Vazão volumétrica e vazão mássica

Medidores de vazão orifício, bocal e venturi - Mecânica dos Fluidos

Fluidos - Tubo De Venturi

Estática dos Fluidos - Introdução aos Fluidos

Fluidos - Pressão Hidrostática

Mecânica dos Fluidos - Aula 04 - Linha de energia e Linha piezométrica

Mecânica dos Fluidos  - Aula 04 - Linha de energia e Linha piezométrica

Linha de Energia (LE) e Linha Piezométrica (LP)

P / ρ = V² / 2 + g . z = constante

P / (ρ . g) = V² / (2 . g) + z = H

(m/s)² / (m/s²) = (m²/s²) / (m/s²) = m

Força = massa . aceleração = Newton

N / m² / [(kg/m³) . (m/s²)] = [(kg / m²) . (m / s²)] / [(kg/m²) . (m/s²)]

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Linha de Energia

LE = P / (ρ . g) + V² / (2 . g) + z

Obs.: a Linha de Energia pode ser medida usando o tubo de Pitot

h + z = P / (ρ . g) + V² / (2 . g) + z = LE = H, onde:

LE é a soma das pressões estática e dinâmica de escoamento

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Linha Piezométrica (LP)

LP = P / (ρ . g) + z

LE = P / (ρ . g) + V² / (2 . g) + z

LE - LP = V² / (2 . g)

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Exercício de revisão:

Problema 6.49 (FOX 6ª Edição):

Um bocal com diâmetro D = 75mm está acoplado na ponta de uma mangueira de incêndio.

O bocal é de perfil e tem diâmetro de saída d = 25mm. A pressão de projeto na entrada do bocal é P₁ = 689kPa (manométrica).

Avalie a máxima vazão em volume (em m³/h) que este bocal pode fornecer.

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

Q₁ = Q₂

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ . π . D² / 4 = V₂ . π . d² / 4

V₁ = V₂ . d² / D²

Resolvendo:

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

689 . 10³ / 1000 + (V₂ . d² / D²)² / 2 + g . z₁ = 0 / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

Como z₁ = z₂:

689 . 10³ / 1000 + (V₂ . d² / D²)² / 2 = 0 / ρ + V₂² / 2

689 . 10³ / 500 + V₂² . d⁴ / D⁴ = V₂²

V₂² . (1 - d⁴ / D⁴) = 689 . 10³ / 500 = 689 . 1000 / 500 = 689 . 2 / (1 - d⁴ / D⁴)

V₂² = [1378 / (1 - d⁴ / D⁴)] ^ (1/2) = 37,35 m/s

Como Q₂ = A₂ . V₂:

Q₂ = π . d² / 4 . 37,35 = 0,018m³/s

0,018m³/s . 60 s/min . 60 min/h = 64,8 m³/h

Resolução do professor:

Hipóteses:

1. ...
2. ...
3. ...
4. ...
5. z₁ = z₂
6. P_{2manométrica} = 0

Q₁ = Q₂

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ = V₂ . A₂ / A₁

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

P₁ / ρ + (V₂² . A₂²) / (2 . A₁²) = V₂² / 2

V₂² - V₂² . (A₂² / A₁²) = 2 . P₁ / ρ 

V₂² . [1 - (A₂² / A₁²)] = 2 . P₁ / ρ

V₂  = {2 . P₁ / [ρ  . (1 - A₂² / A₁²)]} ^ (1/2)

V₂  = {2 . 689 . 10³ / [1000  . (1 - ((π . 0,025² / 4) / (π . 0,075² / 4))²)]} ^ (1/2) = 37,35271 m/s

Bernoulli:

• Pascal:
  P + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z
• m²/s²:
  P / ρ + V₁² / 2 + g . z
• m:
  P / (ρ .g) + V₁² / (2 . g) + z

Q = V . A = 37,35 m/s . π . 0,025² / 4 m² = 0,018 m³/s

Q = 0,018 m³/s . 3600 s/h = 64,8 m³/h

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Problema 6.63 (FOX, 6ª Edição)

O tanque, de diâmetro 𝐷, tem um orifício arredondado e liso de diâmetro 𝑑. Em 𝑡 = 0, o nível da água está na altura ℎ0. Desenvolva uma expressão para a relação adimensional entre a altura instantânea e a altura inicial de água, ℎ/ℎ0. Não considere que o diâmetro 𝐷 é muito maior que o diâmetro 𝑑.

Resolução:

1° Passo: Encontre uma expressão para a velocidade do tanque

Hipóteses:

1. ...
2. ...
3. ...

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

Considerando P₁ = P₂:

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

V₁² / 2 + g . z₁ = V₂² / 2 + g . z₂

(V₁² - V₂²) / 2 = g . (z₂ - z₁)

V₁ . A₁ = V₂ . A₂ 

V₂ = V₁ . A₁ / A₂ 

1 / 2 . [V₁² - V₁² . (A₁ / A₂)² ] = g . [H - (H + h)]

V₁² [1 - (d₁ / d₂)²] = 2 . g . (H - H - h)

V₁ = {-2 . g . h / [1 - (d₁ / d₂)²]} ^ (1/2) = {2 . g . h / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) = - dh / dt

h^1/2 . {2 . g / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) = - dh / dt

- {2 . g / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) . ∫ dt = ∫ (dh / h^1/2) = ∫ h^-1/2 . dh

Aplicando a regra da potência para integração:

- {2 . g / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) . t = ∫ (dh / h^1/2) = h^{-1/2 + 1} / (-1/2 + 1) + C, onde C é a constante de integração.

- {2 . g / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) . t = ∫ (dh / h^1/2) = h^1/2 / (1/2) + C

- {2 . g / [(d₁ / d₂)² - 1]} ^ (1/2) . t = ∫ (dh / h^1/2) = 2 . h^1/2 + C

Utilizando a condição de contorno:

• para t = 0, h = h₀, logo:
  C = -2 . h₀^1/2

Observação: estudar o que é condição de contorno.

Condição de contorno: Em matemática, no ramo de equações diferenciais, um problema de valor sobre o contorno é um sistema de equações diferenciais provido de um conjunto de restrições adicionais, as chamadas condições de contorno ou condições de fronteira. Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_sobre_o_contorno

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Exercício em sala para ponto:

Questão 1: Na figura abaixo ambos os fluidos estão a 20°C (ρ_Hg = 13550 kg/m³ e ρ_H2O = 998kg/m³). Se V₁ = 0,52 m/s e as perdas são desprezadas, qual deve ser a leitura do manômetro, h, em cm?

Resolução:

Hipóteses:

1. Regime permanente
2. fluido incompressível
3. escoamento ao longo de uma linha de corrente
4. fluido sem atrito

Q₁ = Q₂

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ = V₂ . A₂ / A₁

V₁ . π . D² / 4 = V₂ . π . d² / 4

V₁ = V₂ . d² / D²

V₂ = V₁ . D² / d²

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

Como z₁ = 0, z₂ = 3, P₂ = 0:

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . 0 = 0 / ρ + V₂² / 2 + g . 3

P₁ / ρ + V₁² / 2 = V₂² / 2 + g . 3

P₁ / ρ + V₁² / 2 = (V₁ . D² / d²)² / 2 + g . 3

P₁ / ρ = (V₁ . D² / d²)² / 2 - V₁² / 2 + g . 3

P₁ = [(V₁ . D² / d²)² / 2 - V₁² / 2 + g . 3] . ρ

P₁ = {1/2 . [(V₁ . D² / d²)² - V₁²] + g . 3} . ρ

P₁ = {1/2 . V₁² . [(D² / d²)² - 1] + g . 3} . ρ

P₁ = {1/2 . V₁² . [(D⁴ / d⁴) - 1] + g . 3} . ρ

P₁ = {1/2 . 0,52² . [(0,075⁴ / 0,025⁴) - 1] + 9,81 . 3} . 998 = 40165,508 Pa

Como ρ_Hg . g . h = ρ_H2O . g . 0,6 + P₁:

13550 . g . h = 998 . g . 0,6 + 40165,508, logo:

h = 0,34635 m

h = 34,635 cm

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Mecânica dos Fluidos - Aula 03 - 15/08/2022

Mecânica dos Fluidos - Aula 03 - 15/08/2022

Capítulo 6 - Escoamento incompressível...

Equação da continuidade:

• Q₁ = Q₂
  V₁ . A₂ = V₂ . A₂
  V₁ / V₂ = A₂ / A₁

Equação de Bernoulli interpretada como uma equação de energia:

Q' - W' = ∂/∂t ∫_VC e . ρ . d∀ + ∫_SC (e +PV) . ρ . V . dA

Onde:

e = u + v²/2 + g₂

Hipóteses:

1. W = 0
2. Regime permanente
3. ...

Vazão mássica: m':

• m₁' = m₂'
  ρ₁ . V₁ . A₁ = ρ₂ . V₂ . A₂

P₁ / ρ + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂² / 2 + g . z₂

Exemplo 6

Água escoa em regime permanente de um grande reservatório aberto através de um tubo curto e de um bocal com área de seção transversal A = 560 mm², considere que o fluido é descarregado para a atmosfera. Um aquecedor de 10kW, bem isolado termicamente, envolve o tubo. Determine o aumento de temperatura da água. Sabe-se que 𝑐_{á𝑔𝑢𝑎} = 4180 𝐽/𝐾𝑔.𝐾, 𝜌_{á𝑔𝑢𝑎} = 1000 𝑘𝑔/𝑚³.

Hipóteses:

1. ...
2. ...
3. ...
4. ...
5. P₃ = P₄

P₃ = P₄ = P_atm

V₃ ≈ 0

Q' = m' . c . Δt, onde:

m' = ρ . V . A

P₃ / ρ + V₃² / 2 + g . z₃ = P₄ / ρ + V₄² / 2 + g . z₄

V₄ = [2 . g . (z₃ - z₄)] ^ (1/2)

V₄ = [2 . 9,81 . (3 - 0)] ^ (1/2) = 7,6681 m/s

m' = ρ . V₄ . A₄ = ρ . V₁ . A₁ = ρ . V₂ . A₂

m' = 1000 kg/m³ . 77 m/s . 560 . 10^(-6) m² = 4,3 kg/ (m . s)

Δt_1-2 = 10 . 10³ / (4,3 . 4180) = 0,55 Kelvin

W . J/s . (1/W) . s/kg . kg/J . K = W . J/s . (1/W) . s/kg . kg/J . K = K

Exercício em sala valendo ponto:

Problema 6.44 (FOX 9ª Edição):

Água escoa de um tanque muito grande através de um tubo de 6 cm de diâmetro. O líquido escuro no manômetro é mercúrio. Estime a velocidade no tubo e a vazão de descarga. (Considere o escoamento sem atrito.) Considere também, que a área do tanque é muito maior que a área da tubulação onde a água sai. 𝜌_𝐻2𝑂 = 1000 𝑘𝑔/𝑚³ e 𝑑_𝐻𝑔 = 13,6.

Hipóteses:

...

P_I = P_II

Fazendo por pressão absoluta:

𝜌_𝐻2𝑂 . g . 0,85 + P₂ = (d_𝐻g . 𝜌_𝐻2𝑂) . g . 0,2 + P_atm

P₂ = (d_𝐻g . 𝜌_𝐻2𝑂) . g . 0,2 + P_atm - 𝜌_𝐻2𝑂 . g . 0,85

P₁ / 𝜌 + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / 𝜌 + V₂² / 2 + g . z₂

P_atm / 𝜌_𝐻2𝑂 + g . (z₁ - z₂) = [(d_𝐻g . 𝜌_𝐻2𝑂) . g . 0,2 + P_atm - 𝜌_𝐻2𝑂 . g . 0,85] / 𝜌_𝐻2𝑂 + V₂² / 2

Fazendo por pressão manométrica:

P₂ = (d_𝐻g . 𝜌_𝐻2𝑂) . g . 0,2 - 𝜌_𝐻2𝑂 . g . 0,85 = (g . 𝜌_𝐻2𝑂) . (d_𝐻g . 0,2 - 0,85)

P_atm / 𝜌_𝐻2𝑂 + g . (z₁ - z₂) = [(d_𝐻g . 𝜌_𝐻2𝑂) . g . 0,2 + P_atm - 𝜌_𝐻2𝑂 . g . 0,85] / 𝜌_𝐻2𝑂 + V₂² / 2

P_atm / 𝜌_𝐻2𝑂 + g . (z₁ - z₂) = [(d_𝐻g . 𝜌_𝐻2𝑂) . g . 0,2 + P_atm - 𝜌_𝐻2𝑂 . g . 0,85] / 𝜌_𝐻2𝑂 + V₂² / 2

g . (z₁ - z₂) = [(𝜌_𝐻2𝑂 . g ) . (d_𝐻g . 0,2 - 0,85)] / 𝜌_𝐻2𝑂 + V₂² / 2

g . (z₁ - z₂) = [(𝜌_𝐻2𝑂 . g ) . (d_𝐻g . 0,2 - 0,85)] / 𝜌_𝐻2𝑂 + V₂² / 2

g . (z₁ - z₂) - g . (d_𝐻g . 0,2 - 0,85)] = V₂² / 2

V₂ = {2 . [g . (z₁ - z₂) - g . (d_𝐻g . 0,2 - 0,85)]} ^ (1/2)

V₂ = {2 . [g . (Δz) - g . (d_𝐻g . 0,2 - 0,85)]} ^ (1/2) = 7,8 m/s

Q = V . A = 7,8 . π . 0,06² / 4 = 0,022 m³/s

Exercício de revisão

Problema 6.42 (FOX, 6ª Edição)

Água escoa em regime permanente para cima no interior do tubo vertical de 0,1 𝑚 de diâmetro e é descarregado para a atmosfera através do bocal que tem 0,05 𝑚 de diâmetro. A velocidade média

do escoamento na saída do bocal deve ser de 20 𝑚/𝑠 . Calcule a pressão manométrica mínima requerida na seção 1. Se o equipamento fosse invertido verticalmente, qual seria a pressão mínima requerida na seção 1 para manter a velocidade na saída do bocal em 20 𝑚/𝑠.

Resolução:

Q₁ = Q₂

A₁ . V₁ = A₂ . V₂

π . 0,10² / 4 . V₁ = π . 0,05² / 4 . 20

V₁ = 5m/s

Como P_I = P_II:

P₁ / 𝜌 + V₁² / 2 + g . z₁ = P₂ / 𝜌 + V₂² / 2 + g . z₂

Fazendo por pressão manométrica:

P₁ / 1000 + 5² / 2 + g . 0 = 0 / 𝜌 + 20² / 2 + g . 4

P₁ / 1000 = 20² / 2 + g . 4 - 5² / 2

P₁ = 1000 . (20² / 2 + g . 4 - 5² / 2) = 226,740 kPa

--- Caso 2: invertendo o tubo:

Como P_I = P_II:

P₁ / 1000 + 5² / 2 + g . 4 = 0 / 𝜌 + 20² / 2 + g . 0

P₁ / 1000 = 20² / 2 - g . 4 - 5² / 2

P₁ / 1000 = 400 / 2 - g . 4 - 25 / 2

P₁ = 1000 . (400 / 2 - g . 4 - 25 / 2) = 148,260 kPa

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Mecânica dos Fluidos - Aula 2 - 08/08/2022

Mecânica dos Fluidos - Aula 2 - 08/08/2022 (Segunda-feira)

Capítulo 6 - Escoamento incompressível de fluidos não viscosos

Observação: Aula tem algumas definições que são do capítulo 4 e capítulo 5:

• Capítulo 4: Conservação:
• da massa (CM)
• da quantidade de movimento (CQM)
• Capítulo 5: equações utilizadas para CM e CQM com base nas equações diferenciais

∇ - gradiente 

Obs.: Nabla é um símbolo representado por ∇. O nome está associado a uma palavra grega que designa um instrumento musical (tipo de lira) com uma forma semelhante ao símbolo.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Nabla#:~:text=O%20s%C3%ADmbolo%20nabla%20%E2%80%94%20tamb%C3%A9m%20chamado,opera%C3%A7%C3%A3o%2C%20usava%20esse%20tri%C3%A2ngulo%20invertido.

∇ = ∂/∂x vetor_i + ∂/∂x vetor_j + ∂/∂x vetor_k

ρ . DV / Dt = ρ . g - p . ∇

dP / ρ + V . dV + g . dz = 0

integrando a anterior:

P / ρ + V²/2 + g . z = constante

ou

P + ρ . V²/2 + ρ . g . z = constante

Para fluidos invíscidos (hipóteses):

1) Escoamento em regime permanente

2) Escoamento incompressível

3) Escoamento sem atrito (ou invíscido)

4) Escoamento ao longo de uma linha corrente

ṁ₁ = ṁ₂

ρ . Q₁ = ρ . Q₂

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ = V₂

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₂ + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z₂

onde:

• P₁ = pressão estática
• ρ . V₁² / 2 = pressão dinâmica

Pascal = Pa = N/m² = kg / m² . m / s² = kg / (m . s²)

[M . L^-1 . T^-2]

ρ em kg / m³

kg/m³ . m²/s² = kg / (m . s²)

kg/m³ . m/s² . m = kg / (m . s²)

Pressão de estagnação: quando um fluido em escoamento é desacelerado até a velocidade zero.

Tubo de Pitot (medidor de vazão):

Esquema de Tubo de Pitot
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Tubo_de_Pitot

P₀ + ρ . V₀² / 2 = P + ρ . V² / 2

Como ρ . V₀² / 2 = 0, pois V₀ = 0:

P₀ = P + ρ . V² / 2

Onde P₀ é a pressão de estagnação. Daí:

V = (2 (P₀ - P) / ρ)^(1/2)

V . A = Q

Tomada de pressão estática de escoamento:

Exemplos:

Exemplo 1:

Um tubo de Pitot é inserido em um escoamento de ar (na condição-padrão) para medir a velocidade do escoamento. O tubo é inserido apontando para montante dentro do escoamento de modo que a pressão captada pela sonda é a pressão de estagnação. A pressão estática é medida no mesmo local do escoamento com uma tomada de pressão na parede. Se a diferença de pressão é de 30 mm de mercúrio, determine a velocidade do escoamento.

Dados:

• 𝜌_{𝑎𝑟−𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜} = 1,23 𝑘𝑔/𝑚3
• 𝜌_𝐻𝑔 = 𝜌_{𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜} = 13600 𝑘𝑔/𝑚³.

Resolução:

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₂ + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z₂

P₂ = P₁ + ρ . V₁² / 2

Hipóteses:

1. regime permanente
2. fluido incompressível
3. escoamento ao longo de uma linha de corrente
4. fluido sem atrito
5. z₁ = z₀
6. V₀ = 0

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₀ + ρ . V₀² / 2 + ρ . g . z₀

Como:

• ρ . g . z₁ = ρ . g . z₀
• ρ . V₀² / 2 = 0

Logo:

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₀ + ρ . V₀² / 2 + ρ . g . z₀

Pressão de estagnação:

P₀ = P₁ + ρ . V₁² / 2

Manômetro:

P₂ = P₃

P₀ = ρ_Hg . g . h + P₁

P₁ = ρ_ar . V₁² / 2 = ρ_Hg . g . h + P₁

Velocidade de escoamento:

V₁² = (2 . ρ_Hg . g . h / ρ_ar) ^ (1/2)

V₁² = (2 . 13600 kg/m³ . 9,81 m/s² . 0,03 m / (1,23 kg/m³)) ^ (1/2) = 80,67 m/s

Exemplo 2:

Ar escoa em regime permanente e com baixa velocidade através de um bocal (por definição um equipamento para acelerar um escoamento) horizontal que o descarrega para a atmosfera. Na entrada do bocal, a área é 0,1 m² e, na saída, 0,02 m². Determine a pressão manométrica necessária na entrada do bocal para produzir uma velocidade de saída de 50m/s.

Dados: 𝜌_{𝑎𝑟−𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜} = 1,23 𝑘𝑔/𝑚³.

Resolução:

Hipóteses:

1. regime permanente
2. fluido incompressível
3. escoamento ao longo de uma linha de corrente
4. fluido sem atrito
5. z₁ = z₂
6. P_{2 manométrico} = 0

Lembrete:

Calculando:

P_{1 manométrico} + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P_{2 manométrico} + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₂

Como:

• z₁ = z₂
• P_{2 manométrico} = 0

P_{1 manométrico} + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P_{2 manométrico} + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₂

P_{1 manométrico} + ρ . V₁² / 2 = ρ . V₁² / 2

Como:

Q₁ = Q₂

Logo:

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ = V₂ . A₂ / A₁

P_{1 manométrico} = ρ / 2 . [V₂² - V₁²]

P_{1 manométrico} = ρ / 2 . [V₂² - (V₂ . A₂ / A₁)²]

P_{1 manométrico} = ρ / 2 . [V₂² - V₂² . A₂² / A₁²]

P_{1 manométrico} = 1,23/2 kg/m³ . [50² m²/s² - 50² m²/s². (0,02/0,1)²] = 1476 Pascal

kg / (m . s²)

[M . L^-1 . T^-2]

Exemplo 3:

Um tubo em U atua como um sifão de água. A curvatura no tubo está 1m acima da superfície da água; a saída do tubo está 7 m abaixo da superfície da água. A água sai pela extremidade inferior do sifão como um jato livre para a atmosfera. Determine (após listar as considerações necessárias):

a) a velocidade do jato livre

b) a pressão absoluta mínima da água na curvatura.

Dados:

• 𝜌_{á𝑔𝑢𝑎} = 1000 𝑘𝑔/𝑚3
• 𝑃_𝑎𝑡𝑚 = 101,3 𝑘𝑃𝑎.

Considerar a área do reservatório como muito grande, tendendo ao infinito.

Resolução:

a) 

P₁ = P₂ + ρ . V₂² / 2 - ρ . g . 7

Como:

P₁ = P₂

Logo:

ρ . V₂² / 2 = ρ . g . 7

ρ . V₂² / 2 = ρ . g . 7

V₂² / 2 = g . 7

V₂² = 2 . g . 7 = 14 . g = 14 . 9,81

V₂ = (14 . 9,81) ^ (1/2) = 11,71 m/s

b)

P₁ + ρ_H2O . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P_A + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z_A

Como:

• V₁ = 0
• z₁ = 0
• P₁ = pressão atmosférica

Logo:

P₁ + ρ_H2O . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P_A + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z_A

P₁ = P_A + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z_A

101,3 . 10³ = P_A + 1000 . 11,71² / 2 + 1000 . 9,81 . 1 = 22927,95 Pascal ≈ 23kPa

Pressão Manométrica

P_{A manométrica} = P_A - P_atmosférica

P_{A manométrica} = 22,8 - 101,3 = -78,5kPa

Exemplo 4:

Água escoa sob uma comporta, em um leito horizontal na entrada de um canal. A montante da comporta, a profundidade da água é 0,45 m e a velocidade é desprezível. Na seção contraída (vena contracta) a jusante da comporta, as linhas de corrente são retilíneas e a profundidade é de 50 mm. Determine a velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão em metros cúbicos por segundo por metro de largura.

Resolução:

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₂ + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z₂

Como:

• V₁ = 0
• z₁ = 0

Logo:

P₁ + ρ . V₁² / 2 + ρ . g . z₁ = P₂ + ρ . V₂² / 2 + ρ . g . z₂

1 atm = 1 atm + 1000 . V₂² / 2 + 1000 . 9,81 . (-0,4)

1 atm = 1 atm + 1000 . V₂² / 2 + 1000 . 9,81 . (-0,4)

1000 . 9,81 . 0,4 = 1000 . V₂² / 2

1000 . 9,81 . 0,4 = 1000 . V₂² / 2

9,81 . 0,8 = V₂²

V₂ = (9,81 . 0,8) ^ (1/2) = 2,80 m/s

Exemplo 5:

Um pequeno avião voa a 150 km/h no ar-padrão (𝜌 = 1,23 𝑘𝑔/𝑚³ a 1 𝑎𝑡𝑚 = 101,3 𝑘𝑃𝑎) em uma altitude de 1000 m. Determine a pressão de estagnação na borda de ataque da asa. Em certo ponto perto da asa, a velocidade do ar relativa à asa é 60 m/s. Calcule a pressão nesse ponto.

Resolução:

Pressão de estagnação:

P₀ = P + ρ . V² / 2

Calculando P (onde P_NM= P_normal) para altitude de 1000m:

P = P_normal . 0,8870 = 101,3 . 10³ . 0,8870 = 89,85 kPa

Calculando ρ (onde ρ_NM= ρ_normal) para altitude de 1000m:

ρ = ρ_normal . 0,9075 = 1,23 . 0,9075 = 1,12 kg/m³

Convertendo a velocidade para m/s:

150 km/h . 1000 m/km . 1 h/60min . 1min/60s = 150 / 3,6 = 41,67m/s

Daí:

P₀ = 89,85 . 10³ + 1,12 . (41,67)² / 2 = 90,82 kPa

Encontrando P_B:

P_ar + ρ . V_ar² / 2 + ρ . g . z_A = P_B + ρ . V_B² / 2 + ρ . g . z_B

Considerando z_A = z_B:

P_ar + ρ . V_ar² / 2 + ρ . g . z_A = P_B + ρ . V_B² / 2 + ρ . g . z_B

89,85 . 10³ + 1,12 . (41,67)²/2 = P_B + 1,12 . 60² / 2

P_B = 88,8 kPa

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Mecânica dos Fluidos - Aula 01 - 01/08/2022

Mecânica dos Fluidos - Aula 01 - 01/08/2022

ID da disciplina: 51

Código da disciplina: 11607

Professor Kelvin Cristien: kelvincristien@ucl.br

Materiais na ESO e no Classroom

Conteúdo:

• Análise dimensional e semelhança
• Introdução à análise diferencial dos movimentos dos fluidos
• Escoamento incompressível de fluidos não viscosos - Líquido
• Escoamento interno viscoso incompressível - Capítulo 08
• Escoamento externo: Capítulo 04

Livro: Introdução à mecânica dos fluidos - Editora LTC - Autores: Fox, McDonald

Estudar: equações de Navier Stokes

Avaliações:

• Prova 1: 19/09/2022: Capítulo 6 e Capítulo 7
• Trabalho
• Prova 2: 28/11/2022: Capítulo 5 e Capítulo 8
• Exame Semestral: 12/12/2022
• Prova substitutiva: 05/12/2022

Revisão de "Fenômenos de Transporte"

(Capítulo 3)

P = F / A = m . a / A = M L / (L² . T²) = M L^-1T^-2

Pabsoluta = Patmosférica + Pmanométrica

Exemplo 1: Pressão 12 por 8

Pa'_manométrica = 0 + (d_Hg . ρ_H2O) . g . H

Pa'_man = 13,6 . 1000 . kg/m³ . 9,81 m/s² . 0,12m = Kg / (m.s²) = M / (L.T²) = M L^-1T^-2

Pa'_man = 16kPa = 120mmHg

Pa'_man = 13,6 . 1000 . kg/m³ . 9,81 m/s² . 0,08m

Pa'_man = 10,6kPa = 80mmHg

Exemplo 2:

P_C - P_A = ρ_H2O . g . d₁

P_D - P_C  = ρ_Hg . g . d₂ = -(d_Hg . ρ_H2O) . g . d₂

P_E - P_D  = ρóleo . g . d₃ = (d_óleo . ρ_H2O) . g . d₃

P_F - P_E  = ρ_Hg . g . d₄ = -(d_Hg . ρ_H2O) . g . d₄

P_B - P_F = -ρ_H2O . g . d₅

P_B - P_A = ρ_H2O . g . [d₁ - d₂ . d_Hg + d₃.d_óleo - d₄.d_Hg - d₅]

Multiplicando tudo por (-1):

P_A - P_B = ρ_H2O . g . [d₂ . d_Hg - d₁ - d₃.d_óleo + d₄.d_Hg + d₅]

P_A - P_B = 1000 kg/m³ . 9,81 m/s² [3" . 13,6 - 10" - 4" . 0,88 + 5" . 13,6 + 8"]

P_A - P_B = 9810 kg/(m² . s²) . [103,28" . 0,0254m / 1"]

kg / (m . s²) = M / (L . T²) = M L^-1T^-2

P_A - P_B = 25,73 kPa

Vazão que entra é igual à vazão que sai:

Exemplo 3:

∑ vetorV . vetorA = 0

- 5 m/s . 0,2m² + V₂ . 0,2m² + 12m/s . 0,15m² + 0,1m³/s = 0

V₂ = (5 . 0,2 - 12 . 0,15 - 0,1) / (0,2 m²) . (m/s) . m²

V₂ = -4,5 m/s

V₂ = 4,5 m/s entrando

Equação de Bernoulli (hipóteses):

1. Escoamento em regime permanente
2. Ausência de atrito
3. Escoamento ao longo de uma linha de corrente: laminar
4. Escoamento incompressível

Exemplo 4:

P₁ / ρ + V₁²/2 + g . z₁ = P₂ / ρ + V₂²/2 + g . z₂ 

Hipóteses:

1.  
2.  
3.  
4.  
5. P_{2 manométrica} = 0
6. z1 = z2

P₁ = ρ/2 . (V₂² - V₁²)

Como Q₁ = Q₂:

V₁ . A₁ = V₂ . A₂

V₁ = (V₂ . A₂) / . A₁ = (V₂ . π . D₁²/4) / . (π . D₂²/4)

V₁ = (V₂ . D₂² /D₁²)

e

Q₂ = V₂ . A₂ >>> V₂ = Q₂ / A₂

P₁ = ρ/2 . (V₂² - V₁²)

Daí:

P₁ = ρ/2 . (V₂² - V₂² . D₂⁴ /D₁⁴)

P₁ = ρ/2 . V₂² . [1- (D₂ / D₁)⁴]

P₁ = ρ/2 . Q₂² / (π² . D₂⁴/16) . [1- (D₂ / D₁)⁴]

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.