Lucas Freitas, M.Sc.

quarta-feira, 3 de abril de 2019

Cálculo I - 03/04/2019

Cálculo I - 03/04/2019 - (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h56min
Taxa de aproveitamento: 82,22%

Exercícios:

1) Calcule lim_x→2 (x² - 7x + 10) / (x² - 4).

[Res.]

Gráfico de f(x) = (x² - 7x + 10) / (x² - 4), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→2 (x² - 7x + 10) / (x² - 4)
= lim_x→2 [(x - 2) . (x - 5)] / [(x + 2) . (x - 2)]
= lim_x→2 (x - 5) / (x + 2)
= (2 - 5) / (2 + 2)
= - 3 / 4

2) Calcule lim_x→0 x . cos(1/x).

[Res.]

Gráfico de f(x) = x . cos(1/x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

É fácil observar pelo gráfico da função que o limite tende a 0.

Calculando o limite:
lim_x→0 x . cos(1/x)
= lim_x→0 x . lim_x→0 cos(1/x)

Como:

lim_x→0 x = 0
-1 < lim_x→0 cos(1/x) < 1

O cálculo do limite pode ser feito pelo teorema do confronto. A multiplicação dos limites será:
lim_x→0 x . lim_x→0 cos(1/x)
= 0 . lim_x→0 cos(1/x)
= 0

Operações com infinito (lembrete):

x + ∞ = ∞
x + (-∞) = -∞
x - ∞ = -∞
x - (-∞) = ∞
∞ + ∞ = ∞
-∞ + (-∞) = -∞
∞ . ∞ = ∞

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

terça-feira, 2 de abril de 2019

Cálculo 1 - 02/04/2019

Cálculo 1 - 02/04/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h52min
Taxa de aproveitamento: 77,77%

Exercícios
1) lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (5 - √x) / (25 - x), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)]
= lim_x→25 [(5 - √x) / (25 - x)] . [(5 + √x) / (5 + √x)]
= lim_x→25 (25 - x) / [(25 - x) . (5 + √x)]
= lim_x→25 1 / (5 + √x)
= 1 / (5 + 5)
= 1 /10

2) lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = x² / (√(x² + 12) - √12), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)]
= lim_x→0 [x² / (√(x² + 12) - √12)] . {[(√(x² + 12) + √12)] / [√(x² + 12) + √12)]}
= lim_x→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / [(x² + 12) - 12]
= lim_x→0 {x² . [(√(x² + 12) + √12)]} / x²
= lim_x→0 √(x² + 12) + √12
= √(0² + 12) + √12
= √12 + √12
= 2 . √12

3) lim_y→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}

[Res.]

Gráfico de f(x) = [sen(5x) . cotg(8x)] / [x . cotg(10x)], obtido com o GeoGebra e o Krita.

Lembrando que :
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1.
lim_x→0 cos(x) = cos(0) = 1.

lim_y→0 {[sen(5y) . cotg(8y)] / [y . cotg(10y)]}
= lim_y→0 {[sen(5y) . cos(8y)/sen(8y)] / [y . cos(10y)/sen(10y)]}
= lim_y→0 {sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . 1/y . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5/5 . 1/y . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5/(5y) . sen(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/sen(8y) . sen(10y)/cos(10y)}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [cos(8y)/(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) / cos(10y)/(10y)]}

= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [sen(10y)/(10y) . (10y)/cos(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . [1/(8y) . cos(8y) / sen(8y)/(8y)] . [(10y) . sen(10y)/(10y) . 1/cos(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y) . [1/cos(10y)]}
= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 10y/(8y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}

= lim_y→0 {5 . sen(5y)/(5y) . 5/4 . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 {5 . 5/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 {25/4 . sen(5y)/(5y) . cos(8y)/cos(10y) . 1 / [sen(8y)/(8y)] . sen(10y)/(10y)}
= lim_y→0 25/4 . lim_y→0 [sen(5y)/(5y)] . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . lim_y→0 {1 / [sen(8y)/(8y)]} . lim_y→0 [sen(10y)/(10y)]
= 25/4 . 1 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . lim_y→0 1 / lim_y→0 [sen(8y)/(8y)] . 1
= 25/4 . 1 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)] . 1 / 1 . 1
= 25/4 . lim_y→0 [cos(8y)/cos(10y)]
= 25/4 . lim_y→0 cos(8y) / lim_y→0 cos(10y)
= 25/4 . 1 / 1
= 25/4

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

segunda-feira, 1 de abril de 2019

3ª Lista de Cálculo I - Funções Compostas

3ª Lista de Cálculo I - Funções Compostas

1) Considere f(x) = 1 / (x - 1). Determine o valor de x, para o qual (f ° f)(x) = 1.
[Res.]
f(f(x)) = 1 / ((1 / (x - 1)) - 1) = 1 / ((1 - x + 1) / (x-1)) = 1 / ((2-x)/(x-1))
Como f(f(x)) = 1, logo:
1 / ((2-x)/(x-1)) = 1
1 = (2-x)/(x-1)
x - 1 = 2 - x
2x = 3
x = 3/2

2) Se f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x², determine o valor de f(g(-1)) - g(f(-1)).
[Res.]
f(g(-1)) = 3(2x²) + 1 = 6x² + 1 = 6(-1)² + 1 = 7
g(f(-1)) = 2(3x + 1)² = 2(3(-1) + 1)² = 2 (-3+1)² = 2 (-2)² = 2 . 4 = 8
Logo:
f(g(-1)) - g(f(-1)) = 7 - 8 = -1

3) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² - 1. Determine as raízes da equação f(g(x)) = 0.
[Res.]
f(g(x)) = 2(x² - 1) + 1 = 2x² - 2 + 1 = 2x² - 1
Fazendo 2x² - 1 = 0, obtém-se:
x1 = (-0 + (0 +8)^(1/2)) / 4 = 2(2)^(1/2)/4 = (2)^(1/2)/2
x2 = (-0 - (0 +8)^(1/2)) / 4 = -2(2)^(1/2)/4 = -(2)^(1/2)/2

4) Determine as funções compostas (f ° g)(x), (g ° f)(x) com seus respectivos domínios onde:
a) f(x) = x² - 3x e g(x) = (x + 2)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = ((x + 2)^(1/2))² - 3((x + 2)^(1/2))
= x + 2 - 3((x + 2)^(1/2))
Domínio = [-2, ∞[

g(f(x)) = ((x² - 3x) + 2)^(1/2)
= (x² - 3x + 2)^(1/2)
= ((x-2)(x-1))^(1/2)
Domínio = ]-∞, 1] U [2, ∞[

b) f(x) = (x-2)^(1/2) e g(x) = (x + 5)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (((x + 5)^(1/2))-2)^(1/2)
Domínio = [-1, ∞[

g(f(x)) = (((x-2)^(1/2)) + 5)^(1/2)
Domínio = [2, ∞[

c) f(x) = (25-x²)^(1/2) e g(x) = (x - 3)^(1/2)
[Res.]
f(g(x)) = (25-((x - 3)^(1/2))²)^(1/2)
= (28 - x)^(1/2))²)^(1/2)
Domínio = [3, 28]

g(f(x)) = (((25-x²)^(1/2)) - 3)^(1/2)
Domínio = [-4, 4]

d) f(x) = x / (3x + 2) e g(x) = 2/x
[Res.]
f(g(x)) = (2/x) / (3(2/x) + 2)
= (2/x)/((6+2x)/x) = 2/x * x/(6+2x) = 1 / (3+x)
Domínio = IR - {0, -3}

g(f(x)) = 2/(x / (3x + 2))
= (6x + 4) / x
Domínio = IR - {0, -2/3}

5) Sabendo que f(x) = x+2 e f(g(x)) = 2x - 3, determine a função g(x).
[Res.]
f(x) = x + 2
Fazendo g(x) = y, f(g(x)) = y + 2
Como f(g(x)) = 2x -3, logo:
2x - 3 = y + 2
y = 2x - 5

Logo, g(x) = 2x - 5

6) Sendo g(x) = x - 7 e f(g(x)) = 3x - 1, determine a função f(x).
[Res.]
De f(g(x)) = 3x - 1:
x = (f(g(x)) + 1) / 3

g(x) = (f(g(x)) + 1)/3 - 7 = (f(g(x)) + 1 - 21) / 3
3*g(x) = f(g(x)) -20
f(g(x)) = 3g(x) + 20

Logo:
f(x) = 3x + 20

7) Determine uma forma funcional composta para y em cada caso:

a) y = (x² + 3x)^(1/3)
[Res.]
y = u^(1/3)
com u = x^2 + 3x

b) y = 1 / (x - 3)^4
[Res.]
y = 1 / u^4
com u = x - 3

c) y = (x^4 - 16)^(1/4)
[Res.]
y = u^(1/4)
com u = x^4 - 16

d) y = 4 + (x^2 + 1)^(1/2)
[Res.]
y = 4 + u^(1/2)
com u = x^2 + 1

e) y = (x^4 - 2.x^2 + 5)^5
[Res.]
y = u^5
com u = x^4 - 2.x^2 + 5

f) y = ((x + 4)^(1/2) - 2) / ((x + 4)^(1/2) + 2)
[Res.]
y = (u - 2) / (u + 2)
com u = v^(1/2)
com v = (x+4)

g) y = 1 / (x² + 3x - 5)^3
[Res.]
y = 1 / u^3
com u = x² + 3x - 5

h) y = x^(1/3) / (1 + x^(1/3))
[Res.]
y = u / (1 + u)
com u = x^(1/3)

8) Sejam f(x) = x² + 3x + 4 e g(x) = ax + b duas funções. Determine as constantes reais a e b para que (f ° g) (x) = (g ° f) (x) para todo x real.
[Res.]
(f ° g) (x) = (ax + b)² + 3(ax + b) + 4
(g ° f) (x) = a(x² + 3x + 4) + b

Fazendo (f ° g) (x) = (g ° f) (x):
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b

a²x² + 2 abx + b² + 3ax + 3b + 4 = ax² + 3ax + 4a + b

a²x² + 2 abx + b² ~~+ 3ax~~ + 3b + 4 = ax² ~~+ 3ax~~ + 4a + b

a²x² + 2 abx + b² + 3b + 4 = ax² + 4a + b

Comparando-se os termos, tem-se:
2abx = 0
a²x² = ax², logo a² = a, e, portanto, a = 1
b² + 3b + 4 = 4a + b

Com a = 1, tem-se:
b² + 3b + 4 = 4a + b
b² + 3b + 4 = 4 . 1 + b
b² + 2b = 0
b (b + 2) = 0
b = 0 ou b = -2

Testando a = 1 e b = 0:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + 0)² + 3(1 . x + 0) + 4 = 1(x² + 3x + 4) + 0
x² + 3x + 4 = x² + 3x + 4, o que é verdadeiro!

Testando a = 1 e b = -2:
(ax + b)² + 3(ax + b) + 4 = a(x² + 3x + 4) + b
(1 . x + (-2))² + 3(1 . x + (-2)) + 4 = 1 . (x² + 3x + 4) + (-2)
(x -2)² + 3(x - 2) + 4 = x² + 3x + 2
x² - 4x + 4 + 3x - 6 + 4 = x² + 3x + 2
x² - x + 2 = x² + 3x + 2, o que não é verdadeiro!

Logo, a resposta é:
a = 1 e b = 0.

9) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x - 1, e g(x) = ax + b. Sabendo que f(g(x)) = -2x, determine a função g(x).
[Res.]
Calculando f(g(x)):
f(g(x)) = (g(x)) - 1

Como f(g(x)) = -2x:
(g(x)) - 1 = -2x
Assim:
g(x) = -2x + 1

10) Se f(x) = 2 / (2x + 5) determine o valor de x de modo que f(f(x)) = 2.
[Res.]
f(f(x)) = 2 / (2(2 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (4 / (2x + 5)) + 5)
= 2 / (((4 + 5 (2x +5))) / (2x+5))
= 2 / ((4 + 10x + 25) / (2x + 5))
= (4x + 10) / (10x + 29)

Como f(f(x)) = 2, logo:
(4x + 10) / (10x + 29) = 2
(4x + 10) = 2 . (10x + 29)
4x + 10 = 20x + 58
16x = -48
x = -48 / 16
x = -3

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

sexta-feira, 29 de março de 2019

Cálculo I - 29/03/2019

Cálculo I - 29/03/2019 - (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 19h00min
Término da aula: 20h10min
Taxa de aproveitamento: 77,77%

Exercícios de Limites Trigonométricos

Lembrando que
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1

1) Encontre o limite:

a) lim_x→0 [sen(3x)/8x]

[Res.]
lim_x→0 [sen(3x)/8x]
= lim_x→0 {[3/8 . sen(3x)] / [3/8 . (8x)]}
= lim_x→0 {[3/8 . sen(3x)] / [3x]}
= lim_x→0 [3/8 . sen(3x)/(3x)]
= lim_x→0 3/8 . lim_x→0 [sen(3x)/(3x)]
= 3/8 . 1
= 3/8

b) lim_x→0 [sen(3x)/sen(2x)]

[Res.]
lim_x→0 [sen(3x)/sen(2x)]
= lim_x→0 {[3/2 . sen(3x)/3x] /[3/2 . sen(2x)/3x]}
= lim_x→0 {[3/2 . sen(3x)/3x] /[sen(2x)/2x]}
= lim_x→0 (3/2) . lim_x→0 [sen(3x)/3x] / lim_x→0 [sen(2x)/2x]
= 3/2 . 1 / 1
= 3/2

Limites infinitos

Ao investigarmos lim_x→a^- f(x) ou lim_x→a⁺ f(x), pode ser que o valor de f(x) ou aumente ou decresça sem limite à medida em que x se aproxima de a.

Exemplos:
Seja f(x) = 1 / (x - 2). Estude lim_x→2 f(x).

Gráfico de f(x) = 1 / (x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Quando x tende a 2 pela direita, f(x) aumenta sem limite. Denotamos este fato escrevendo:
lim_x→2⁺ [1/(x - 2)] = + ∞.

Por outro lado, quando x tende a 2 pela esquerda, f(x) decresce sem limite. Daí, escrevemos:
lim_x→2^- [1/(x - 2)] = - ∞.

Se os limites laterais são distintos, não existe limite no ponto: ∄ lim_x→2 f(x).

Definição:
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em x = a.

Escrevemos lim_x→a f(x) = + ∞ se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes com x próximo de a, mas x ≠ a.

Escrevemos lim_x→a f(x) = - ∞ se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente pequenos com x próximo de a, mas x ≠ a.

Exercícios:
* lim_x→_-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1)

[Res.]

Gráfico de f(x) = 2x⁵ - 5x³ + 1, obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→_-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1)
= lim_x→_-∞ 2x⁵ - lim_x→_-∞ 5x³ + lim_x→_-∞ 1
= [lim_x→_-∞ 2x]⁵ - [lim_x→_-∞ 5x]³ + 1
= [2 . lim_x→_-∞ x]⁵ - [5 . lim_x→_-∞ x]³ + 1
= [2 . (-∞)]⁵ - [5 . (-∞)]³ + 1
= [-∞]⁵ - [-∞]³ + 1
Como o limite tendeu ao infinito (negativo), iremos considerar apenas o termo de maior expoente para encontrar o limite da função. Assim:
lim_x→_-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1) = -∞

* lim_x→_+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (3 - x) / (√(5 + 4 . x²)), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→_+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²)]
= lim_x→_+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²) . √(5 + 4 . x²) / √(5 + 4 . x²)]
= lim_x→_+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / (5 + 4 . x²)}
= lim_x→_+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / [x².(5/x² + 4 . x²/x²)]}
= lim_x→_+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→_+∞ {[x(3/x - x/x) . x√(5/x² + 4 . x²/x²)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→_+∞ {[x²(3/x - 1) . √(5/x² + 4 . 1)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→_+∞ {[x²(3/x - 1) . √(5/x² + 4)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→_+∞ {[(3/x - 1) . √(5/x² + 4)] / [(5/x² + 4)]}
= {[(0 - 1) . √(0 + 4)] / [(0 + 4)]}
= {[(- 1) . √4] / [4]}
= {[-√4] / [4]}
= {[-2] / [4]}
= -2 / 4
= -1 / 2

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.