à derivada f '(x).
Definição
Seja y = f(x), onde f é uma função diferenciável e seja ∆x um incremento de x.
* A diferencial dx da variável independente x é: dx = ∆x.
* A diferencial dy da variável independente y é: dy = f '(x) dx
Logo:
dy/dx = f '(x)
Exemplo:
Determine o diferencial dy se y = (x² - 1)1/5.
[Res.]
dy/dx = 1/5 . (x² - 1)-4/5 . 2x
dy = 2x / [5 . (x² - 1)4/5] . dx
 |
| Exemplo de variação em uma função, obtido com o Krita. |
Aplicações das derivadas
* Formas indeterminadas e Regra de L'Hôpital
Formas indeterminadas do tipo 0/0 e ∞/∞.
No capítulo 1 tratamos de limites de quocientes tais como:
* limx→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]
* limx→0 [sen (x) / x]
Para resolver estes limites, usamos métodos algébricos, geométricos e trigonométricos, mas esses métodos não resolvem todos os limites que resultam em formas indeterminadas.
O principal instrumento para o estudo destas formas indeterminadas é a regra de L'Hôpital.
Regra de L'Hôpital
Suponha que f e g sejam diferenciáveis e g'(x) ≠ 0. Suponha que f(x) / g(x) tenha forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞ em x = 0.
limx→a [f(x) / g(x)] = limx→a [f '(x) / g'(x)], desde que:
limx→a [f '(x) / g'(x)] exista ou limx→a [f '(x) / g'(x)] = ± ∞.
Observação:
1) A Regra de L'Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas.
2) A Regra de L'Hôpital é válida também para limites laterais.
Exemplo:
Determine, usando a regra de L'Hôpital, os seguintes limites:
1) limx→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (x³ - 8) / (x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: 0/0.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→2 [(x³ - 8) / (x - 2)]
= limx→2 [(3 . x²) / 1]
= limx→2 (3 . x²)
= limx→2 3 . limx→2 x²
= 3 . (limx→2 x)²
= 3 . (2)²
= 3 . 2²
= 3 . 4
= 12
2) limx→∞ [(x² - 1) / (2x² + 1)]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (x² - 1) / (2x² + 1), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→∞ [(x² - 1) / (2x² + 1)]
= limx→∞ [2x / 4x]
= limx→∞ [2 / 4]
= limx→∞ 2 / limx→∞ 4
= 2/4
= 1/2
3) limx→∞ [(e3x) / (x²)]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (e3x) / (x²), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→∞ [(e3x) / (x²)]
= limx→∞ [(e3x . 3) / (2x)]
= limx→∞ [(3 . e3x . 3) / (2)]
= limx→∞ [(9 . e3x) / (2)]
= limx→∞ (9/2 . e3x)
= limx→∞ 9/2 . limx→∞ e3x
= 9/2 . ∞
= + ∞
4) limx→𝜋/2- [(4 . tg(x)) / (1 + sec(x))]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (4 . tg(x)) / (1 + sec(x)), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: ∞/∞.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→𝜋/2- [(4 . tg(x)) / (1 + sec(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . 1 . sec²(x)) / (0 + 1 . sec(x) . tg(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . sec²(x)) / (sec(x) . tg(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . sec(x)) / (tg(x))]
Lembrando que:
sec(x) = 1/cos(x)
tg(x) = sen(x) / cos(x)
Continuando o limite:
limx→𝜋/2- [(4 . sec(x)) / (tg(x))]
= limx→𝜋/2- [(4 . 1/cos(x)) / (sen(x)/cos(x))]
= limx→𝜋/2- [(4/cos(x)) . (cos(x)/sen(x))]
= limx→𝜋/2- [4 / cos(x) . cos(x) / sen(x)]
= limx→𝜋/2- [4 / sen(x)]
= limx→𝜋/2- 4 / limx→𝜋/2- sen(x)
= 4 / 1
= 4
5) limx→0 [(sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1)]
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Tentando resolver diretamente encontra-se a forma indeterminada: 0/0.
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→0 [(sen²(x) + 2 . cos(x) - 2) / (cos²(x) - x . sen(x) - 1)]
Lembrando que:
y = sen(u) ⇒ y' = u' . cos (u)
y = cos(u) ⇒ y' = -u' . sen (u)
y = u . v ⇒ y' = u' . v + v' . u
sen(2x) = 2 . sen(x) . cos(x)
Derivando-se o numerador e o denominador, obtém-se:
= limx→0 [(2 . sen(x) . cos(x) - 2 . sen(x)) / (-2 . sen(x) . cos(x) - sen(x) - x . cos(x))]
Porém, ainda encontra-se a forma indeterminada: 0/0. Assim, pode-se proceder a nova derivação do numerador e do denominador.
Antes de proceder às derivações, iremos utilizar a identidade trigonométrica sen(2x) = 2 . sen(x) . cos(x) para facilitar as operações:
= limx→0 [(2 . sen(x) . cos(x) - 2 . sen(x)) / (-2 . sen(x) . cos(x) - sen(x) - x . cos(x))]
= limx→0 [(sen(2x) - 2 . sen(x)) / (-sen(2x) - sen(x) - x . cos(x))]
Procedendo as derivações:
= limx→0 [(sen(2x) - 2 . sen(x)) / (-sen(2x) - sen(x) - x . cos(x))]
= limx→0 [(cos(2x) . 2 - 2 . cos(x)) / (-cos(2x) . 2 - cos(x) - 1 . cos(x) - (-sen(x)) . x)]
= limx→0 [(2 . cos(2x) - 2 . cos(x)) / (-2 . cos(2x) - 2 . cos(x) + x . sen(x))]
Agora é possível calcular o limite da função:
= limx→0 [(2 . cos(2x) - 2 . cos(x)) / (-2 . cos(2x) - 2 . cos(x) + x . sen(x))]
= (2 . 1 - 2 . 1) / (-2 . 1 - 2 . 1 + 0 . 0 )
= (2 - 2) / (-2 -2)
= 0 / (-4)
= 0
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sábado, 1 de junho de 2019
Chain Trimmer Head II- THE BEST BRUSH CUTTER| Disc motocoasa cu lant Rur...
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
10 FASTEST BOATS EVER MADE
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 31 de maio de 2019
Cálculo I - 31/05/2019
Cálculo I - 31/05/2019 (Sexta-feira)
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h59min
Término da aula: 20h18min
Taxa de aproveitamento: 87,77%
Observação: demora frequente para início das aulas. Discussões fora da matéria durante a aula.
Exercícios (taxa)
Um tanque de água tem forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura 4m. Se a água é bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m³/min, encontre a taxa na qual o nível da água está subindo quando a água está a 3m de profundidade.
[Res.]
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . r² . h
Por semelhança de triângulos:
2/4 = r/h
Assim:
r = 2h/4
r = h/2
Encontrando o volume do cone apenas em função do raio:
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . (h/2)² . h
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . h²/4 . h
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . h³/4
Volumecone = 1/12 . 𝜋 . h³
Derivando a função do volume:
Volumecone = 1/12 . 𝜋 . h³
dv/dt = 1/12 . 𝜋 . 3h² . dh/dt
dv/dt = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
Como a taxa de variação do volume é conhecida:
dv/dt = 2m³/min
dv/dt = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
2 = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
8 / (𝜋 . h²) = dh/dt
dh/dt = 8 / (𝜋 . h²)
Quando h = 3m de profundidade, a taxa de variação da altura da água será:
dh/dt = 8 / (𝜋 . h²)
dh/dt = 8 / (𝜋 . 9)
dh/dt = 8 / (9𝜋)
Linearização
Às vezes, podemos aproximar funções complicadas usando funções mais simples que fornecem a precisão desejada para aplicações específicas além de serem mais fáceis de trabalhar.
As linearizações são um tipo de função de aproximação; se baseiam nas retas tangentes.
Exemplo:
Considere a função y = x². A reta tangente ao seu gráfico no ponto P(1, 1) fica perto da curva na vizinhança de P.
Assim, próximos de P, os valores de y ao longo da tangente fornecem uma boa aproximação para os valores de y na curva.
A equação da reta tangente em P(1, 1) é:
y - y0 = m . (x - x0)
y - 1 = m . (x - 1)
Em x = 1, m = 2 . 1 = 2:
y - 1 = 2 . (x - 1)
y = 2x - 2 + 1
y = 2x - 1
Linearização(x) = 2x - 1
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Encontrando a derivada da função y = x²:
y = x²
y' = 2x
y'(1) = 2 . 1 = 2
Se temos x = 1,01:
y(1,01) = (1,01)² = 1,0201
Linearização(x) = 2x - 1
Linearização(1,01) = 2 . (1,01) - 1 = 2,02 - 1 = 1,02
Definição:
Se f é diferenciável em x = a, então a função aproximação é:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Exercícios:
1) Determine a Linearização de f(x) = ∛(x - 2), quando x = 1.
[Res.]
f(x) = ∛(x - 2)
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Como a linearização precisa do valor da função e da derivada da função no ponto em que x = 1:
* Encontrando o valor da função quando x = 1:
f(x) = ∛(x - 2)
f(1) = ∛(x - 2)
= ∛(1 - 2)
= ∛(-1)
= -1
* Encontrando o valor da derivada da função quando x = 1:
f(x) = ∛(x - 2)
f(x) = (x - 2)1/3
f '(x) = 1/3 . (x - 2)-2/3
f '(x) = 1/3 . 1/∛[(x - 2)2]
f '(x) = 1 / {3∛[(x - 2)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[(1 - 2)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[(-1)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[1]}
f '(1) = 1 / {3 . 1}
f '(1) = 1 / {3}
f '(1) = 1 / 3
Encontrando a linearização da função quando x = 1:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Linearização(x) = -1 + 1/3 . (x - 1)
Linearização(x) = -1 + 1/3 . x - 1/3
Linearização(x) = -4/3 + x/3
2) Determine a Linearização de y = ln (1 + x) quando x = 0.
[Res.]
y = ln (1 + x)
Seja y = f(x):
f(x) = ln (1 + x)
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Como a linearização precisa do valor da função e da derivada da função no ponto em que x = 0:
* Encontrando o valor da função quando x = 0:
f(x) = ln (1 + x)
f(0) = ln 1 = 0
* Encontrando o valor da derivada da função quando x = 0:
f(x) = ln (1 + x)
Lembrando que:
f(u) = ln u
f '(u) = 1/u . u'
f(x) = ln (1 + x)
f '(x) = 1 / (1 + x) . 1
f '(x) = 1 / (1 + x)
f '(0) = 1 / (1 + 0)
f '(0) = 1 / 1
f '(0) = 1
Encontrando a linearização da função quando x = 0:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Linearização(x) = 0 + 1 . (x - 0)
Linearização(x) = 1 . (x - 0)
Linearização(x) = x - 0
Linearização(x) = x
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h59min
Término da aula: 20h18min
Taxa de aproveitamento: 87,77%
Observação: demora frequente para início das aulas. Discussões fora da matéria durante a aula.
Exercícios (taxa)
Um tanque de água tem forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura 4m. Se a água é bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m³/min, encontre a taxa na qual o nível da água está subindo quando a água está a 3m de profundidade.
[Res.]
 |
| Esquema do cone circular, obtido com o Krita. |
Por semelhança de triângulos:
2/4 = r/h
Assim:
r = 2h/4
r = h/2
Encontrando o volume do cone apenas em função do raio:
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . (h/2)² . h
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . h²/4 . h
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . h³/4
Volumecone = 1/12 . 𝜋 . h³
Derivando a função do volume:
Volumecone = 1/12 . 𝜋 . h³
dv/dt = 1/12 . 𝜋 . 3h² . dh/dt
dv/dt = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
Como a taxa de variação do volume é conhecida:
dv/dt = 2m³/min
dv/dt = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
2 = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
8 / (𝜋 . h²) = dh/dt
dh/dt = 8 / (𝜋 . h²)
Quando h = 3m de profundidade, a taxa de variação da altura da água será:
dh/dt = 8 / (𝜋 . h²)
dh/dt = 8 / (𝜋 . 9)
dh/dt = 8 / (9𝜋)
Linearização
Às vezes, podemos aproximar funções complicadas usando funções mais simples que fornecem a precisão desejada para aplicações específicas além de serem mais fáceis de trabalhar.
As linearizações são um tipo de função de aproximação; se baseiam nas retas tangentes.
Exemplo:
Considere a função y = x². A reta tangente ao seu gráfico no ponto P(1, 1) fica perto da curva na vizinhança de P.
Assim, próximos de P, os valores de y ao longo da tangente fornecem uma boa aproximação para os valores de y na curva.
 |
| Gráfico de y = x², obtido com o GeoGebra e o Krita. |
y - y0 = m . (x - x0)
y - 1 = m . (x - 1)
Em x = 1, m = 2 . 1 = 2:
y - 1 = 2 . (x - 1)
y = 2x - 2 + 1
y = 2x - 1
Linearização(x) = 2x - 1
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Encontrando a derivada da função y = x²:
y = x²
y' = 2x
y'(1) = 2 . 1 = 2
Se temos x = 1,01:
y(1,01) = (1,01)² = 1,0201
Linearização(x) = 2x - 1
Linearização(1,01) = 2 . (1,01) - 1 = 2,02 - 1 = 1,02
Definição:
Se f é diferenciável em x = a, então a função aproximação é:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Exercícios:
1) Determine a Linearização de f(x) = ∛(x - 2), quando x = 1.
[Res.]
f(x) = ∛(x - 2)
 |
| Gráfico de f(x) = ∛(x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Como a linearização precisa do valor da função e da derivada da função no ponto em que x = 1:
* Encontrando o valor da função quando x = 1:
f(x) = ∛(x - 2)
f(1) = ∛(x - 2)
= ∛(1 - 2)
= ∛(-1)
= -1
* Encontrando o valor da derivada da função quando x = 1:
f(x) = ∛(x - 2)
f(x) = (x - 2)1/3
f '(x) = 1/3 . (x - 2)-2/3
f '(x) = 1/3 . 1/∛[(x - 2)2]
f '(x) = 1 / {3∛[(x - 2)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[(1 - 2)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[(-1)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[1]}
f '(1) = 1 / {3 . 1}
f '(1) = 1 / {3}
f '(1) = 1 / 3
Encontrando a linearização da função quando x = 1:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Linearização(x) = -1 + 1/3 . (x - 1)
Linearização(x) = -1 + 1/3 . x - 1/3
Linearização(x) = -4/3 + x/3
2) Determine a Linearização de y = ln (1 + x) quando x = 0.
[Res.]
y = ln (1 + x)
 |
| Gráfico de y = ln (1 + x), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Seja y = f(x):
f(x) = ln (1 + x)
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Como a linearização precisa do valor da função e da derivada da função no ponto em que x = 0:
* Encontrando o valor da função quando x = 0:
f(x) = ln (1 + x)
f(0) = ln 1 = 0
* Encontrando o valor da derivada da função quando x = 0:
f(x) = ln (1 + x)
Lembrando que:
f(u) = ln u
f '(u) = 1/u . u'
f(x) = ln (1 + x)
f '(x) = 1 / (1 + x) . 1
f '(x) = 1 / (1 + x)
f '(0) = 1 / (1 + 0)
f '(0) = 1 / 1
f '(0) = 1
Encontrando a linearização da função quando x = 0:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Linearização(x) = 0 + 1 . (x - 0)
Linearização(x) = 1 . (x - 0)
Linearização(x) = x - 0
Linearização(x) = x
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quinta-feira, 30 de maio de 2019
goat/sheep fitting/hoof trimming/milking/shearing lift stand
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Técnica de colocación de las Prótesis dental para bovinos Vet 17
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 29 de maio de 2019
Cálculo I - 29/05/2019
Cálculo I - 29/05/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 91,11%
Obs.: muito tempo gasto com texto no quadro. Até hoje não houve um vídeo ou slides na aula. Sugiro usar melhor os recursos multimídia disponíveis em sala de aula. Muito tempo parado durante a aula.
Taxas relacionadas
Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t.
x = f(t).
y = g(t).
Podemos interpretar as derivadas dx/dt e dy/dt como as taxas de variação em relação a t.
Digamos, por exemplo, que x e y estejam relacionados pela equação:
x³ + y² - 2x + 3y + 1 = 0.
Diferenciando a equação implicitamente em relação a t obtemos:
3x² dx/dt + 2y dy/dt + 2 dx/dt + 3 dy/dt = 0.
Esta equação estabelece uma relação entre dx/dt e dy/dt.
Conhecendo uma das taxas podemos usar a equação acima para determinar a outra taxa.
dx/dt e dy/dt são determinadas como taxas relacionadas.
Diretrizes para resolver os problemas de taxas relacionadas:
1) Desenhe a situação (se possível).
2) Dê nome às variáveis.
3) Identifique os dados do problema.
4) Encontre uma relação que relacione as variáveis.
5) Derive a equação encontrada implicitamente em relação a t.
6) Substitua os dados do problema.
Exemplos:
1) Está sendo bombeado ar para dentro de um balcão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm³/s.
Quão rápido o raio do balão está crescendo quando este mede 25cm?
[Res.]
Sabe-se:
dv/dt = 100cm³/s
r = 25cm
Vesfera = 4/3 . 𝜋 . r³
dr/dt = ?
Derivando o volume:
Vesfera = 4/3 . 𝜋 .r³
dv/dt = 4/3 . 𝜋 . 3r² . dr/dt
dv/dt = 4 . 𝜋 . r² . dr/dt
Como r = 25:
dv/dt = 4 . 𝜋 . 25² . dr/dt
Como dv/dt = 100cm³/s:
100 = 4 . 𝜋 . 25² . dr/dt
25 = 𝜋 . 25² . dr/dt
25 / 25² = 𝜋 . dr/dt
1 / 25 = 𝜋 . dr/dt
dr/dt = 1 / (25 . 𝜋) cm/s
2) Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical.
Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede?
[Res.]
Sabe-se:
dx/dt = 1 pé/s
x = 6 pés
Tamanho da escada = 10 pés
No caso de uma parede aprumada:
Como trata-se de um triângulo retângulo (assumindo que a parede esteja no prumo), pode-se aplicar o teorema de pitágoras:
a² + b² = c², onde a e b são os catetos e c é a hipotenusa do triângulo retângulo.
No caso de uma parede inclinada:
Porém, caso considerássemos alguma inclinação da parede, o problema poderia ser solucionado com o teorema dos cossenos, que diz:
"Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles."
Assim, seria:
a² = b² + c² - 2b . c . cos Â
b² = a² + c² - 2a . c . cos B
c² = a² + b² - 2a . b . cos C
Para nossa resolução, vamos assumir que a parede está aprumada. Assim:
x² + y² = 10²
Quando x = 6, y = 8:
6² + y² = 100
y² = 100- 36 = 64
y = ± 8
Como tamanho só pode ser positivo, y = 8.
Assim, quando x = 6, y = 8.
Derivando:
x² + y² = 10²
x² + y² = 100
2x . dx/dt + 2y . dy/dt = 0
2x . 1 + 2y . dy/dt = 0
2x + 2y . dy/dt = 0
2y . dy/dt = -2x
Como x = 6 e y = 8:
2 . 8 . dy/dt = -2 . 6
16 . dy/dt = -12
dy/dt = -12 / 16
dy/dt = -3 / 4 pé/s
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 91,11%
Obs.: muito tempo gasto com texto no quadro. Até hoje não houve um vídeo ou slides na aula. Sugiro usar melhor os recursos multimídia disponíveis em sala de aula. Muito tempo parado durante a aula.
Taxas relacionadas
Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t.
x = f(t).
y = g(t).
Podemos interpretar as derivadas dx/dt e dy/dt como as taxas de variação em relação a t.
Digamos, por exemplo, que x e y estejam relacionados pela equação:
x³ + y² - 2x + 3y + 1 = 0.
Diferenciando a equação implicitamente em relação a t obtemos:
3x² dx/dt + 2y dy/dt + 2 dx/dt + 3 dy/dt = 0.
Esta equação estabelece uma relação entre dx/dt e dy/dt.
Conhecendo uma das taxas podemos usar a equação acima para determinar a outra taxa.
dx/dt e dy/dt são determinadas como taxas relacionadas.
Diretrizes para resolver os problemas de taxas relacionadas:
1) Desenhe a situação (se possível).
2) Dê nome às variáveis.
3) Identifique os dados do problema.
4) Encontre uma relação que relacione as variáveis.
5) Derive a equação encontrada implicitamente em relação a t.
6) Substitua os dados do problema.
Exemplos:
1) Está sendo bombeado ar para dentro de um balcão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm³/s.
Quão rápido o raio do balão está crescendo quando este mede 25cm?
[Res.]
 |
| Esfera de raio r |
dv/dt = 100cm³/s
r = 25cm
Vesfera = 4/3 . 𝜋 . r³
dr/dt = ?
Derivando o volume:
Vesfera = 4/3 . 𝜋 .r³
dv/dt = 4/3 . 𝜋 . 3r² . dr/dt
dv/dt = 4 . 𝜋 . r² . dr/dt
Como r = 25:
dv/dt = 4 . 𝜋 . 25² . dr/dt
Como dv/dt = 100cm³/s:
100 = 4 . 𝜋 . 25² . dr/dt
25 = 𝜋 . 25² . dr/dt
25 / 25² = 𝜋 . dr/dt
1 / 25 = 𝜋 . dr/dt
dr/dt = 1 / (25 . 𝜋) cm/s
2) Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical.
Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede?
[Res.]
 |
| Escada de 10 pés de comprimento apoiada em uma parede |
dx/dt = 1 pé/s
x = 6 pés
Tamanho da escada = 10 pés
No caso de uma parede aprumada:
Como trata-se de um triângulo retângulo (assumindo que a parede esteja no prumo), pode-se aplicar o teorema de pitágoras:
a² + b² = c², onde a e b são os catetos e c é a hipotenusa do triângulo retângulo.
No caso de uma parede inclinada:
Porém, caso considerássemos alguma inclinação da parede, o problema poderia ser solucionado com o teorema dos cossenos, que diz:
"Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles."
Assim, seria:
a² = b² + c² - 2b . c . cos Â
b² = a² + c² - 2a . c . cos B
c² = a² + b² - 2a . b . cos C
Para nossa resolução, vamos assumir que a parede está aprumada. Assim:
x² + y² = 10²
Quando x = 6, y = 8:
6² + y² = 100
y² = 100- 36 = 64
y = ± 8
Como tamanho só pode ser positivo, y = 8.
Assim, quando x = 6, y = 8.
Derivando:
x² + y² = 10²
x² + y² = 100
2x . dx/dt + 2y . dy/dt = 0
2x . 1 + 2y . dy/dt = 0
2x + 2y . dy/dt = 0
2y . dy/dt = -2x
Como x = 6 e y = 8:
2 . 8 . dy/dt = -2 . 6
16 . dy/dt = -12
dy/dt = -12 / 16
dy/dt = -3 / 4 pé/s
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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