sábado, 1 de junho de 2019
Chain Trimmer Head II- THE BEST BRUSH CUTTER| Disc motocoasa cu lant Rur...
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
10 FASTEST BOATS EVER MADE
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 31 de maio de 2019
Cálculo I - 31/05/2019
Cálculo I - 31/05/2019 (Sexta-feira)
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h59min
Término da aula: 20h18min
Taxa de aproveitamento: 87,77%
Observação: demora frequente para início das aulas. Discussões fora da matéria durante a aula.
Exercícios (taxa)
Um tanque de água tem forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura 4m. Se a água é bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m³/min, encontre a taxa na qual o nível da água está subindo quando a água está a 3m de profundidade.
[Res.]
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . r² . h
Por semelhança de triângulos:
2/4 = r/h
Assim:
r = 2h/4
r = h/2
Encontrando o volume do cone apenas em função do raio:
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . (h/2)² . h
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . h²/4 . h
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . h³/4
Volumecone = 1/12 . 𝜋 . h³
Derivando a função do volume:
Volumecone = 1/12 . 𝜋 . h³
dv/dt = 1/12 . 𝜋 . 3h² . dh/dt
dv/dt = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
Como a taxa de variação do volume é conhecida:
dv/dt = 2m³/min
dv/dt = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
2 = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
8 / (𝜋 . h²) = dh/dt
dh/dt = 8 / (𝜋 . h²)
Quando h = 3m de profundidade, a taxa de variação da altura da água será:
dh/dt = 8 / (𝜋 . h²)
dh/dt = 8 / (𝜋 . 9)
dh/dt = 8 / (9𝜋)
Linearização
Às vezes, podemos aproximar funções complicadas usando funções mais simples que fornecem a precisão desejada para aplicações específicas além de serem mais fáceis de trabalhar.
As linearizações são um tipo de função de aproximação; se baseiam nas retas tangentes.
Exemplo:
Considere a função y = x². A reta tangente ao seu gráfico no ponto P(1, 1) fica perto da curva na vizinhança de P.
Assim, próximos de P, os valores de y ao longo da tangente fornecem uma boa aproximação para os valores de y na curva.
A equação da reta tangente em P(1, 1) é:
y - y0 = m . (x - x0)
y - 1 = m . (x - 1)
Em x = 1, m = 2 . 1 = 2:
y - 1 = 2 . (x - 1)
y = 2x - 2 + 1
y = 2x - 1
Linearização(x) = 2x - 1
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Encontrando a derivada da função y = x²:
y = x²
y' = 2x
y'(1) = 2 . 1 = 2
Se temos x = 1,01:
y(1,01) = (1,01)² = 1,0201
Linearização(x) = 2x - 1
Linearização(1,01) = 2 . (1,01) - 1 = 2,02 - 1 = 1,02
Definição:
Se f é diferenciável em x = a, então a função aproximação é:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Exercícios:
1) Determine a Linearização de f(x) = ∛(x - 2), quando x = 1.
[Res.]
f(x) = ∛(x - 2)
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Como a linearização precisa do valor da função e da derivada da função no ponto em que x = 1:
* Encontrando o valor da função quando x = 1:
f(x) = ∛(x - 2)
f(1) = ∛(x - 2)
= ∛(1 - 2)
= ∛(-1)
= -1
* Encontrando o valor da derivada da função quando x = 1:
f(x) = ∛(x - 2)
f(x) = (x - 2)1/3
f '(x) = 1/3 . (x - 2)-2/3
f '(x) = 1/3 . 1/∛[(x - 2)2]
f '(x) = 1 / {3∛[(x - 2)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[(1 - 2)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[(-1)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[1]}
f '(1) = 1 / {3 . 1}
f '(1) = 1 / {3}
f '(1) = 1 / 3
Encontrando a linearização da função quando x = 1:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Linearização(x) = -1 + 1/3 . (x - 1)
Linearização(x) = -1 + 1/3 . x - 1/3
Linearização(x) = -4/3 + x/3
2) Determine a Linearização de y = ln (1 + x) quando x = 0.
[Res.]
y = ln (1 + x)
Seja y = f(x):
f(x) = ln (1 + x)
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Como a linearização precisa do valor da função e da derivada da função no ponto em que x = 0:
* Encontrando o valor da função quando x = 0:
f(x) = ln (1 + x)
f(0) = ln 1 = 0
* Encontrando o valor da derivada da função quando x = 0:
f(x) = ln (1 + x)
Lembrando que:
f(u) = ln u
f '(u) = 1/u . u'
f(x) = ln (1 + x)
f '(x) = 1 / (1 + x) . 1
f '(x) = 1 / (1 + x)
f '(0) = 1 / (1 + 0)
f '(0) = 1 / 1
f '(0) = 1
Encontrando a linearização da função quando x = 0:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Linearização(x) = 0 + 1 . (x - 0)
Linearização(x) = 1 . (x - 0)
Linearização(x) = x - 0
Linearização(x) = x
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h59min
Término da aula: 20h18min
Taxa de aproveitamento: 87,77%
Observação: demora frequente para início das aulas. Discussões fora da matéria durante a aula.
Exercícios (taxa)
Um tanque de água tem forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura 4m. Se a água é bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m³/min, encontre a taxa na qual o nível da água está subindo quando a água está a 3m de profundidade.
[Res.]
 |
| Esquema do cone circular, obtido com o Krita. |
Por semelhança de triângulos:
2/4 = r/h
Assim:
r = 2h/4
r = h/2
Encontrando o volume do cone apenas em função do raio:
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . (h/2)² . h
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . h²/4 . h
Volumecone = 1/3 . 𝜋 . h³/4
Volumecone = 1/12 . 𝜋 . h³
Derivando a função do volume:
Volumecone = 1/12 . 𝜋 . h³
dv/dt = 1/12 . 𝜋 . 3h² . dh/dt
dv/dt = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
Como a taxa de variação do volume é conhecida:
dv/dt = 2m³/min
dv/dt = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
2 = 1/4 . 𝜋 . h² . dh/dt
8 / (𝜋 . h²) = dh/dt
dh/dt = 8 / (𝜋 . h²)
Quando h = 3m de profundidade, a taxa de variação da altura da água será:
dh/dt = 8 / (𝜋 . h²)
dh/dt = 8 / (𝜋 . 9)
dh/dt = 8 / (9𝜋)
Linearização
Às vezes, podemos aproximar funções complicadas usando funções mais simples que fornecem a precisão desejada para aplicações específicas além de serem mais fáceis de trabalhar.
As linearizações são um tipo de função de aproximação; se baseiam nas retas tangentes.
Exemplo:
Considere a função y = x². A reta tangente ao seu gráfico no ponto P(1, 1) fica perto da curva na vizinhança de P.
Assim, próximos de P, os valores de y ao longo da tangente fornecem uma boa aproximação para os valores de y na curva.
 |
| Gráfico de y = x², obtido com o GeoGebra e o Krita. |
y - y0 = m . (x - x0)
y - 1 = m . (x - 1)
Em x = 1, m = 2 . 1 = 2:
y - 1 = 2 . (x - 1)
y = 2x - 2 + 1
y = 2x - 1
Linearização(x) = 2x - 1
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Encontrando a derivada da função y = x²:
y = x²
y' = 2x
y'(1) = 2 . 1 = 2
Se temos x = 1,01:
y(1,01) = (1,01)² = 1,0201
Linearização(x) = 2x - 1
Linearização(1,01) = 2 . (1,01) - 1 = 2,02 - 1 = 1,02
Definição:
Se f é diferenciável em x = a, então a função aproximação é:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Exercícios:
1) Determine a Linearização de f(x) = ∛(x - 2), quando x = 1.
[Res.]
f(x) = ∛(x - 2)
 |
| Gráfico de f(x) = ∛(x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Como a linearização precisa do valor da função e da derivada da função no ponto em que x = 1:
* Encontrando o valor da função quando x = 1:
f(x) = ∛(x - 2)
f(1) = ∛(x - 2)
= ∛(1 - 2)
= ∛(-1)
= -1
* Encontrando o valor da derivada da função quando x = 1:
f(x) = ∛(x - 2)
f(x) = (x - 2)1/3
f '(x) = 1/3 . (x - 2)-2/3
f '(x) = 1/3 . 1/∛[(x - 2)2]
f '(x) = 1 / {3∛[(x - 2)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[(1 - 2)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[(-1)2]}
f '(1) = 1 / {3∛[1]}
f '(1) = 1 / {3 . 1}
f '(1) = 1 / {3}
f '(1) = 1 / 3
Encontrando a linearização da função quando x = 1:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Linearização(x) = -1 + 1/3 . (x - 1)
Linearização(x) = -1 + 1/3 . x - 1/3
Linearização(x) = -4/3 + x/3
2) Determine a Linearização de y = ln (1 + x) quando x = 0.
[Res.]
y = ln (1 + x)
 |
| Gráfico de y = ln (1 + x), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Seja y = f(x):
f(x) = ln (1 + x)
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Como a linearização precisa do valor da função e da derivada da função no ponto em que x = 0:
* Encontrando o valor da função quando x = 0:
f(x) = ln (1 + x)
f(0) = ln 1 = 0
* Encontrando o valor da derivada da função quando x = 0:
f(x) = ln (1 + x)
Lembrando que:
f(u) = ln u
f '(u) = 1/u . u'
f(x) = ln (1 + x)
f '(x) = 1 / (1 + x) . 1
f '(x) = 1 / (1 + x)
f '(0) = 1 / (1 + 0)
f '(0) = 1 / 1
f '(0) = 1
Encontrando a linearização da função quando x = 0:
Linearização(x) = f(a) + f '(a) . (x - a)
Linearização(x) = 0 + 1 . (x - 0)
Linearização(x) = 1 . (x - 0)
Linearização(x) = x - 0
Linearização(x) = x
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quinta-feira, 30 de maio de 2019
goat/sheep fitting/hoof trimming/milking/shearing lift stand
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Técnica de colocación de las Prótesis dental para bovinos Vet 17
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 29 de maio de 2019
Cálculo I - 29/05/2019
Cálculo I - 29/05/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 91,11%
Obs.: muito tempo gasto com texto no quadro. Até hoje não houve um vídeo ou slides na aula. Sugiro usar melhor os recursos multimídia disponíveis em sala de aula. Muito tempo parado durante a aula.
Taxas relacionadas
Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t.
x = f(t).
y = g(t).
Podemos interpretar as derivadas dx/dt e dy/dt como as taxas de variação em relação a t.
Digamos, por exemplo, que x e y estejam relacionados pela equação:
x³ + y² - 2x + 3y + 1 = 0.
Diferenciando a equação implicitamente em relação a t obtemos:
3x² dx/dt + 2y dy/dt + 2 dx/dt + 3 dy/dt = 0.
Esta equação estabelece uma relação entre dx/dt e dy/dt.
Conhecendo uma das taxas podemos usar a equação acima para determinar a outra taxa.
dx/dt e dy/dt são determinadas como taxas relacionadas.
Diretrizes para resolver os problemas de taxas relacionadas:
1) Desenhe a situação (se possível).
2) Dê nome às variáveis.
3) Identifique os dados do problema.
4) Encontre uma relação que relacione as variáveis.
5) Derive a equação encontrada implicitamente em relação a t.
6) Substitua os dados do problema.
Exemplos:
1) Está sendo bombeado ar para dentro de um balcão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm³/s.
Quão rápido o raio do balão está crescendo quando este mede 25cm?
[Res.]
Sabe-se:
dv/dt = 100cm³/s
r = 25cm
Vesfera = 4/3 . 𝜋 . r³
dr/dt = ?
Derivando o volume:
Vesfera = 4/3 . 𝜋 .r³
dv/dt = 4/3 . 𝜋 . 3r² . dr/dt
dv/dt = 4 . 𝜋 . r² . dr/dt
Como r = 25:
dv/dt = 4 . 𝜋 . 25² . dr/dt
Como dv/dt = 100cm³/s:
100 = 4 . 𝜋 . 25² . dr/dt
25 = 𝜋 . 25² . dr/dt
25 / 25² = 𝜋 . dr/dt
1 / 25 = 𝜋 . dr/dt
dr/dt = 1 / (25 . 𝜋) cm/s
2) Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical.
Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede?
[Res.]
Sabe-se:
dx/dt = 1 pé/s
x = 6 pés
Tamanho da escada = 10 pés
No caso de uma parede aprumada:
Como trata-se de um triângulo retângulo (assumindo que a parede esteja no prumo), pode-se aplicar o teorema de pitágoras:
a² + b² = c², onde a e b são os catetos e c é a hipotenusa do triângulo retângulo.
No caso de uma parede inclinada:
Porém, caso considerássemos alguma inclinação da parede, o problema poderia ser solucionado com o teorema dos cossenos, que diz:
"Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles."
Assim, seria:
a² = b² + c² - 2b . c . cos Â
b² = a² + c² - 2a . c . cos B
c² = a² + b² - 2a . b . cos C
Para nossa resolução, vamos assumir que a parede está aprumada. Assim:
x² + y² = 10²
Quando x = 6, y = 8:
6² + y² = 100
y² = 100- 36 = 64
y = ± 8
Como tamanho só pode ser positivo, y = 8.
Assim, quando x = 6, y = 8.
Derivando:
x² + y² = 10²
x² + y² = 100
2x . dx/dt + 2y . dy/dt = 0
2x . 1 + 2y . dy/dt = 0
2x + 2y . dy/dt = 0
2y . dy/dt = -2x
Como x = 6 e y = 8:
2 . 8 . dy/dt = -2 . 6
16 . dy/dt = -12
dy/dt = -12 / 16
dy/dt = -3 / 4 pé/s
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 91,11%
Obs.: muito tempo gasto com texto no quadro. Até hoje não houve um vídeo ou slides na aula. Sugiro usar melhor os recursos multimídia disponíveis em sala de aula. Muito tempo parado durante a aula.
Taxas relacionadas
Suponha que duas variáveis x e y sejam funções de outra variável t.
x = f(t).
y = g(t).
Podemos interpretar as derivadas dx/dt e dy/dt como as taxas de variação em relação a t.
Digamos, por exemplo, que x e y estejam relacionados pela equação:
x³ + y² - 2x + 3y + 1 = 0.
Diferenciando a equação implicitamente em relação a t obtemos:
3x² dx/dt + 2y dy/dt + 2 dx/dt + 3 dy/dt = 0.
Esta equação estabelece uma relação entre dx/dt e dy/dt.
Conhecendo uma das taxas podemos usar a equação acima para determinar a outra taxa.
dx/dt e dy/dt são determinadas como taxas relacionadas.
Diretrizes para resolver os problemas de taxas relacionadas:
1) Desenhe a situação (se possível).
2) Dê nome às variáveis.
3) Identifique os dados do problema.
4) Encontre uma relação que relacione as variáveis.
5) Derive a equação encontrada implicitamente em relação a t.
6) Substitua os dados do problema.
Exemplos:
1) Está sendo bombeado ar para dentro de um balcão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm³/s.
Quão rápido o raio do balão está crescendo quando este mede 25cm?
[Res.]
 |
| Esfera de raio r |
dv/dt = 100cm³/s
r = 25cm
Vesfera = 4/3 . 𝜋 . r³
dr/dt = ?
Derivando o volume:
Vesfera = 4/3 . 𝜋 .r³
dv/dt = 4/3 . 𝜋 . 3r² . dr/dt
dv/dt = 4 . 𝜋 . r² . dr/dt
Como r = 25:
dv/dt = 4 . 𝜋 . 25² . dr/dt
Como dv/dt = 100cm³/s:
100 = 4 . 𝜋 . 25² . dr/dt
25 = 𝜋 . 25² . dr/dt
25 / 25² = 𝜋 . dr/dt
1 / 25 = 𝜋 . dr/dt
dr/dt = 1 / (25 . 𝜋) cm/s
2) Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical.
Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede?
[Res.]
 |
| Escada de 10 pés de comprimento apoiada em uma parede |
dx/dt = 1 pé/s
x = 6 pés
Tamanho da escada = 10 pés
No caso de uma parede aprumada:
Como trata-se de um triângulo retângulo (assumindo que a parede esteja no prumo), pode-se aplicar o teorema de pitágoras:
a² + b² = c², onde a e b são os catetos e c é a hipotenusa do triângulo retângulo.
No caso de uma parede inclinada:
Porém, caso considerássemos alguma inclinação da parede, o problema poderia ser solucionado com o teorema dos cossenos, que diz:
"Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles."
Assim, seria:
a² = b² + c² - 2b . c . cos Â
b² = a² + c² - 2a . c . cos B
c² = a² + b² - 2a . b . cos C
Para nossa resolução, vamos assumir que a parede está aprumada. Assim:
x² + y² = 10²
Quando x = 6, y = 8:
6² + y² = 100
y² = 100- 36 = 64
y = ± 8
Como tamanho só pode ser positivo, y = 8.
Assim, quando x = 6, y = 8.
Derivando:
x² + y² = 10²
x² + y² = 100
2x . dx/dt + 2y . dy/dt = 0
2x . 1 + 2y . dy/dt = 0
2x + 2y . dy/dt = 0
2y . dy/dt = -2x
Como x = 6 e y = 8:
2 . 8 . dy/dt = -2 . 6
16 . dy/dt = -12
dy/dt = -12 / 16
dy/dt = -3 / 4 pé/s
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 28 de maio de 2019
Cálculo I - 28/05/2019
Cálculo I - 28/05/2019 (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Não houve aula - motivo saúde da professora
Taxa de aproveitamento: 0%
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Não houve aula - motivo saúde da professora
Taxa de aproveitamento: 0%
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sábado, 25 de maio de 2019
БЕНЗОПИЛА ИЗ БОЛГАРКИ Я ТАКОГО НЕ ОЖИДАЛ!! РЕАЛЬНЫЙ ТЕСТ!
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 24 de maio de 2019
Lembrete para prova de Cálculo 1
Lembrete para prova de Cálculo 1
Relações de Trigonometria
Relações trigonométricas
sen x = 1 / cosec x
cos x = 1 / sec x
tan x = sen x / cos x = 1 / cot x
cosec x = 1 / sen x
sec x = 1 / cos x
cot x = cos x / sen x = 1 / tan x
Como seno, cosseno e tangente são bem conhecidas, podemos resumir mais:
Relações trigonométricas
cosec x = 1 / sen x
sec x = 1 / cos x
cot x = 1 / tg x
Como a cotangente é o inverso da tangente, e essa é uma relação fácil de lembrar, podemos reduzir ainda mais o resumo:
Relações trigonométricas
cosec x = 1 / sen x
sec x = 1 / cos x
Identidades trigonométricas
sen² x + cos² x = 1
1 + tg² x = sec² x
1 + cotg² x = cosec² x
sen² x = [1 - cos (2x)] / 2
cos² x = [1 + cos (2x)] / 2
sen (2x) = 2 . sen x . cos x
2 . sen x . cos y = sen (x - y) + sen (x + y)
2 . sen x . sen y = cos (x - y) - cos (x + y)
2 . cos x . cos y = cos (x - y) + cos (x + y)
1 ± sen x = 1 ± cos (𝜋/2 - x)
Derivadas
Derivadas básicas
y = un ⇒ y' = n . un-1 . u' (regra básica)
y = u . v ⇒ y' = (regra do produto)
y = u / v ⇒ y' = (regra do quociente)
Derivadas para potências (são todas a mesma coisa - reflita)
y = au ⇒ y' = au . ln a . u', (a>0, a ≠ 1)
Derivadas de logarítmos
y loga u ⇒ y' = u' / u . loga e
Derivadas trigonométricas
y = sen u ⇒ y' = u' . cos u
y = cos u ⇒ y' = -u' . sen u
y = tg u ⇒ y' = u' . sec² u
y = cotg u ⇒ y' = -u' . sec² u
y = sec u ⇒ y' = u' . sec u . tg u
y = cosec u ⇒ y' = -u' . cosec u . cotg u
y = arcsen u ⇒ y' = u' / √(1 - u²)
y = arccos u ⇒ y' = -u / √(1 - u²)
y = arctg u ⇒ y' = u' / (1 + u²)
y = arccotg u ⇒ y' = -u' / (1 + u²)
y = arcsec u, |u| ≥ 1 ⇒ y' = u' / (|u| .√(u² - 1), |u| > 1
y = arccosec u, |u| ≥ 1 ⇒ y' = -u' / (|u| .√(u² - 1), |u| > 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Relações de Trigonometria
Relações trigonométricas
sen x = 1 / cosec x
cos x = 1 / sec x
tan x = sen x / cos x = 1 / cot x
cosec x = 1 / sen x
sec x = 1 / cos x
cot x = cos x / sen x = 1 / tan x
Como seno, cosseno e tangente são bem conhecidas, podemos resumir mais:
Relações trigonométricas
cosec x = 1 / sen x
sec x = 1 / cos x
cot x = 1 / tg x
Como a cotangente é o inverso da tangente, e essa é uma relação fácil de lembrar, podemos reduzir ainda mais o resumo:
Relações trigonométricas
cosec x = 1 / sen x
sec x = 1 / cos x
Identidades trigonométricas
sen² x + cos² x = 1
1 + tg² x = sec² x
1 + cotg² x = cosec² x
sen² x = [1 - cos (2x)] / 2
cos² x = [1 + cos (2x)] / 2
sen (2x) = 2 . sen x . cos x
2 . sen x . cos y = sen (x - y) + sen (x + y)
2 . sen x . sen y = cos (x - y) - cos (x + y)
2 . cos x . cos y = cos (x - y) + cos (x + y)
1 ± sen x = 1 ± cos (𝜋/2 - x)
Derivadas
y = un ⇒ y' = n . un-1 . u' (regra básica)
y = u . v ⇒ y' = (regra do produto)
y = u / v ⇒ y' = (regra do quociente)
Derivadas para potências (são todas a mesma coisa - reflita)
y = au ⇒ y' = au . ln a . u', (a>0, a ≠ 1)
- y = eu ⇒ y' = eu . ln e . u' = eu . u'
Derivadas de logarítmos
y loga u ⇒ y' = u' / u . loga e
- Como loga e = ln e / ln a = 1 / ln a:
y loga u ⇒ y' = u' / u . loga e = u' / u . 1 / ln a = u' / (u . ln a)
Derivadas trigonométricas
y = sen u ⇒ y' = u' . cos u
y = cos u ⇒ y' = -u' . sen u
y = tg u ⇒ y' = u' . sec² u
y = cotg u ⇒ y' = -u' . sec² u
y = sec u ⇒ y' = u' . sec u . tg u
y = cosec u ⇒ y' = -u' . cosec u . cotg u
y = arcsen u ⇒ y' = u' / √(1 - u²)
y = arccos u ⇒ y' = -u / √(1 - u²)
y = arctg u ⇒ y' = u' / (1 + u²)
y = arccotg u ⇒ y' = -u' / (1 + u²)
y = arcsec u, |u| ≥ 1 ⇒ y' = u' / (|u| .√(u² - 1), |u| > 1
y = arccosec u, |u| ≥ 1 ⇒ y' = -u' / (|u| .√(u² - 1), |u| > 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 22 de maio de 2019
Cálculo 1 - 22/05/2019
Cálculo 1 - 22/05/2019
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 22h00min aproximadamente
Taxa de aproveitamento: 82min/90min = 91,11%
Exercícios:
Resolva as derivadas
a) y = elog(3x+1)
Resolução minha
y = elog(3x+1)
Aplicando ln nos termos
ln y = ln elog(3x+1)
ln y = log (3x+1) . ln e
ln y = log (3x+1) . 1
ln y = log (3x+1)
Derivando
1/y . dy/dx = 3/(3x+1) . log e . 3
dy/dx = y . [3/(3x+1) . log e] . 3
dy/dx = elog(3x+1) . [3/(3x+1) . log e] . 3
dy/dx = elog(3x+1) . [9/(3x+1) . log e]
Utilizando as seguintes regras de derivação:
y = ln u ⇒ y' = 1/u . u'
y = log u ⇒ y' = u'/u . loga e
Porém, a professora deseja a resposta obtida a partir das seguintes regras de derivação:
y = eu ⇒ y' = eu . u'
Como a função envolve log, também será necessária a seguinte regra de derivação:
y = loga u ⇒ y' = u'/u . loga e
y = elog(3x+1)
y' = y = elog(3x+1) . 3/(3x+1) . log10 e . 3
y' = y = elog(3x+1) . 9/(3x+1) . log10 e
Observação: o 3 no final é devido à regra da cadeia, da derivação do termo (3x+1).
Mais um adicional:
log10 e = 1/ ln 10
Assim:
y' = y = elog(3x+1) . 9/(3x+1) . log10 e
y' = y = elog(3x+1) . 9/[(3x+1) . ln 10]
Essa era a forma de resposta esperada pela professora.
b) y = 5[2x² . sen(x)]
Resolução minha
Utilizando a seguinte regra de derivação:
y = uv ⇒ y' = v . uv-1 . u' + uv . (ln u) . v'
y = 5[2x² . sen(x)]
y' = [2x² . sen(x)] . 5[2x² . sen(x) - 1] . 0 + 5[2x² . sen(x)] . ln 5 . [4x . sen(x) + cos(x) . 2x²]
y' = 0 + 5[2x² . sen(x)] . ln 5 . [4x . sen(x) + cos(x) . 2x²]
y' = 5[2x² . sen(x)] . ln 5 . [4x . sen(x) + 2x² . cos(x)]
c) y³ + y = x
Resolução por derivação implícita.
3y² dy/dx + dy/dx = 1
dy/dx (3y² + 1) = 1
dy/dx = 1 / (3y² + 1)
d) y = arctg (2x/3) + arccotg (3/2x)
Resolução minha
Utilizando as seguintes regras de derivação:
y = arctg u ⇒ y' = +u' / (1 + u²)
y = arccotg u ⇒ y' = -u' / (1 + u²)
y = arctg (2x/3) + arccotg (3/2x)
y' = +(2/3) / (1 + 4x² / 9) + [-3/2 . (-1) . x-2] / [1 + 9/ (4x²)]
y' = +(2/3) / [(9 + 4x²) / 9] + [3/(2x²)] / [(4x² + 9)/ (4x²)]
y' = +(2/3) . 9 / (9 + 4x²) + 3/(2x²) . (4x²) / (4x² + 9)
y' = +6 / (9 + 4x²) + 6 / (4x² + 9)
y' = +12 / (9 + 4x²)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 22h00min aproximadamente
Taxa de aproveitamento: 82min/90min = 91,11%
Exercícios:
Resolva as derivadas
a) y = elog(3x+1)
Resolução minha
y = elog(3x+1)
Aplicando ln nos termos
ln y = ln elog(3x+1)
ln y = log (3x+1) . ln e
ln y = log (3x+1) . 1
ln y = log (3x+1)
Derivando
1/y . dy/dx = 3/(3x+1) . log e . 3
dy/dx = y . [3/(3x+1) . log e] . 3
dy/dx = elog(3x+1) . [3/(3x+1) . log e] . 3
dy/dx = elog(3x+1) . [9/(3x+1) . log e]
Utilizando as seguintes regras de derivação:
y = ln u ⇒ y' = 1/u . u'
y = log u ⇒ y' = u'/u . loga e
Porém, a professora deseja a resposta obtida a partir das seguintes regras de derivação:
y = eu ⇒ y' = eu . u'
Como a função envolve log, também será necessária a seguinte regra de derivação:
y = loga u ⇒ y' = u'/u . loga e
y = elog(3x+1)
y' = y = elog(3x+1) . 3/(3x+1) . log10 e . 3
y' = y = elog(3x+1) . 9/(3x+1) . log10 e
Observação: o 3 no final é devido à regra da cadeia, da derivação do termo (3x+1).
Mais um adicional:
log10 e = 1/ ln 10
Assim:
y' = y = elog(3x+1) . 9/(3x+1) . log10 e
y' = y = elog(3x+1) . 9/[(3x+1) . ln 10]
Essa era a forma de resposta esperada pela professora.
b) y = 5[2x² . sen(x)]
Resolução minha
Utilizando a seguinte regra de derivação:
y = uv ⇒ y' = v . uv-1 . u' + uv . (ln u) . v'
y = 5[2x² . sen(x)]
y' = [2x² . sen(x)] . 5[2x² . sen(x) - 1] . 0 + 5[2x² . sen(x)] . ln 5 . [4x . sen(x) + cos(x) . 2x²]
y' = 0 + 5[2x² . sen(x)] . ln 5 . [4x . sen(x) + cos(x) . 2x²]
y' = 5[2x² . sen(x)] . ln 5 . [4x . sen(x) + 2x² . cos(x)]
c) y³ + y = x
Resolução por derivação implícita.
3y² dy/dx + dy/dx = 1
dy/dx (3y² + 1) = 1
dy/dx = 1 / (3y² + 1)
d) y = arctg (2x/3) + arccotg (3/2x)
Resolução minha
Utilizando as seguintes regras de derivação:
y = arctg u ⇒ y' = +u' / (1 + u²)
y = arccotg u ⇒ y' = -u' / (1 + u²)
y = arctg (2x/3) + arccotg (3/2x)
y' = +(2/3) / (1 + 4x² / 9) + [-3/2 . (-1) . x-2] / [1 + 9/ (4x²)]
y' = +(2/3) / [(9 + 4x²) / 9] + [3/(2x²)] / [(4x² + 9)/ (4x²)]
y' = +(2/3) . 9 / (9 + 4x²) + 3/(2x²) . (4x²) / (4x² + 9)
y' = +6 / (9 + 4x²) + 6 / (4x² + 9)
y' = +12 / (9 + 4x²)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 21 de maio de 2019
Cálculo 1 - 21/05/2019
Cálculo 1 - 21/05/2019
Terça-feira
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: aproximadamente 20h30min
Encerramento: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 100% aproximadamente
Exercícios
Resolva as derivadas abaixo:
a) y = sen(x) . cos(x)
Resolução minha:
y' = cos(x) . cos(x) + (-sen(x)) . sen(x)
y' = cos²(x) - sen²(x)
b) y = x³/3 . ln (x) - x³/9
Resolução minha:
y' = x² . ln(x) + 1/x . 1 . x³/3 - 1/3 . x²
y' = x² . ln(x) + x²/3 - x²/3
y' = x² . ln(x)
c) y = 8 . sen(x) . cos(x) . tg8(x) / √x
Resolução minha:
y = 8 . sen(x) . cos(x) . tg8(x) . x-1/2
1/y . dy/dx = 1/8 . 0 + 1/sen(x) . cos(x) + 1/cos(x) . (-sen(x)) + 8 . 1/tg(x) . 1 . sec²(x) - 1/2x . 1
1/y . dy/dx = cos(x)/sen(x) - sen(x)/cos(x) + 8 sec²(x)/tg(x) - 1/(2x)
dy/dx = 8 . sen(x) . cos(x) . tg8(x) / √x . {cotg(x) - tg(x) + 8 / [sen(x).cos(x)] - 1/(2x)}
2) Encontre:
∂f/∂x e ∂f/∂y
f(x,y) = (x³ + y²) / (x² + y²)
Resolução minha:
∂f/∂x
∂f/∂x = [3x² . (x² + y²) - 2x . (x³ + y²)] / (x² + y²)²
∂f/∂x = [3x4 + 3x²y² - 2x4 - 2xy²] / (x² + y²)²
∂f/∂x = [x4 + 3x²y² - 2xy²] / (x² + y²)²
∂f/∂y
∂f/∂y = [2y . (x² + y²) - 2y . (x³ + y²)] / (x² + y²)²
∂f/∂y = [2x²y + 2y3 - 2yx³ - 2y³] / (x² + y²)²
∂f/∂y = [2x²y - 2yx³] / (x² + y²)²
3) Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais, usando limite.
f(x) = √(x² + 1) / (3x - 5)
Lembrando que:
* assíntota vertical ocorre quando o denominador = 0.
* assíntotas horizontais tem que aplicar o limite para ∞ e para -∞.
Resolução minha:
Material de apoio para resolução da questão:
http://www.alessandrosantos.com.br/emanuel/usp/calculo1/Assintota.PDF
Assíntota vertical
Igualando o denominador 3x-5 a 0:
3x-5 = 0
x = 5/3
Calculando o limite para x igual a 5/3 pela direita:
limx→5/3+ √(x² + 1) / (3x - 5) = +∞
Calculando o limite para x igual a 5/3 pela esquerda:
limx→5/3- √(x² + 1) / (3x - 5) = -∞
Como os limites da função pela esquerda e pela direita com x tendendo a 5/3 foram para o infinito positivo e negativo, podemos concluir que x = 5/3 é uma assíntota vertical da função.
Assíntota horizontal
Para encontrar a assíntota horizontal é necessário verificar o comportamento da função quando ela tende a +∞ e a -∞.
Calculando os limites quando a função tende a +∞ e a -∞:
f(x) = √(x² + 1) / (3x - 5)
Do jeito que está, é difícil calcular o limite da função. Modificando a função para facilitar as operações:
f(x) = √(x² + 1) / (3x - 5)
f(x) = √[x²(1 + 1/x²)] / [x(3 - 5/x)]
f(x) = ± x√(1 + 1/x²) / [x(3 - 5/x)]
f(x) = ± √(1 + 1/x²) / (3 - 5/x)
Calculando os limites quando a função tende a +∞:
limx→+∞ √(x² + 1) / (3x - 5)
= limx→+∞ √[x²(1 + 1/x²)] / [x(3 - 5/x)]
= limx→+∞ ± x√(1 + 1/x²) / [x(3 - 5/x)]
= limx→+∞ ± √(1 + 1/x²) / (3 - 5/x) = ± 1/3
Calculando os limites quando a função tende a -∞:
limx→-∞ √(x² + 1) / (3x - 5)
= limx→-∞ √[x²(1 + 1/x²)] / [x(3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± x√(1 + 1/x²) / [x(3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± √(1 + 1/x²) / (3 - 5/x) = ± 1/3
A partir dos limites calculados, é possível observar que a função apresenta duas assíntotas horizontais:
y = 1/3 e y = -1/3.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Terça-feira
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: aproximadamente 20h30min
Encerramento: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 100% aproximadamente
Exercícios
Resolva as derivadas abaixo:
a) y = sen(x) . cos(x)
Resolução minha:
y' = cos(x) . cos(x) + (-sen(x)) . sen(x)
y' = cos²(x) - sen²(x)
b) y = x³/3 . ln (x) - x³/9
Resolução minha:
y' = x² . ln(x) + 1/x . 1 . x³/3 - 1/3 . x²
y' = x² . ln(x) + x²/3 - x²/3
y' = x² . ln(x)
c) y = 8 . sen(x) . cos(x) . tg8(x) / √x
Resolução minha:
y = 8 . sen(x) . cos(x) . tg8(x) . x-1/2
1/y . dy/dx = 1/8 . 0 + 1/sen(x) . cos(x) + 1/cos(x) . (-sen(x)) + 8 . 1/tg(x) . 1 . sec²(x) - 1/2x . 1
1/y . dy/dx = cos(x)/sen(x) - sen(x)/cos(x) + 8 sec²(x)/tg(x) - 1/(2x)
dy/dx = 8 . sen(x) . cos(x) . tg8(x) / √x . {cotg(x) - tg(x) + 8 / [sen(x).cos(x)] - 1/(2x)}
2) Encontre:
∂f/∂x e ∂f/∂y
f(x,y) = (x³ + y²) / (x² + y²)
Resolução minha:
∂f/∂x
∂f/∂x = [3x² . (x² + y²) - 2x . (x³ + y²)] / (x² + y²)²
∂f/∂x = [3x4 + 3x²y² - 2x4 - 2xy²] / (x² + y²)²
∂f/∂x = [x4 + 3x²y² - 2xy²] / (x² + y²)²
∂f/∂y
∂f/∂y = [2y . (x² + y²) - 2y . (x³ + y²)] / (x² + y²)²
∂f/∂y = [2x²y + 2y3 - 2yx³ - 2y³] / (x² + y²)²
∂f/∂y = [2x²y - 2yx³] / (x² + y²)²
3) Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais, usando limite.
f(x) = √(x² + 1) / (3x - 5)
Lembrando que:
* assíntota vertical ocorre quando o denominador = 0.
* assíntotas horizontais tem que aplicar o limite para ∞ e para -∞.
Resolução minha:
Material de apoio para resolução da questão:
http://www.alessandrosantos.com.br/emanuel/usp/calculo1/Assintota.PDF
Assíntota vertical
Igualando o denominador 3x-5 a 0:
3x-5 = 0
x = 5/3
Calculando o limite para x igual a 5/3 pela direita:
limx→5/3+ √(x² + 1) / (3x - 5) = +∞
Calculando o limite para x igual a 5/3 pela esquerda:
limx→5/3- √(x² + 1) / (3x - 5) = -∞
Como os limites da função pela esquerda e pela direita com x tendendo a 5/3 foram para o infinito positivo e negativo, podemos concluir que x = 5/3 é uma assíntota vertical da função.
Assíntota horizontal
Para encontrar a assíntota horizontal é necessário verificar o comportamento da função quando ela tende a +∞ e a -∞.
Calculando os limites quando a função tende a +∞ e a -∞:
f(x) = √(x² + 1) / (3x - 5)
Do jeito que está, é difícil calcular o limite da função. Modificando a função para facilitar as operações:
f(x) = √(x² + 1) / (3x - 5)
f(x) = √[x²(1 + 1/x²)] / [x(3 - 5/x)]
f(x) = ± x√(1 + 1/x²) / [x(3 - 5/x)]
f(x) = ± √(1 + 1/x²) / (3 - 5/x)
Calculando os limites quando a função tende a +∞:
limx→+∞ √(x² + 1) / (3x - 5)
= limx→+∞ √[x²(1 + 1/x²)] / [x(3 - 5/x)]
= limx→+∞ ± x√(1 + 1/x²) / [x(3 - 5/x)]
= limx→+∞ ± √(1 + 1/x²) / (3 - 5/x) = ± 1/3
Calculando os limites quando a função tende a -∞:
limx→-∞ √(x² + 1) / (3x - 5)
= limx→-∞ √[x²(1 + 1/x²)] / [x(3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± x√(1 + 1/x²) / [x(3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± √(1 + 1/x²) / (3 - 5/x) = ± 1/3
A partir dos limites calculados, é possível observar que a função apresenta duas assíntotas horizontais:
y = 1/3 e y = -1/3.
 |
| Gráfico da função √(x² + 1) / (3x - 5) obtido com o GeoGebra |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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