Lista de Cálculo I - Construindo funções - 01/03/2019 (Sexta-feira)
1) Um aquário aberto em cima, de 45cm de altura, deve ter um volume de 170 litros. Sejam x o comprimento e y a largura da base desse aquário.
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| Esquema do aquário, obtido com o Krita. |
a) Exprima y como função de x.
[Res.]
Lembrando que:
1L = 0,001m³
Volume
paralelepípedo = comprimento . largura . altura
As unidades das dimensões devem ser as mesmas. Aqui utilizaremos o metro.
Volume
aquário = 170L = 0,170m³
Volume
aquário = Volume
paralelepípedo
0,170m³ = comprimento . largura . altura
0,170m³ = x . y . 0,45m
0,170m³ / 0,45m = x . y
0,3777...m² ≈ x . y
Isolando y, obtemos:
y ≈ 0,3777...m² / x
Como x é dado em metros (m), a unidade de y será m²/m = m.
b) Exprima em função de x a área total da superfície de vidro desse aquário.
[Res.]
Como se trata de um aquário, normalmente a parte de cima é aberta. Vamos considerar então que apenas o fundo e as laterais são de vidro, e que a parte superior é descoberta, para a resolução do problema.
Assim:
Área
fundo = x . y
Área
lado menor = y . 0,45m
Área
lado maior = x . 0,45m
Área
total = Área
fundo + 2 . Área
lado menor + 2 . Área
lado maior
Área
total = (x . y) + 2 . (y . 0,45m) + 2 . (x . 0,45m)
Área
total = (x . y) + 0,9 . y + 0,9 . x
Como y ≈ 0,3777...m² / x:
Área
total ≈ (x . 0,3777/x) + 0,9 . 0,3777/x + 0,9 . x
Área
total ≈ 0,3777 + 0,33993/x + 0,9 . x
Como se trata de área, a unidade será m².
2) Um balão de ar quente é liberado à 1h da tarde e sobe verticalmente à razão de 2m/s. Um ponto de observação está situado a 100m do ponto do chão diretamente debaixo do balão. Sendo t o tempo em segundos após 1h da tarde, exprima a distância d do balão ao ponto de observação em função de t.
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| Esquema do balão, obtido com o Krita. |
[Res.]
O primeiro passo para a resolução é relacionar a distância de 100m com o valor de d. Vamos chamar de h a altura que o balão sobe. Podemos utilizar o teorema de Pitágoras:
100² + h² = d² (Equação I)
Agora, vamos utilizar a equação de movimento retilíneo uniforme, dado que a velocidade do balão é constante (sem aceleração). Vamos chamar de h a altura que o balão sobe:
S = S
0 + v . t
h = 0 + 2 . t
h = 2t (Equação II)
Como as duas equações relacionam a altura que o balão sobe, podemos usar a Equação II na Equação I:
h = 2t em 100² + h² = d²:
100² + (2t)² = d²
10000 + 4t² = d²
d = ± √(10000 + 4t²)
Como a distância do balão até o ponto de observação só pode ser positiva:
d = √(10000 + 4t²)
Como se trata de distância, o valor de d será dado em metros (m).
3) Deve-se construir um tanque de aço em forma de um cilindro circular reto de 3m de altura com dois hemisférios nos extremos. O raio r está por determinar. Expresse a área S da superfície do tanque em função de r.
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| Esquema do cilindro, obtido com o Krita. |
[Res.]
Para facilitar a compreensão do exercício, poderemos separar a área total do cilindro em duas partes: uma esfera e um cilindro com as extremidades retas.
Área
cilindro = Área
esfera + Área
cilindro-reto
Área
esfera = 4𝜋r²
Área
cilindro-reto = 2𝜋r . comprimento do cilindro = 2𝜋r . 3 = 6𝜋r
Área
cilindro = Área
esfera + Área
cilindro-reto
Área
cilindro = 4𝜋r² + 6𝜋r
Área
cilindro = 2𝜋r . (2r + 3)
Como se trata de área, o valor da área do cilindro será dado em metros quadrados (m²).
4) O triângulo ABC está inscrito em um semicírculo de diâmetro 15.
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| Esquema do triângulo ABC inscrito no semicírculo, obtido com o Krita. |
a) Se x é o comprimento do lado AC, expresse o comprimento y do lado AB como função de x, e indique seu domínio. (Observe que o ângulo CAB é reto).
[Res.]
Como se trata de um triângulo retângulo, pode-se usar o Teorema de Pitágoras. Assim:
x² + y² = 15²
Isolando y:
y² = 15² - x²
y = ± √(15² - x²)
Como a medida de y só pode ser positiva, por se tratar de comprimento:
y = √(15² - x²)
y = √(225 - x²)
b) Expresse a área do triângulo ABC como função de x.
[Res.]
Área
∆ABC = x . y / 2
Como y = √(225 - x²), logo:
Área
∆ABC = x . √(225 - x²) / 2
5) As posições relativas de uma pista de aeroporto e de uma torre de controle de 6,0m de altura são ilustradas na figura abaixo. A cabeceira da pista está a uma distância perpendicular de 100m da base da torre. Se x é a distância percorrida na pista por um avião, expresse a distância d entre o avião e a torre de controle como função de x.
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| Esquema do avião decolando no aeroporto, obtido com o Krita. |
[Res.]
Pode-se esquematizar a questão com base em dois triângulos retângulos:
* um formado no nível da pista, medindo x, 100m e indo até a quina da torre de controle, com uma distância que chamaremos de y.
* outro formado pela altura da torre (6m), a distância d e distância y do pé da torre até o avião.
Equações:
x² + 100² = y² (Equação I)
6² + y² = d² (Equação II)
Substituindo a Equação I em II:
6² + y² = d²
6² + x² + 100² = d²
36 + x² + 10000 = d²
d² = x² + 10036
d = ±√(x² + 10036)
Como a distância só pode ser positiva:
d = √(x² + 10036)
Como se trata de distância, d será obtido em metros (m).
6) Deve-se construir um abrigo retangular aberto consistindo de dois lados verticais de 1,2m de largura e um teto plano, anexo a um armazém já existente. O teto plano deve ser de lata, que custa R$ 50,00 o metro quadrado, e os dois lados devem ser de compensado, que custa R$ 20,00 o metro quadrado.
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| Esquema do abrigo na entrada do armazém, obtido com o Krita. |
a) Se dispomos de R$ 400,00 para a construção, expresse o comprimento y em função da altura x.
[Res.]
Apesar de ser estranha a ordem do exercício, vamos entendê-la como o seguinte: deve-se gastar os R$ 400,00 na construção do abrigo na entrada do armazém. Nem mais nem menos do que R$ 400,00. Na vida real não deve-se trabalhar assim, pois se deveria considerar o número de pessoas a usar o abrigo, dentre outros fatores, para se chegar às medidas, ao invés de se determinar um valor, e do valor encontrar o tamanho.
Prosseguindo na resolução.
Vamos separar o que será feito de lata, a um custo de R$50,00/m², e o que será feito de compensado, a um custo de R$20,00/m².
Partes de lata:
* teto de medidas 1,20m por y
Partes de compesado:
* os dois lados, de medida 1,20m por x
Como o abrigo é aberto, não vamos considerar nem a frente, nem os fundos, nem o chão.
Assim, o custo total do abrigo será:
Custo
total = custo
lata . (área
lata) + custo
compensado . (área
compensado)
400 = 50 . (1,20 . y) + 2 . 20 . (1,20 . x)
Encontrando y:
400 = 60y + 48x
400 - 48x = 60y
y = (400 - 48x) / 60
Como se trata de uma unidade de comprimento, y será dado em metros.
b) Expresse o volume V em função de x.
[Res.]
Como o exercício está falando do abrigo, vamos calcular o volume do abrigo.
Volume
abrigo = 1,20 . y . x
Como y = (400 - 48x) / 60, logo:
Volume
abrigo = 1,20 . y . x
Volume
abrigo = 1,20 . [(400 - 48x) / 60] . x
Volume
abrigo = 1,20/60 . (400 - 48x) . x
Volume
abrigo = 0,02 . (400 - 48x) . x
Volume
abrigo = (8 - 0,96x) . x
Volume
abrigo = 8x - 0,96x²
Como se trata de uma unidade de volume, o valor será dado em m³.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
