sábado, 13 de abril de 2019
Me Salva! DER10 - Regra da cadeia
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER09 - Regra do quociente para derivadas
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Me Salva! DER08 - Regra do produto para derivadas
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Cálculo I - aula 07 fórmulas de derivação 1
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Me Salva! DER06 - Tabela resumo das derivadas mais importantes
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sexta-feira, 12 de abril de 2019
Cálculo I - 12/04/2019
Cálculo I - 12/04/2019 - (Sexta-feira)
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h55min
Término da aula: 19h57min
Taxa de aproveitamento: ≥ 68,88%
Observação: professora ainda não usou slides e vídeos em nenhuma aula. Nem recursos sonoros ou coisa do tipo.
Revisão de funções:
h(x) = ∛(x² + 2); h(x) é função contínua.
f(x) = ∛x
g(x) = x² + 2
h(x) = f(g(x)) = (fog)(x)
f(g(x)) = ∛(x² + 2)
Derivada
As derivadas são usadas para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função, para calcular velocidade e aceleração de um objeto móvel, para estimar a taxa de disseminação de uma doença, para estabelecer níveis de produção mais eficientes, entre outros.
Retas tangentes e taxas de variação
Retas tangentes
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo dado qualquer.
Considere o ponto P(a, f(a)) pertencente ao gráfico de f.
Nosso objetivo é determinar a equação da reta tangente ao gráfico y = f(x) em P.
1) Encontrar o coeficiente angular da reta tangente a f em p. Considere um outro ponto Q(x, f(x)) sob o gráfico de f. O coeficiente angular da reta PQ (secante a y = f(x)) é:
mPQ = ∆y / ∆x = [f(x) - f(a)] / (x - a)
Se f é contínua em "a", podemos fazer o ponto Q(x, f(x)) "tender" para o ponto P(a, f(a)), fazendo x tender ao ponto "a".
À medida em que Q se aproxima de P, a reta secante PQ se "aproxima" cada vez mais da reta tangente "t" ao gráfico y = f(x) em x = 0. Isso significa que mPQse aproxima do coeficiente angular da reta tangente mt.
mt = limx→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)}, desde que o limite exista.
Observações:
1) Se mt = 0, então a reta tangente é a reta horizontal y = f(a);
2) se limx→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)} = ± ∞, então a reta tangente é a reta vertical x = a.
*Neste caso, dizemos que não existe tangente em P.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h55min
Término da aula: 19h57min
Taxa de aproveitamento: ≥ 68,88%
Observação: professora ainda não usou slides e vídeos em nenhuma aula. Nem recursos sonoros ou coisa do tipo.
Revisão de funções:
h(x) = ∛(x² + 2); h(x) é função contínua.
f(x) = ∛x
g(x) = x² + 2
h(x) = f(g(x)) = (fog)(x)
f(g(x)) = ∛(x² + 2)
Derivada
As derivadas são usadas para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função, para calcular velocidade e aceleração de um objeto móvel, para estimar a taxa de disseminação de uma doença, para estabelecer níveis de produção mais eficientes, entre outros.
Retas tangentes e taxas de variação
Retas tangentes
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo dado qualquer.
Considere o ponto P(a, f(a)) pertencente ao gráfico de f.
Nosso objetivo é determinar a equação da reta tangente ao gráfico y = f(x) em P.
 |
| Exemplo de tangente no ponto de um gráfico, obtido com o Krita. |
1) Encontrar o coeficiente angular da reta tangente a f em p. Considere um outro ponto Q(x, f(x)) sob o gráfico de f. O coeficiente angular da reta PQ (secante a y = f(x)) é:
mPQ = ∆y / ∆x = [f(x) - f(a)] / (x - a)
Se f é contínua em "a", podemos fazer o ponto Q(x, f(x)) "tender" para o ponto P(a, f(a)), fazendo x tender ao ponto "a".
À medida em que Q se aproxima de P, a reta secante PQ se "aproxima" cada vez mais da reta tangente "t" ao gráfico y = f(x) em x = 0. Isso significa que mPQse aproxima do coeficiente angular da reta tangente mt.
mt = limx→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)}, desde que o limite exista.
Observações:
1) Se mt = 0, então a reta tangente é a reta horizontal y = f(a);
2) se limx→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)} = ± ∞, então a reta tangente é a reta vertical x = a.
*Neste caso, dizemos que não existe tangente em P.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER03 - Calculando derivadas pela definição de limites - Exemp...
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER01 - Introdução à derivada: retas tangentes
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quarta-feira, 10 de abril de 2019
Cálculo I - 10/04/2019
Cálculo I - 10/04/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 75,55%
Observação pessoal: a professora não usou slides, nem vídeos, durante as aulas até agora.
Continuação do assunto de Continuidade
Exemplo:
Considere a função f(x) = √(x - 4)
f não tem pontos de descontinuidade no intervalo ]4, ∞[. Logo, f(x) = √(x - 4) é contínua à direita de x = 4.
Definição:
Uma função f = é contínua à direita de um número "a" se limx→a+ f(x) = f(a).
Uma função f é contínua à esquerda de "a" se limx→a- f(x) = f(a).
Exemplo 2:
f(x) = √(1 - x²) é contínua à direita de x = -1 e contínua à esquerda de x = 1.
Uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
Caso f seja definida somente de um lado do extremo do intervalo, entende-se continuidade no extremo como continuidade à direita ou à esquerda.
Exemplo 3:
A função f(x) = √(4 - x²) é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Devemos mostrar que f(x) é contínua para todos os pontos do intervalo [-2, 2].
* -2 < a < 2:
limx→a √(4 - x²)
= √(4 - x²) = f(a)
Logo, f é contínua em ]-2, 2[.
* Para x = -2 ou x = 2, temos que:
limx→-2+ f(x) = f(-2) = 0. Logo, f é contínua à direita de -2.
limx→2- f(x) = f(2) = 0. Logo, f é contínua à esquerda de 2.
Logo, f é contínua em [-2, 2].
Propriedades:
Sendo f e g funções contínuas em x =a, então as seguintes funções também serão contínuas:
1) f + g
2) f - g
3) f . g
4) k . f
5) f / g, com g(a) ≠ 0.
6) fr/s, onde r e s são inteiros e s ≠ 0.
As funções abaixo são contínuas em todos os pontos do seu domínio:
1) Polinômio
2) Funções racionais
3) Função raiz
4) Função trigonométrica
5) Funções exponenciais e logaritmicas
6) Funções inversas de funções contínuas
Exercício:
A função y = √x é contínua. Prove.
[Res.]
Seja y = f(x).
f(x) = √x.
Calculando os limites nos extremos (o domínio da função f(x) = √x vai de 0 a infinito):
limx→0+ √x = √0 = 0
limx→∞ √x = ∞
Assim, y = √x é contínua em todo seu domínio.
Exercícios:
1) Se h(x) = ∛(x² + 2), mostre que h é contínua para todo número real.
[Res.]
O primeiro passo é encontrar o domínio da função. Como x pode ser igual a qualquer valor, tanto negativo quanto positivo, incluindo o zero, o domínio da função é igual ao conjunto dos números reais.
Assim, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite da função para os valores extremos: ∞ e -∞.
limx→∞ ∛(x² + 2) = ∞
limx→-∞ ∛(x² + 2) = ∞
Como o limite existe para os valores extremos da função h(x) = ∛(x² + 2), ela é contínua para todo número real.
2) Mostre que f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]| é contínua para todo x ∈ R.
[Res.]
Primeiro, vamos verificar o domínio da função, que é igual ao conjunto dos número reais.
Agora, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite para os valores extremos: ∞ e -∞.
Limite para ∞:
limx→∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / limx→∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / [limx→∞ 1 + limx→∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Limite para -∞:
limx→-∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→-∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→-∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / limx→-∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / [limx→-∞ 1 + limx→-∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Como existe o limite da função para os valores extremos, ela é contínua para todo o conjunto dos números reais.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 75,55%
Observação pessoal: a professora não usou slides, nem vídeos, durante as aulas até agora.
Continuação do assunto de Continuidade
Exemplo:
Considere a função f(x) = √(x - 4)
 |
| Gráfico de f(x) = √(x - 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
f não tem pontos de descontinuidade no intervalo ]4, ∞[. Logo, f(x) = √(x - 4) é contínua à direita de x = 4.
Definição:
Uma função f = é contínua à direita de um número "a" se limx→a+ f(x) = f(a).
Uma função f é contínua à esquerda de "a" se limx→a- f(x) = f(a).
Exemplo 2:
f(x) = √(1 - x²) é contínua à direita de x = -1 e contínua à esquerda de x = 1.
 |
| Gráfico de f(x) = √(1 - x²), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Caso f seja definida somente de um lado do extremo do intervalo, entende-se continuidade no extremo como continuidade à direita ou à esquerda.
Exemplo 3:
A função f(x) = √(4 - x²) é contínua em todos os pontos do seu domínio.
 |
| Gráfico de f(x) = √(4 - x²), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
* -2 < a < 2:
limx→a √(4 - x²)
= √(4 - x²) = f(a)
Logo, f é contínua em ]-2, 2[.
* Para x = -2 ou x = 2, temos que:
limx→-2+ f(x) = f(-2) = 0. Logo, f é contínua à direita de -2.
limx→2- f(x) = f(2) = 0. Logo, f é contínua à esquerda de 2.
Logo, f é contínua em [-2, 2].
Propriedades:
Sendo f e g funções contínuas em x =a, então as seguintes funções também serão contínuas:
1) f + g
2) f - g
3) f . g
4) k . f
5) f / g, com g(a) ≠ 0.
6) fr/s, onde r e s são inteiros e s ≠ 0.
As funções abaixo são contínuas em todos os pontos do seu domínio:
1) Polinômio
2) Funções racionais
3) Função raiz
4) Função trigonométrica
5) Funções exponenciais e logaritmicas
6) Funções inversas de funções contínuas
Exercício:
A função y = √x é contínua. Prove.
[Res.]
Seja y = f(x).
f(x) = √x.
 |
| Gráfico de f(x) = √x, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Calculando os limites nos extremos (o domínio da função f(x) = √x vai de 0 a infinito):
limx→0+ √x = √0 = 0
limx→∞ √x = ∞
Assim, y = √x é contínua em todo seu domínio.
Exercícios:
1) Se h(x) = ∛(x² + 2), mostre que h é contínua para todo número real.
[Res.]
 |
| Gráfico de h(x) = ∛(x² + 2), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
O primeiro passo é encontrar o domínio da função. Como x pode ser igual a qualquer valor, tanto negativo quanto positivo, incluindo o zero, o domínio da função é igual ao conjunto dos números reais.
Assim, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite da função para os valores extremos: ∞ e -∞.
limx→∞ ∛(x² + 2) = ∞
limx→-∞ ∛(x² + 2) = ∞
Como o limite existe para os valores extremos da função h(x) = ∛(x² + 2), ela é contínua para todo número real.
2) Mostre que f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]| é contínua para todo x ∈ R.
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]|, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Primeiro, vamos verificar o domínio da função, que é igual ao conjunto dos número reais.
Agora, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite para os valores extremos: ∞ e -∞.
Limite para ∞:
limx→∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / limx→∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / [limx→∞ 1 + limx→∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Limite para -∞:
limx→-∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→-∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→-∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / limx→-∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / [limx→-∞ 1 + limx→-∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Como existe o limite da função para os valores extremos, ela é contínua para todo o conjunto dos números reais.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 9 de abril de 2019
A pobreza faz o homem inventor. - Invenções de pessoas mais inteligentes...
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - 09/04/2019
Cálculo I - 09/04/2019 - (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 90%
Assíntotas horizontais
Definição:
A reta y = b é uma assíntota do gráfico y = f(x) se limx→∞ f(x) = b ou limx→-∞ f(x) = b.
Exemplo:
1) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico y = (x - 1) / (x + 4).
[Res.]
Para encontrar a assíntota horizontal, calcula-se o limite para ∞ e -∞.
Limite para ∞:
limx→∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→∞ (1 - 1/x) / limx→∞ (1 + 4/x)
= (limx→∞ 1 - limx→∞ 1/x) / (limx→∞ 1 + limx→∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Limite para -∞:
limx→-∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→-∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→-∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→-∞ (1 - 1/x) / limx→-∞ (1 + 4/x)
= (limx→-∞ 1 - limx→-∞ 1/x) / (limx→-∞ 1 + limx→-∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a 1, existe apenas uma assíntota horizontal para a função.
Assim, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal da função f(x) = (x - 1) / (x + 4).
A assíntota vertical do gráfico pode ser encontrada igualando-se o denominador da função a 0:
x + 4 = 0
x = -4
2) Determine as assíntotas de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5) e esboce seu gráfico.
[Res.]
Para encontrar a assíntota vertical, iguala-se o denominador da função a 0:
3x - 5 = 0
3x = 5
x = 5/3
Para encontrar a assíntota horizontal, calcula-se o limite para ∞ e -∞.
Limite para ∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→∞ x = ∞
limx→∞ 1 = 1
limx→∞ (1/x) = 0
limx→∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ 2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [limx→∞ 3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Limite para -∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→-∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→-∞ x = -∞
limx→-∞ 1 = 1
limx→-∞ (1/x) = 0
limx→-∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ 2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [limx→-∞ 3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a ± √2 / 3, existem duas assíntotas horizontais para a função.
Assim, a reta y = +√2 / 3 é uma assíntota e a reta y = -√2 / 3 é a outra assíntota da função f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5).
Continuidade
Consideramos contínua uma função cujo gráfico não tem interrupção. Isso quer dizer que qualquer função y = f(x) cujo gráfico pode ser esboçado sem levantar o lápis do papel é um exemplo de função contínua.
Definição: uma função f é contínua em um número se limx→a f(x) = f(a).
Caso contrário, dizemos que f é descontínua em "a" e que "a" é um ponto de descontinuidade de f.
Exemplos:
Descontínuas em x = a:
* limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe.
* limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L.
Descontinuidade removível:
* descontinuidade tipo salto
* descontinuidade tipo infinito
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 90%
Assíntotas horizontais
Definição:
A reta y = b é uma assíntota do gráfico y = f(x) se limx→∞ f(x) = b ou limx→-∞ f(x) = b.
Exemplo:
1) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico y = (x - 1) / (x + 4).
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Limite para ∞:
limx→∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→∞ (1 - 1/x) / limx→∞ (1 + 4/x)
= (limx→∞ 1 - limx→∞ 1/x) / (limx→∞ 1 + limx→∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Limite para -∞:
limx→-∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→-∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→-∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→-∞ (1 - 1/x) / limx→-∞ (1 + 4/x)
= (limx→-∞ 1 - limx→-∞ 1/x) / (limx→-∞ 1 + limx→-∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a 1, existe apenas uma assíntota horizontal para a função.
Assim, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal da função f(x) = (x - 1) / (x + 4).
 |
| Assíntota horizontal de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
A assíntota vertical do gráfico pode ser encontrada igualando-se o denominador da função a 0:
x + 4 = 0
x = -4
 |
| Assíntota vertical de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
2) Determine as assíntotas de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5) e esboce seu gráfico.
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
3x - 5 = 0
3x = 5
x = 5/3
 |
| Assíntota vertical de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Limite para ∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→∞ x = ∞
limx→∞ 1 = 1
limx→∞ (1/x) = 0
limx→∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ 2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [limx→∞ 3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Limite para -∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→-∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→-∞ x = -∞
limx→-∞ 1 = 1
limx→-∞ (1/x) = 0
limx→-∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ 2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [limx→-∞ 3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a ± √2 / 3, existem duas assíntotas horizontais para a função.
Assim, a reta y = +√2 / 3 é uma assíntota e a reta y = -√2 / 3 é a outra assíntota da função f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5).
 |
| Assíntotas horizontais de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Continuidade
Consideramos contínua uma função cujo gráfico não tem interrupção. Isso quer dizer que qualquer função y = f(x) cujo gráfico pode ser esboçado sem levantar o lápis do papel é um exemplo de função contínua.
Definição: uma função f é contínua em um número se limx→a f(x) = f(a).
Caso contrário, dizemos que f é descontínua em "a" e que "a" é um ponto de descontinuidade de f.
Exemplos:
Descontínuas em x = a:
* limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe.
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| limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe, obtido com o Krita. |
* limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L.
 |
| limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L, obtido com o Krita. |
Descontinuidade removível:
* descontinuidade tipo salto
 |
| Descontinuidade tipo salto, obtido com o Krita. |
* descontinuidade tipo infinito
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| Descontinuidade tipo infinito, obtido com o Krita. |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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