Fórmulas importantes da letra M do Kumon de Matemática

Fórmulas importantes da letra M do Kumon de Matemática

Fórmula da distância

• A distância entre dois pontos A (x₁, y₁) e B (x₂, y₂) é
  AB = [(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]^1/2
  Além disso, a distância entre o ponto de origem O e o ponto A (x₁, y₁) é
  OA = [(x₁)² + (y₁)²]^1/2

Divisão interna de um segmento de reta

• Dado o ponto P na reta AB e AP : PB = m : n, o segmento AB é dividido internamente pelo ponto P na razão m : n e o ponto P é chamado de ponto de divisão interna. (m e n são números positivos).

Divisão externa de um segmento de reta

• Dado o ponto P que está na mesma reta que o segmento AB, mas fora do segmento de reta AB, e AP : PB = m : n, diz-se que o segmento de reta AB é dividido externamente pelo ponto P na razão m : n. O ponto P é chamado de ponto de divisão externa. (m e n são números positivos).

Coordenadas de pontos de divisão interna/externa

• Dados os pontos A (x₁, y₁) e B (x₂, y₂), as coordenadas dos pontos que dividem o segmento de reta AB na razão m:n são:
  Internamente, [(nx₁ + mx₂) / (m + n), (ny₁ + my₂) / (m + n)]
  Externamente, [(- nx₁ + mx₂) / (m - n), (- ny₁ + my₂) / (m - n)]

Ponto médio

• As coordenadas do ponto médio M no segmento de reta AB onde A (x₁, y₁) e B (x₂, y₂) são dadas por:
  M [(x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2]

Centro de gravidade do triângulo

• Dado um ΔABC com vértices A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) e C (x₃, y₃), as coordenadas do centro de gravidade G são dadas por:
  G [(x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3]

Equação da Reta I

• A equação de uma reta que passa pelo ponto (x₁, y₁) com gradiente m é
  y - y₁ = m . (x - x₁)

Equação da Reta II

• A equação de uma reta que passa pelos pontos A (x₁, y₁) e B (x₂, y₂) é
  y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) . (x - x₁), quando x₁ ≠ x₂
  x = x₁, quando x₁ = x₂
  
  

Condição de paralelismo

• Para duas retas y = m₁ . x + n₁ e y = m₂ . x + n₂, a condição de paralelismo é m₁ = m₂.

Condição de perpendicularismo

• Para duas retas y = m₁ . x + n₁ e y = m₂ . x + n₂, a condição de perpendicularismo é m₁ . m₂ = -1.

Distância de um ponto a uma reta

• A distância d do ponto (x₁ , y₁ ) à reta ax + by + c = 0 é
  d = |ax₁ + by₁ + c| / (a² + b²)^(1/2)

Equação da circunferência I

• A equação da circunferência com centro na origem O e raio r é
  (x - 0)² + (y - 0)² = r²
  x² + y² = r²

Equação da circunferência II

• A equação de uma circunferência com centro no ponto (a, b) e raio r é
  (x - a)² + (y - b)² = r²

Posição relativa entre uma Circunferência e uma reta

• Quando a equação quadrática ax² + bx + c = 0 for obtida depois de y ser eliminado de cada equação de uma reta e uma circunferência, considere o discriminante D (= b² - 4ac).
  D > 0: se interceptam em dois pontos distintos.
  D = 0: são tangentes e se interceptam em um único ponto.
  D < 0: não se interceptam.
• Quando uma equação quadrática está no formato ax² + 2b'x + c = 0, considerar
  D/4 = b'² - ac

Tangente à Circunferência

• A equação da tangente à circunferência x² + y² = r² no ponto P (x₁, y₁) é:
  x₁ . x + y₁ . y = r²

Circunferências tangentes interna ou externamente

• Considere r₁ e r₂ (r₁ > r₂) os raios das circunferências C₁ e C₂, respectivamente, e d a distância entre as duas circunferências.
• internamente tangente: d = r₁ - r₂
• externamente tangente: d = r₁ + r₂

Posição relativa entre duas circunferências:

• Considere r₁ e r₂ (r₁ > r₂) os raios das circunferências C₁ e C₂, respectivamente, e d a distância entre as duas circunferências.
• Completamente interna: d < r₁ - r₂
• Internamente tangente: d = r₁ - r₂
• Interseccionam-se em dois pontos: r₁ - r₂ < d < r₁ + r₂
• Externamente tangente: d =r₁ + r₂ 
• Completamente externa: d > r₁ + r₂ 

Lugar geométrico:

• A partir das Coordenadas de pontos de divisão interna, dados os pontos A (x₁, y₁) e B (x₂, y₂), as coordenadas do ponto que divide internamente o segmento de reta AB na razão m:n são
  [(n . x₁ + m . x₂) / (m + n), (n . y₁ + m . y₂) / (m + n)]
• Das coordenadas de pontos de divisão externa, dados os pontos A (x₁, y₁) e B (x₂, y₂), as coordenadas do ponto que divide externamente o segmento de reta AB na razão m:n são
  [(-n . x₁ + m . x₂) / (m - n), (-n . y₁ + m . y₂) / (m - n)]

Identidade trigonométrica I:

• tg A = sen A / cos A
• sen² A + cos² A = 1

Identidade trigonométrica II:

• 1 + tg² A = 1 / cos² A

Razões Trigonométricas de 90° - θ:

• sen (90° - θ) = cos θ
• cos (90° - θ) = sen θ
• tg (90° - θ) = 1 / tg θ

Razões Trigonométricas de 180° - θ:

• sen (180° - θ) = sen θ
• cos (180° - θ) = - cos θ
• tg (180° - θ) = - tg θ

Fórmulas de adição:

• cos (α + β) = cos α . cos β - sen α . sen β
• cos (α - β) = cos α . cos β + sen α . sen β
• sen (α - β) = sen α . cos β - cos α . sen β
• sen (α + β) = sen α . cos β + cos α . sen β

Fórmulas do arco duplo:

• sen (2α) = 2 . sen α . cos α
• cos (2α) = cos²α - sen²α
  = 1 - 2 . sen²α = 2 . cos²α - 1
• tg (2α) = 2 . tg α / (1 - tg² α)

Fórmulas do arco triplo:

• sen (3α) = 3 . sen α - 4 . sen³α
• cos (3α) = 4 . cos³α - 3 . cos α

Fórmulas do arco metade:

• sen² (α/2) = (1 - cos α) / 2
• cos² (α/2) = (1 + cos α) / 2
• tg² (α/2) = (1 - cos α) / (1 + cos α)

Teorema do Ângulo Inscrito

• Dado que os pontos P1, P2, P3, ... que estão na mesma parte da circunferência em relação ao segmento de reta AB, os ângulos <AP1B, <AP2B, AP3B, ... são congruentes (tem a mesma medida).

Diâmetro e Ângulo Inscrito

• Colocando o ponto P na circunferência no qual o segmento de reta AB é o diâmetro, então <APB = 90°.

Quadrilátero Inscrito na Circunferência

• Dado que um quadrilátero está inscrito em uma circunferência, a soma dos ângulos opostos é 180°. α + β = 180°.

Lei do Seno

• a / senA = b / sen B = c / senC = 2R

Conversão de asinθ + bcosθ

• asenθ + bcosθ = (a² + b²)^(1/2) . sen (θ + α)
• onde cos α = a / (a² + b²)^(1/2), sen α = b / (a² + b²)^(1/2)

 Transformação de Produto em Soma/Diferença

• senα . cosβ = 1/2 . [sen (α + β) + sen (α - β)]
• cosα . senβ = 1/2 . [sen (α + β) - sen (α - β)]
• cosα . cosβ = 1/2 . [cos (α + β) + cos (α - β)]
• senα . senβ = - 1/2 . [cos (α + β) - cos (α - β)]
  

Identidades

• sen(α + β) + sen(α - β) = 2 . senα . cosβ
• sen(α + β) - sen(α - β) = 2 . cosα . senβ
• cos(α + β) + cos(α - β) = 2 . cosα . cosβ
• cos(α + β) - cos(α - β) = -2 . senα . senβ

Transformação de Soma/Diferença em Produto

• senA + senB = 2 . sen[(A+B)/2] . cos[(A-B)/2]
• senA - senB = 2 . cos[(A+B)/2] . sen[(A-B)/2]
• cosA + cosB = 2 . cos[(A+B)/2] . cos[(A-B)/2]
• cosA - cosB = -2 . sen[(A+B)/2] . sen[(A-B)/2]

Lei do Cosseno

• Dado o ΔABC,
• a² = b² + c² - 2.b.c.cosA
• b² = c² + a² - 2.c.a.cosB
• c² = a² + b² - 2.a.b.cosC
• cosA = (b² + c² - a²) / 2.b.c
• cosB = (c² + a² - b²) / 2.c.a
• cosC = (a² + b² - c²) / 2.a.b

Área do triângulo

• S = 1/2 . b . c . senA = 1/2 . c . a . senB = 1/2 . a . b . senC

Lei do Seno

• a / senA = b / sen B = c / senC = 2R
• a : b : c = 2R senA : 2R senB : 2R senC
  = senA : senB : senC
• Exemplo:
• a : b : c = 5 : 7 : 8
  a = 5k, b = 7k, c= 8k
  

Relação entre os Ângulos e os Lados de um triângulo

• Para qualquer triângulo:
• A relação entre as medidas dos dois lados corresponde à relação entre os ângulos opostos (o ângulo oposto ao maior lado é o maior ângulo).

Fórmula de Heron

• A área S do ΔABC também pode ser determinada utilizando-se a seguinte fórmula:
• S = (s . (s - a) . (s - b) . (s - c) ) ^ (1/2), na qual s = (a + b + c) / 2

Área de um Triângulo com Círculo Inscrito

• Seja S a área do ΔABC, e seja I o centro da circunferência inscrita e r o raio.
  S = ΔIBC + ΔICA + ΔIAB
  = 1/2 . a.r + 1/2 . b.r + 1/2 . c.r
  = 1/2 . r (a + b + c)

Tetraedros e Cones

Uma pirâmide triangular com quatro faces que sejam triângulos equiláteros é chamada de tetraedro regular. Seja V o volume de uma pirâmide ou de um cone cuja base tem área S e altura h. Então:
V = 1/3 . S . h.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.