Cálculo I - 12/04/2019

Cálculo I - 12/04/2019 - (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h55min
Término da aula: 19h57min
Taxa de aproveitamento: ≥ 68,88%
Observação: professora ainda não usou slides e vídeos em nenhuma aula. Nem recursos sonoros ou coisa do tipo.


Revisão de funções:
h(x) = ∛(x² + 2); h(x) é função contínua.

f(x) = ∛x

g(x) = x² + 2

h(x) = f(g(x)) = (fog)(x)

f(g(x)) = ∛(x² + 2)


Derivada

As derivadas são usadas para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função, para calcular velocidade e aceleração de um objeto móvel, para estimar a taxa de disseminação de uma doença, para estabelecer níveis de produção mais eficientes, entre outros.


Retas tangentes e taxas de variação

Retas tangentes

Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo dado qualquer.
Considere o ponto P(a, f(a)) pertencente ao gráfico de f.
Nosso objetivo é determinar a equação da reta tangente ao gráfico y = f(x) em P.

Exemplo de tangente no ponto de um gráfico, obtido com o Krita.

1) Encontrar o coeficiente angular da reta tangente a f em p. Considere um outro ponto Q(x, f(x)) sob o gráfico de f. O coeficiente angular da reta PQ (secante a y = f(x)) é:

m_PQ = ∆y / ∆x = [f(x) - f(a)] / (x - a)

Se f é contínua em "a", podemos fazer o ponto Q(x, f(x)) "tender" para o ponto P(a, f(a)), fazendo x tender ao ponto "a".

À medida em que Q se aproxima de P, a reta secante PQ se "aproxima" cada vez mais da reta tangente "t" ao gráfico y = f(x) em x = 0. Isso significa que m_PQse aproxima do coeficiente angular da reta tangente m_t.

m_t = lim_x→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)}, desde que o limite exista.

Observações:
1) Se m_t = 0, então a reta tangente é a reta horizontal y = f(a);

2) se lim_x→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)} = ± ∞, então a reta tangente é a reta vertical x = a.
*Neste caso, dizemos que não existe tangente em P.


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Me Salva! DER03 - Calculando derivadas pela definição de limites - Exemp...

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Me Salva! DER01 - Introdução à derivada: retas tangentes

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Cálculo I - 10/04/2019

Cálculo I - 10/04/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 75,55%
Observação pessoal: a professora não usou slides, nem vídeos, durante as aulas até agora.


Continuação do assunto de Continuidade

Exemplo:
Considere a função f(x) = √(x - 4)

Gráfico de f(x) = √(x - 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

f não tem pontos de descontinuidade no intervalo ]4, ∞[. Logo, f(x) = √(x - 4) é contínua à direita de x = 4.



Definição:
Uma função f = é contínua à direita de um número "a" se lim_x→a⁺ f(x) = f(a).


Uma função f é contínua à esquerda de "a" se lim_x→a^- f(x) = f(a).



Exemplo 2:
f(x) = √(1 - x²) é contínua à direita de x = -1 e contínua à esquerda de x = 1.

Gráfico de f(x) = √(1 - x²), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
Caso f seja definida somente de um lado do extremo do intervalo, entende-se continuidade no extremo como continuidade à direita ou à esquerda.


Exemplo 3:
A função f(x) = √(4 - x²) é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Gráfico de f(x) = √(4 - x²), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Devemos mostrar que f(x) é contínua para todos os pontos do intervalo [-2, 2].

* -2 < a < 2:
lim_x→a √(4 - x²)
= √(4 - x²) = f(a)

Logo, f é contínua em ]-2, 2[.

* Para x = -2 ou x = 2, temos que:
lim_x→-2⁺ f(x) = f(-2) = 0. Logo, f é contínua à direita de -2.

lim_x→2^- f(x) = f(2) = 0. Logo, f é contínua à esquerda de 2.

Logo, f é contínua em [-2, 2].


Propriedades:
Sendo f e g funções contínuas em x =a, então as seguintes funções também serão contínuas:

1) f + g
2) f - g
3) f . g
4) k . f
5) f / g, com g(a) ≠ 0.
6) f^r/s, onde r e s são inteiros e s ≠ 0.


As funções abaixo são contínuas em todos os pontos do seu domínio:
1) Polinômio
2) Funções racionais
3) Função raiz
4) Função trigonométrica
5) Funções exponenciais e logaritmicas
6) Funções inversas de funções contínuas


Exercício: 
A função y = √x é contínua. Prove.

[Res.]
Seja y = f(x).
f(x) = √x.

Gráfico de f(x) = √x, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Calculando os limites nos extremos (o domínio da função f(x) = √x vai de 0 a infinito):
lim_x→0⁺ √x = √0 = 0
lim_x→∞ √x = ∞

Assim, y = √x é contínua em todo seu domínio.



Exercícios:

1) Se h(x) = ∛(x² + 2), mostre que h é contínua para todo número real.

[Res.]

Gráfico de h(x) = ∛(x² + 2), obtido com o GeoGebra e o Krita.

O primeiro passo é encontrar o domínio da função. Como x pode ser igual a qualquer valor, tanto negativo quanto positivo, incluindo o zero, o domínio da função é igual ao conjunto dos números reais.

Assim, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite da função para os valores extremos: ∞ e -∞.

lim_x→∞ ∛(x² + 2) = ∞
lim_x→-∞ ∛(x² + 2) = ∞

Como o limite existe para os valores extremos da função h(x) = ∛(x² + 2), ela é contínua para todo número real.


2) Mostre que f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]| é contínua para todo x ∈ R.

[Res.]

Gráfico de f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]|, obtido com o GeoGebra e o Krita.

Primeiro, vamos verificar o domínio da função, que é igual ao conjunto dos número reais.

Agora, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite para os valores extremos: ∞ e -∞.

Limite para ∞:
lim_x→∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|

= lim_x→∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= lim_x→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= lim_x→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= lim_x→∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= lim_x→∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= lim_x→∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |lim_x→∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |lim_x→∞ [sen(x)/x] / lim_x→∞ [(1 + 2/x²)]|
= |lim_x→∞ [sen(x)/x] / [lim_x→∞ 1 + lim_x→∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0


Limite para -∞:
lim_x→-∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= lim_x→-∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= lim_x→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= lim_x→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= lim_x→-∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= lim_x→-∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= lim_x→-∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |lim_x→-∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |lim_x→-∞ [sen(x)/x] / lim_x→-∞ [(1 + 2/x²)]|
= |lim_x→-∞ [sen(x)/x] / [lim_x→-∞ 1 + lim_x→-∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0

Como existe o limite da função para os valores extremos, ela é contínua para todo o conjunto dos números reais.


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

A pobreza faz o homem inventor. - Invenções de pessoas mais inteligentes...

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Cálculo I - 09/04/2019

Cálculo I - 09/04/2019 - (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 90%


Assíntotas horizontais

Definição:

A reta y = b é uma assíntota do gráfico y = f(x) se lim_x→∞ f(x) = b ou lim_x→-∞ f(x) = b.


Exemplo:
1) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico y = (x - 1) / (x + 4).

[Res.]

Gráfico de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Para encontrar a assíntota horizontal, calcula-se o limite para ∞ e -∞.

Limite para ∞:

lim_x→∞ [(x - 1) / (x + 4)]
=  lim_x→∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
=  lim_x→∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
=  lim_x→∞ (1 - 1/x) / lim_x→∞ (1 + 4/x)
=  (lim_x→∞ 1 - lim_x→∞ 1/x) / (lim_x→∞ 1 + lim_x→∞ 4/x)
=  (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1

Limite para -∞:

lim_x→-∞ [(x - 1) / (x + 4)]
=  lim_x→-∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
=  lim_x→-∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
=  lim_x→-∞ (1 - 1/x) / lim_x→-∞ (1 + 4/x)
=  (lim_x→-∞ 1 - lim_x→-∞ 1/x) / (lim_x→-∞ 1 + lim_x→-∞ 4/x)
=  (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1

Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a 1, existe apenas uma assíntota horizontal para a função.

Assim, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal da função f(x) = (x - 1) / (x + 4).

Assíntota horizontal de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

A assíntota vertical do gráfico pode ser encontrada igualando-se o denominador da função a 0:
x + 4 = 0
x = -4

Assíntota vertical de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

2) Determine as assíntotas de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5) e esboce seu gráfico.

[Res.]

Gráfico de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Para encontrar a assíntota vertical, iguala-se o denominador da função a 0:
3x - 5 = 0
3x = 5
x = 5/3

Assíntota vertical de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Para encontrar a assíntota horizontal, calcula-se o limite para ∞ e -∞.

Limite para ∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)

lim_x→∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= lim_x→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[lim_x→∞ (2 + 1/x²)] / lim_x→∞ (3 - 5/x)

Lembrando que:
lim_x→∞ x = ∞
lim_x→∞ 1 = 1
lim_x→∞ (1/x) = 0
lim_x→∞ (1/x²) = 0

Continuando a resolução:
± √[lim_x→∞ (2 + 1/x²)] / lim_x→∞ (3 - 5/x)

= ± √[lim_x→∞ 2 + lim_x→∞ ( 1/x²)] / [lim_x→∞ 3 - lim_x→∞ (5/x)]
= ± √[2 + lim_x→∞ ( 1/x²)] / [3 - lim_x→∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3

Limite para -∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)

lim_x→-∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= lim_x→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→-∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= lim_x→-∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[lim_x→-∞ (2 + 1/x²)] / lim_x→-∞ (3 - 5/x)

Lembrando que:
lim_x→-∞ x = -∞
lim_x→-∞ 1 = 1
lim_x→-∞ (1/x) = 0
lim_x→-∞ (1/x²) = 0

Continuando a resolução:
± √[lim_x→-∞ (2 + 1/x²)] / lim_x→-∞ (3 - 5/x)

= ± √[lim_x→-∞ 2 + lim_x→-∞ ( 1/x²)] / [lim_x→-∞ 3 - lim_x→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + lim_x→-∞ ( 1/x²)] / [3 - lim_x→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3

Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a ± √2 / 3, existem duas assíntotas horizontais para a função.

Assim, a reta y = +√2 / 3 é uma assíntota e a reta y = -√2 / 3 é a outra assíntota da função f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5).

Assíntotas horizontais de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Continuidade

Consideramos contínua uma função cujo gráfico não tem interrupção. Isso quer dizer que qualquer função y = f(x) cujo gráfico pode ser esboçado sem levantar o lápis do papel é um exemplo de função contínua.

Definição: uma função f é contínua em um número se lim_x→a f(x) = f(a).

Caso contrário, dizemos que f é descontínua em "a" e que "a" é um ponto de descontinuidade de f.


Exemplos:

Descontínuas em x = a:

* lim_x→a f(x) = L, mas f(a) não existe.

lim_x→a f(x) = L, mas f(a) não existe, obtido com o Krita.

* lim_x→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L.

lim_x→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L, obtido com o Krita.

Descontinuidade removível:

* descontinuidade tipo salto

Descontinuidade tipo salto, obtido com o Krita.

* descontinuidade tipo infinito

Descontinuidade tipo infinito, obtido com o Krita.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo I - aula 6 continuidade tvi

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Cálculo I - aula 5 continuidade composta

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Know

"I don't like that man. I must get to know him better."

Abraham Lincoln

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Wisdom

"Knowing yourself is the beginning of all wisdom"

Aristotle

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Intelligence

"The highest form of intelligence is the ability to observe ourselves without judging".

Jiddu Krishnamurti

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