Questão 1
Um empresário tem duas pequenas fábricas de bicicletas (3 e 10 marchas). A fábrica "A" produz 2 bicicletas de 3 marchas e 1 de 10 marchas por dia; a fábrica "B" 1 e 5 respectivamente. Para operar a fábrica "A" custa 3,00$ / dia e a fábrica "B" 2,00 $/dia.
O empresário recebeu um pedido de 10 bicicletas de 3 marchas e 15 bicicletas de 10 marchas.
Como dividr a produção para minimizar o custo. Resolva pelo método Simplex e responda o que é pedido.
Responda:
a) Qual é o Dual deste problema?
b) Na primeira interação (pivotagem) qual é a variável que sai do problema e qual a que entra no problema?
c) Na primeira matriz Simplex quais são as variáveis básicas? Por que elas são básicas?
d) Qual é a entrada pivô da segunda matriz?
e) Este problema tem solução, sim ou não? Independente da sua resposta, explique.
f) Se encontrou a resposta do problema, identifique cada uma delas.
Resolução do exercício
Fábrica / Produto
| Bike 3 marchas | Bike 10 marchas |
| Fábrica A | 2 | 1 |
| Fábrica B | 1 | 5 |
| Pedido | 10 | 15 |
Definindo as variáveis:
xi: quantidade a produzir para minimizar custo
- i = 1 , 2
- i = 1 - bicicleta de 3 marchas
- i = 2 - bicicleta de 10 marchas
Função Objetivo:
Z (minimizar custo) = 3 . x1 + 2 . x2
Sujeito a:
- Pedido de 3 marchas:
- 2 . x1 + x2 ≥ 10
- Pedido de 10 marchas:
- x1 + 5 . x2 ≥ 15
- Não negatividade:
- xi ≥ 0
2
| 1 | 10 |
| 1 | 5 | 15 |
| 3 | 2 | g |
Dual
2
| 1 | 3 |
| 1 | 5 | 2 |
| 10 | 15 | f |
Nova função objetivo para a pivotagem no método Simplex:
Maximizar f = 10 . x1 + 15 . x2
Sujeito a:
- Restrição 1:
- 2 . x1 + x2 ≤ 3
- Restrição 2:
- x1 + 5 . x2 ≤ 2
- Não negatividade:
- xi ≥ 0
| Matriz A | X1 | X2 | S1 | S2 | f | Escolha do número para pivotagem pelo menor coeficiente positivo na coluna da direita cruzando com o número correspondente ao mais negativo da última linha |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 3 >> 3/1=3 | |
| 1 | 5* | 0 | 1 | 0 | 2 >> 2/5 = 0,4* | |
| -10 | -15 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Matriz B | X1 | X2 | S1 | S2 | f | Escolha do número para pivotagem pelo menor coeficiente positivo na coluna da direita cruzando com o número correspondente ao mais negativo da última linha |
| R1' = - R2' + R1 | 9/5* | 0 | 1 | -1/5 | 0 | 13/5 >> (13/5)/(9/5) = 13/9 = 1,44 |
| R2' = 1/2 . R2 | 1/5 | 1 | 0 | 1/5 | 0 | 2/5 >> (2/5)/(1/5) = 2/1 = 2 |
| R3' = 15 . R2' + R3 | -7 | 0 | 0 | 3 | 1 | 6 |
| Matriz C | X1 | X2 | S1 | S2 | f | Pivotagem encerrada |
| R1'' = 5/9 R1' | 1 | 0 | 5/9 | -1/9 | 0 | 13/9 |
| R2'' = -1/5 . R1'' + R2'' | 0 | 1 | -1/9 | 2/9 | 0 | 1/9 |
| R3'' = 7 . R1'' + R3' | 0 | 0 | 35/9 | 20/9 | 1 | 145/9 |
Respostas:
a)
Dual
2
| 1 | 3 |
| 1 | 5 | 2 |
| 10 | 15 | f |
b)
sai S2 e entra X2
c) S1 e S2, porque elas tem o coeficiente igual a "1" na matriz Simplex.
d) 9/5
e) (X) Sim, pois há variáveis básicas na última Matriz Simplex.
f)
X1 = 35/9 = 3,89 unidades de X1 (que, por tratar-se de matriz dual, são observados na coluna de S1)
- X1 é aproximadamente igual a 4
X2 = 20/9 = 2,23 unidades de X2 (que, por tratar-se de matriz dual, são observados na coluna de S2)
- X2 é aproximadamente igual a 2
f = 145/9 = 16,12
Utilizando os valores aproximados de X1 e X2:
Z(minimizar custo) = 3 . X1 + 2 . X2 = 3 . 4 + 2 . 2 = 16 unidades monetárias
Lucas Tiago Rodrigues de Freitas -- // -- Definite Chief Aim: "Viver tecnologicamente, cientificamente, trabalhando em parceria com Deus, melhorando o meio ambiente e gerando prosperidade."
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