terça-feira, 18 de junho de 2019
Antonio Vivaldi - "Summer" from four seasons
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Festmesse Kirchenchöre St.Joseph St.Albertus Magnus Leverkus
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DIE HIMMEL ERZÄHLEN DIE EHRE GOTTES von Joseph Haydn
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Wolfgang Amadeus Mozart - Laudate Dominum Leverkusen Kirche St.Joseph
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Die göttliche Liturgie - Teil 1 (bis zur 2. Antiphon)
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Katholische Kirchenmusik in Latein Gregorian mittelalterlichen Kirchen
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FAUN - Federkleid (Offizielles Video)
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Greatest Catholic Mass Hymns Of All Time (1)
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Cálculo I -18/06/2019
Cálculo I -18/06/2019 (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h37min
Término da aula: 20h49min
Taxa de aproveitamento: 80%
Observação: demora excessiva para exibir os resultados das provas, o que atrapalha os alunos a se organizarem para os estudos, visto que a matéria é cumulativa para a última prova. Sugestão: entregar os resultados das provas num prazo máximo de duas semanas a partir da avaliação. Também podem ser utilizados recursos multimídia para facilitar a compreensão da matéria pelos alunos.
Continuação:
Exemplo:
1) Determine a concavidade de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.
f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1
f '(x) = 6x² + 2x - 20
f ''(x) = 12x + 2
Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x + 2 = 0
12x = -2
x = -2 / 12
x = -1 / 6
Tomando um número maior que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = 0 > -1/6:
f ''(0) = 2, que é positiva (+), indicando concavidade para cima.
Tomando um número menor que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = -1 < -1/6:
f ''(-1) = 12 . (-1) + 2 = -12 + 2 = -10, que é negativa (-), indicando concavidade para baixo.
Assim, existe um ponto de inflexão, pois a concavidade muda ao longo da função.
Ponto de inflexão
Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão da função f(x).
Condições:
Observe que se um ponto (c, f(c)) do gráfico de f(x) é um ponto de inflexão, então:
a) f(x) é contínua em c.
b) Existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em ]a, c[ e côncavo para baixo em ]c, b[ ou vice-versa.
Exemplo 1:
Os pontos P1, P2, P3 e P5 do gráfico abaixo são pontos de inflexão de f(x).
Exemplo 2:
Mostre que y = x⁴ não possui pontos de inflexão:
y' = 4x³
y'' = 12x²
Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x² = 0
x = 0
Conferindo o gráfico de y = x⁴, mostrando que não há mudança de concavidade na função:
Exercício
Verifique se a função f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7 tem ponto de inflexão.
[Res.]
Assim, com o gráfico da função, já é possível visualizar que ela tem mudanças na concavidade. Portanto, existe o ponto de inflexão.
Agora, verificando os extremos da função, com a derivada primeira:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3 (x² - 2x - 3) = 3 . (x - 3) . (x + 1)
Igualando a derivada primeira a 0, encontram-se os pontos de extremos da função:
f '(x) = 3 . (x - 3) . (x + 1) = 0
x = -1, x = 3.
Agora, para analisar a concavidade, analisa-se o comportamento da derivada segunda:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3
f ''(x) = 6x - 6 = 6 (x - 1)
Igualando a derivada segunda a 0, encontramos um ponto onde pode haver a inflexão da função:
f ''(x) = 6 (x - 1) = 0
x = 1
Agora, vamos analisar o valor ao redor de 1:
f ''(x) = 6 (x - 1)
Fazendo x = 0 < 1:
f ''(0) = 6 (0 - 1) = 6 . (-1) = -6. Logo, antes de x = 1, a derivada segunda é negativa, indicando que a concavidade da função é para baixo.
Fazendo x = 2 > 1:
f ''(2) = 6 (2 - 1) = 6 . (1) = +6. Logo, depois de x = 1, a derivada segunda é positiva, indicando que a concavidade da função é para cima.
Como já tínhamos visto o gráfico, podemos comprovar que a análise das concavidades pelo comportamento da derivada segunda da função se mostrou eficiente.
Exercício:
Determine os extremos de f(x) = -2x³ + 6x² - 3.
[Res.]
Encontrando a derivada primeira:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f '(x) = -6x (x - 2)
Igualando a derivada primeira a 0 encontra-se os extremos da função:
f '(x) = -6x (x - 2) = 0
Logo, x = 0, x = 2.
Encontrando a derivada segunda da função:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f ''(x) = -12x + 12
f ''(x) = -12 (x - 1)
Igualando a derivada segunda a 0 encontra-se o(s) possível(is) ponto(s) de inflexão:
f ''(x) = -12 (x - 1) = 0
Logo, x = 1.
Verificando o comportamento da derivada segunda ao redor de x = 1:
f ''(x) = -12x + 12
Para x = 2 > 1:
f ''(2) = -12 . (2) + 12 = -24 + 12 = -12. Logo, o sinal negativo indica que a concavidade da função é para baixo antes de x = 1.
Para x = 0 < 1:
f ''(0) = -12 . (0) + 12 = 0 + 12 = +12. Logo, o sinal positivo indica que a concavidade da função é para cima depois de x = 1.
Como ocorre a inversão da concavidade ao longo da função, existe um ponto de inflexão na função.
O gráfico de f(x) = -2x³ + 6x² - 3 pode ser visualizado abaixo. Note que a concavidade muda exatamente em x = 1, que é o ponto de inflexão da função, encontrado igualando-se a derivada segunda da função a 0.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h37min
Término da aula: 20h49min
Taxa de aproveitamento: 80%
Observação: demora excessiva para exibir os resultados das provas, o que atrapalha os alunos a se organizarem para os estudos, visto que a matéria é cumulativa para a última prova. Sugestão: entregar os resultados das provas num prazo máximo de duas semanas a partir da avaliação. Também podem ser utilizados recursos multimídia para facilitar a compreensão da matéria pelos alunos.
Continuação:
Exemplo:
1) Determine a concavidade de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.
f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1
f '(x) = 6x² + 2x - 20
f ''(x) = 12x + 2
Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x + 2 = 0
12x = -2
x = -2 / 12
x = -1 / 6
Tomando um número maior que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = 0 > -1/6:
f ''(0) = 2, que é positiva (+), indicando concavidade para cima.
Tomando um número menor que -1/6 para a derivada segunda:
Fazendo x = -1 < -1/6:
f ''(-1) = 12 . (-1) + 2 = -12 + 2 = -10, que é negativa (-), indicando concavidade para baixo.
Assim, existe um ponto de inflexão, pois a concavidade muda ao longo da função.
Ponto de inflexão
Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão da função f(x).
Condições:
Observe que se um ponto (c, f(c)) do gráfico de f(x) é um ponto de inflexão, então:
a) f(x) é contínua em c.
b) Existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em ]a, c[ e côncavo para baixo em ]c, b[ ou vice-versa.
Exemplo 1:
Os pontos P1, P2, P3 e P5 do gráfico abaixo são pontos de inflexão de f(x).
 |
| Exemplo de função com concavidades para cima e para baixo, obtido com o Krita. |
Exemplo 2:
Mostre que y = x⁴ não possui pontos de inflexão:
y' = 4x³
y'' = 12x²
Fazendo a derivada segunda igual a 0:
12x² = 0
x = 0
 |
| Análise da concavidade da função, obtido com o Krita. |
Conferindo o gráfico de y = x⁴, mostrando que não há mudança de concavidade na função:
 |
| Gráfico de y = x⁴, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Exercício
Verifique se a função f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7 tem ponto de inflexão.
[Res.]
 | ||
| Gráfico de f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Agora, verificando os extremos da função, com a derivada primeira:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3 (x² - 2x - 3) = 3 . (x - 3) . (x + 1)
Igualando a derivada primeira a 0, encontram-se os pontos de extremos da função:
f '(x) = 3 . (x - 3) . (x + 1) = 0
x = -1, x = 3.
Agora, para analisar a concavidade, analisa-se o comportamento da derivada segunda:
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 7
f '(x) = 3x² - 6x - 9 = 3
f ''(x) = 6x - 6 = 6 (x - 1)
Igualando a derivada segunda a 0, encontramos um ponto onde pode haver a inflexão da função:
f ''(x) = 6 (x - 1) = 0
x = 1
Agora, vamos analisar o valor ao redor de 1:
f ''(x) = 6 (x - 1)
Fazendo x = 0 < 1:
f ''(0) = 6 (0 - 1) = 6 . (-1) = -6. Logo, antes de x = 1, a derivada segunda é negativa, indicando que a concavidade da função é para baixo.
Fazendo x = 2 > 1:
f ''(2) = 6 (2 - 1) = 6 . (1) = +6. Logo, depois de x = 1, a derivada segunda é positiva, indicando que a concavidade da função é para cima.
Como já tínhamos visto o gráfico, podemos comprovar que a análise das concavidades pelo comportamento da derivada segunda da função se mostrou eficiente.
Exercício:
Determine os extremos de f(x) = -2x³ + 6x² - 3.
[Res.]
Encontrando a derivada primeira:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f '(x) = -6x (x - 2)
Igualando a derivada primeira a 0 encontra-se os extremos da função:
f '(x) = -6x (x - 2) = 0
Logo, x = 0, x = 2.
Encontrando a derivada segunda da função:
f(x) = -2x³ + 6x² - 3
f '(x) = -6x² + 12x
f ''(x) = -12x + 12
f ''(x) = -12 (x - 1)
Igualando a derivada segunda a 0 encontra-se o(s) possível(is) ponto(s) de inflexão:
f ''(x) = -12 (x - 1) = 0
Logo, x = 1.
Verificando o comportamento da derivada segunda ao redor de x = 1:
f ''(x) = -12x + 12
Para x = 2 > 1:
f ''(2) = -12 . (2) + 12 = -24 + 12 = -12. Logo, o sinal negativo indica que a concavidade da função é para baixo antes de x = 1.
Para x = 0 < 1:
f ''(0) = -12 . (0) + 12 = 0 + 12 = +12. Logo, o sinal positivo indica que a concavidade da função é para cima depois de x = 1.
Como ocorre a inversão da concavidade ao longo da função, existe um ponto de inflexão na função.
O gráfico de f(x) = -2x³ + 6x² - 3 pode ser visualizado abaixo. Note que a concavidade muda exatamente em x = 1, que é o ponto de inflexão da função, encontrado igualando-se a derivada segunda da função a 0.
 |
| Gráfico de f(x) = -2x³ + 6x² - 3, obtido com o GeoGebra e com o Krita. |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 14 de junho de 2019
Cálculo I - 14/06/2019
Cálculo I - 14/06/2019 - (Sexta-feira)
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h52min
Término da aula: aproximadamente 20h15min
Taxa de aproveitamento: aproximadamente 92,22%
Observações: a aula pode ser melhorada com a utilização de recursos multimídia e com uso aperfeiçoado do tempo em sala de aula (sugestões: exercícios programados valendo nota, "pré-prova", trabalhos explicando aplicações matemáticas práticas para os temas em discussão).
A forma de um gráfico
Função Crescente / Função Decrescente (Verificada com a Derivada primeira)
Concavidade (Verificada com a Derivada segunda)
Teste da derivada primeira para crescimento e decrescimento
O gráfico abaixo indica que, se o coeficiente angular da tangente é positivo em um intervalo I (aberto), então f é crescente. Da mesma forma, se o coeficiente angular for negativo, então f é decrescente.
Teorema
Se f é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável em ]a, b[:
a) se f '(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é crescente
b) se f '(x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é decrescente
Exemplo:
Seja f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.
a) Determine os extremos locais de f
b) Determine os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente.
c) Esboce o gráfico.
[Res.]
a) f(x) = 2x³ + x² -20x + 1
Derivada Primeira
f '(x) = 6x² + 2x - 20
(x+2) . (6x -10) = 0
Soluções:
x = 2
x = 5/3
f(2) = 29
f(5/3) ≅ - 20,3
b) Intervalos crescentes e decrescentes:
Observações:
f(-2) é ponto de máximo
f(5/3) é ponto de mínimo
c) Gŕafico de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1:
Concavidade e o teste da derivada segunda
- Ambas as funções abaixo tratam de funções crescentes no intervalo ]a, b[. Porém, elas inclinam-se em direções diferentes. Como distinguir?
1º caso: a curva fica acima das tangentes e a inclinação das tangentes é crescente.
2º caso: a curva fica abaixo das tangentes e a inclinação é decrescente.
Definição:
O gráfico de uma função derivável y = f(x) é:
a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, se y' é crescente em I.
b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se y' é decrescente em I.
Teste da derivada segunda:
a) côncavo para cima em qualquer intervalo onde y'' > 0.
b) côncavo para baixo em qualquer intervalo onde y'' < 0.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h52min
Término da aula: aproximadamente 20h15min
Taxa de aproveitamento: aproximadamente 92,22%
Observações: a aula pode ser melhorada com a utilização de recursos multimídia e com uso aperfeiçoado do tempo em sala de aula (sugestões: exercícios programados valendo nota, "pré-prova", trabalhos explicando aplicações matemáticas práticas para os temas em discussão).
A forma de um gráfico
Função Crescente / Função Decrescente (Verificada com a Derivada primeira)
Concavidade (Verificada com a Derivada segunda)
Teste da derivada primeira para crescimento e decrescimento
O gráfico abaixo indica que, se o coeficiente angular da tangente é positivo em um intervalo I (aberto), então f é crescente. Da mesma forma, se o coeficiente angular for negativo, então f é decrescente.
 |
| Relação entre derivada e crescimento e decrescimento da função, obtido com o Krita. |
Teorema
Se f é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável em ]a, b[:
a) se f '(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é crescente
b) se f '(x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, f é decrescente
Exemplo:
Seja f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1.
a) Determine os extremos locais de f
b) Determine os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente.
c) Esboce o gráfico.
[Res.]
a) f(x) = 2x³ + x² -20x + 1
Derivada Primeira
f '(x) = 6x² + 2x - 20
(x+2) . (6x -10) = 0
Soluções:
x = 2
x = 5/3
f(2) = 29
f(5/3) ≅ - 20,3
b) Intervalos crescentes e decrescentes:
| Intervalo | ]-∞, 2[ | ]-2, 5/3[ | ]5/3, ∞[ |
|---|---|---|---|
| x | -3 | 0 | 2 |
| f '(x) | 28 | -20 | 8 |
| sinal f '(x) | + | - | + |
| conclusão | ↑ | ↓ | ↑ |
Observações:
f(-2) é ponto de máximo
f(5/3) é ponto de mínimo
c) Gŕafico de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1:
 |
| Gráfico de f(x) = 2x³ + x² - 20x + 1, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Concavidade e o teste da derivada segunda
- Ambas as funções abaixo tratam de funções crescentes no intervalo ]a, b[. Porém, elas inclinam-se em direções diferentes. Como distinguir?
 |
| Exemplos de função crescente e decrescente, e tangentes delas, obtidas com o Krita. |
1º caso: a curva fica acima das tangentes e a inclinação das tangentes é crescente.
2º caso: a curva fica abaixo das tangentes e a inclinação é decrescente.
Definição:
O gráfico de uma função derivável y = f(x) é:
a) côncavo para cima em um intervalo aberto I, se y' é crescente em I.
b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se y' é decrescente em I.
Teste da derivada segunda:
a) côncavo para cima em qualquer intervalo onde y'' > 0.
b) côncavo para baixo em qualquer intervalo onde y'' < 0.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 12 de junho de 2019
Cálculo I - 12/06/2019
Cálculo I - 12/06/2019 - (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h42min
Taxa de aproveitamento: 68,88%
Continuação
Exercícios:
f(x) = -2x³ - 6x² + 5
f(0) = f(-3) = 5 (máximo local de f)
f(-2) = f(1) = -3 (mínimo local de f)
Gráfico
Teorema do Valor Médio
Seja f uma função e sejam A(a, f(a)) e B(b, f(b)) pontos do gráfico de f.
A figura sugere que entre A e B deve haver algum ponto C(c, f(c)) sobre o gráfico de f, onde a reta tangente à curva seja paralela à secante AB. Logo, os coeficientes angulares das duas retas são iguais.
Como o coeficiente angular da reta tangente em c é f '(c), temos:
f '(c) = [f(b) - f(a)] / [b - a]
Exemplo:
Sabe-se que, aplicando o teorema do valor médio com a=2 e b=7 à função cujo gráfico é dado abaixo, chega-se a c=4. Qual a equação da reta tangente em 4?
[Res.]
A equação da reta tangente é:
y - y0 = mt . (x - x0)
x0 = 4
y0 = f(4) = 8
mt = mAB = (9 - 5) / (7 - 2) = 4/5
y - 8 = 4/5 . (x - 4)
y = 4/5 . x - 16/5 + 8
y = 4/5 . x + (-16 + 40)/5
y = 4/5 . x + 24/5
Exemplo:
Uma estrada retilínea de 80km liga duas cidades A e B. Prove que é impossível viajar de A até B de automóvel em exatamente duas horas, sem que o velocímetro registre 40km/h ao menos uma vez.
[Res.]
A velocidade média durante o percurso de A até B é:
Vm = [S(2) - S(0)] / (2 - 0)
= (80 - 0) / 2
= 40 km/h
Logo, em pelo menos um instante entre 0 e 2 temos que a velocidade instantânea é 40km/h. Em algum instante o velocímetro registrou 40km/h.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h42min
Taxa de aproveitamento: 68,88%
Continuação
Exercícios:
f(x) = -2x³ - 6x² + 5
f(0) = f(-3) = 5 (máximo local de f)
f(-2) = f(1) = -3 (mínimo local de f)
Gráfico
 |
| Gráfico de f(x) = -2x³ - 6x² + 5, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Teorema do Valor Médio
Seja f uma função e sejam A(a, f(a)) e B(b, f(b)) pontos do gráfico de f.
 |
| Gráfico de uma função f, para exemplificar o Teorema do Valor Médio, obtido com o Krita. |
A figura sugere que entre A e B deve haver algum ponto C(c, f(c)) sobre o gráfico de f, onde a reta tangente à curva seja paralela à secante AB. Logo, os coeficientes angulares das duas retas são iguais.
Como o coeficiente angular da reta tangente em c é f '(c), temos:
f '(c) = [f(b) - f(a)] / [b - a]
Exemplo:
Sabe-se que, aplicando o teorema do valor médio com a=2 e b=7 à função cujo gráfico é dado abaixo, chega-se a c=4. Qual a equação da reta tangente em 4?
 |
| Gráfico para exemplo do teorema do valor médio, obtido com o Krita. |
[Res.]
A equação da reta tangente é:
y - y0 = mt . (x - x0)
x0 = 4
y0 = f(4) = 8
mt = mAB = (9 - 5) / (7 - 2) = 4/5
y - 8 = 4/5 . (x - 4)
y = 4/5 . x - 16/5 + 8
y = 4/5 . x + (-16 + 40)/5
y = 4/5 . x + 24/5
Exemplo:
Uma estrada retilínea de 80km liga duas cidades A e B. Prove que é impossível viajar de A até B de automóvel em exatamente duas horas, sem que o velocímetro registre 40km/h ao menos uma vez.
 |
| Esquema do trajeto entre as cidades A e B, obtido com o Krita. |
[Res.]
A velocidade média durante o percurso de A até B é:
Vm = [S(2) - S(0)] / (2 - 0)
= (80 - 0) / 2
= 40 km/h
Logo, em pelo menos um instante entre 0 e 2 temos que a velocidade instantânea é 40km/h. Em algum instante o velocímetro registrou 40km/h.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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