terça-feira, 9 de abril de 2019
A pobreza faz o homem inventor. - Invenções de pessoas mais inteligentes...
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - 09/04/2019
Cálculo I - 09/04/2019 - (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 90%
Assíntotas horizontais
Definição:
A reta y = b é uma assíntota do gráfico y = f(x) se limx→∞ f(x) = b ou limx→-∞ f(x) = b.
Exemplo:
1) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico y = (x - 1) / (x + 4).
[Res.]
Para encontrar a assíntota horizontal, calcula-se o limite para ∞ e -∞.
Limite para ∞:
limx→∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→∞ (1 - 1/x) / limx→∞ (1 + 4/x)
= (limx→∞ 1 - limx→∞ 1/x) / (limx→∞ 1 + limx→∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Limite para -∞:
limx→-∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→-∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→-∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→-∞ (1 - 1/x) / limx→-∞ (1 + 4/x)
= (limx→-∞ 1 - limx→-∞ 1/x) / (limx→-∞ 1 + limx→-∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a 1, existe apenas uma assíntota horizontal para a função.
Assim, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal da função f(x) = (x - 1) / (x + 4).
A assíntota vertical do gráfico pode ser encontrada igualando-se o denominador da função a 0:
x + 4 = 0
x = -4
2) Determine as assíntotas de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5) e esboce seu gráfico.
[Res.]
Para encontrar a assíntota vertical, iguala-se o denominador da função a 0:
3x - 5 = 0
3x = 5
x = 5/3
Para encontrar a assíntota horizontal, calcula-se o limite para ∞ e -∞.
Limite para ∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→∞ x = ∞
limx→∞ 1 = 1
limx→∞ (1/x) = 0
limx→∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ 2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [limx→∞ 3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Limite para -∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→-∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→-∞ x = -∞
limx→-∞ 1 = 1
limx→-∞ (1/x) = 0
limx→-∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ 2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [limx→-∞ 3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a ± √2 / 3, existem duas assíntotas horizontais para a função.
Assim, a reta y = +√2 / 3 é uma assíntota e a reta y = -√2 / 3 é a outra assíntota da função f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5).
Continuidade
Consideramos contínua uma função cujo gráfico não tem interrupção. Isso quer dizer que qualquer função y = f(x) cujo gráfico pode ser esboçado sem levantar o lápis do papel é um exemplo de função contínua.
Definição: uma função f é contínua em um número se limx→a f(x) = f(a).
Caso contrário, dizemos que f é descontínua em "a" e que "a" é um ponto de descontinuidade de f.
Exemplos:
Descontínuas em x = a:
* limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe.
* limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L.
Descontinuidade removível:
* descontinuidade tipo salto
* descontinuidade tipo infinito
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 90%
Assíntotas horizontais
Definição:
A reta y = b é uma assíntota do gráfico y = f(x) se limx→∞ f(x) = b ou limx→-∞ f(x) = b.
Exemplo:
1) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico y = (x - 1) / (x + 4).
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Limite para ∞:
limx→∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→∞ (1 - 1/x) / limx→∞ (1 + 4/x)
= (limx→∞ 1 - limx→∞ 1/x) / (limx→∞ 1 + limx→∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Limite para -∞:
limx→-∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→-∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→-∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→-∞ (1 - 1/x) / limx→-∞ (1 + 4/x)
= (limx→-∞ 1 - limx→-∞ 1/x) / (limx→-∞ 1 + limx→-∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a 1, existe apenas uma assíntota horizontal para a função.
Assim, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal da função f(x) = (x - 1) / (x + 4).
 |
| Assíntota horizontal de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
A assíntota vertical do gráfico pode ser encontrada igualando-se o denominador da função a 0:
x + 4 = 0
x = -4
 |
| Assíntota vertical de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
2) Determine as assíntotas de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5) e esboce seu gráfico.
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
3x - 5 = 0
3x = 5
x = 5/3
 |
| Assíntota vertical de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Limite para ∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→∞ x = ∞
limx→∞ 1 = 1
limx→∞ (1/x) = 0
limx→∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ 2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [limx→∞ 3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Limite para -∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→-∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→-∞ x = -∞
limx→-∞ 1 = 1
limx→-∞ (1/x) = 0
limx→-∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ 2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [limx→-∞ 3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a ± √2 / 3, existem duas assíntotas horizontais para a função.
Assim, a reta y = +√2 / 3 é uma assíntota e a reta y = -√2 / 3 é a outra assíntota da função f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5).
 |
| Assíntotas horizontais de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Continuidade
Consideramos contínua uma função cujo gráfico não tem interrupção. Isso quer dizer que qualquer função y = f(x) cujo gráfico pode ser esboçado sem levantar o lápis do papel é um exemplo de função contínua.
Definição: uma função f é contínua em um número se limx→a f(x) = f(a).
Caso contrário, dizemos que f é descontínua em "a" e que "a" é um ponto de descontinuidade de f.
Exemplos:
Descontínuas em x = a:
* limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe.
 |
| limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe, obtido com o Krita. |
* limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L.
 |
| limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L, obtido com o Krita. |
Descontinuidade removível:
* descontinuidade tipo salto
 |
| Descontinuidade tipo salto, obtido com o Krita. |
* descontinuidade tipo infinito
 |
| Descontinuidade tipo infinito, obtido com o Krita. |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sábado, 6 de abril de 2019
Cálculo I - aula 6 continuidade tvi
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - aula 5 continuidade composta
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Know
"I don't like that man. I must get to know him better."
Abraham Lincoln
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Wisdom
"Knowing yourself is the beginning of all wisdom"
Aristotle
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Intelligence
"The highest form of intelligence is the ability to observe ourselves without judging".
Jiddu Krishnamurti
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Judgement
"The more we judge people the less time we have to love them"
Mother Teresa
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - aula 4 continuidade propriedades
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
O que é um teorema?
O que é um teorema?
Quando começamos a estudar Cálculo I, começamos a ver com frequência a palavra Teorema. Mas o que significa Teorema?
Definição pela Wikipédia:
Na matemática, um teorema é uma afirmação que pode ser provada como verdadeira, por meio de outras afirmações já demonstradas, como outros teoremas, juntamente com afirmações anteriormente aceitas, como axiomas. Prova é o processo de mostrar que um teorema está correto.
Resumindo, na minha opinião agora:
O Teorema é algo que pode ser demonstrado e provado, e normalmente é algo de destaque, de importância na Matemática.
Entendendo destaque como relevância, podemos citar o Teorema de Tales e o Teorema de Pitágoras, por exemplo, que estão relacionados à figura geométrica do triângulo.
Em Cálculo I, vemos vários teoremas, com destaque para o Teorema do Primeiro Limite Fundamental:
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Quando começamos a estudar Cálculo I, começamos a ver com frequência a palavra Teorema. Mas o que significa Teorema?
Definição pela Wikipédia:
Na matemática, um teorema é uma afirmação que pode ser provada como verdadeira, por meio de outras afirmações já demonstradas, como outros teoremas, juntamente com afirmações anteriormente aceitas, como axiomas. Prova é o processo de mostrar que um teorema está correto.
Definição pelo Dicionário Online de Português (https://www.dicio.com.br/teorema/):
Enunciado de uma proposição ou de uma propriedade que se demonstra por um raciocínio lógico, partindo de fatos dados ou de hipóteses justificáveis, contidos nesse enunciado.
Definição pelo https://conceito.de/teorema:
Derivada do latim theorēma, a palavra teorema consiste numa proposição que pode ser demonstrada de maneira lógica a partir de um axioma ou de outros teoremas que tenham sido previamente demonstrados. Este processo de demonstração é levado a cabo através de determinadas regras de inferência.
O teorema, por conseguinte, pode ser descrito como uma afirmação de importância. Existem afirmações de menor ordem, como ocorre com o lema (uma afirmação que pertence a um teorema maior), o corolário (a afirmação que segue de forma imediata ao teorema) ou a proposição (um resultado que não se encontra associado a nenhum teorema em específico).
Convém destacar que, enquanto a afirmação não for demostrada, não passa então de uma hipótese ou de uma conjectura.
Um dos teoremas mais populares é aquele que conhecemos pelo nome de Teorema de Tales, segundo o qual, se traçarmos num triângulo uma linha que seja paralela a algum dos seus lados, obtemos dois triângulos semelhantes (isto é, duas figuras com ângulos idênticos e lados proporcionais).
Outro teorema igualmente popular é o Teorema de Pitágoras, o qual defende que o quadrado da hipotenusa (ou seja, o lado de maior comprimento e que se opõe ao ângulo recto), num triângulo rectângulo, é igual à soma dos quadrados dos catetos (isto é, os dois lados menores do triângulo rectângulo).
O teorema, por conseguinte, pode ser descrito como uma afirmação de importância. Existem afirmações de menor ordem, como ocorre com o lema (uma afirmação que pertence a um teorema maior), o corolário (a afirmação que segue de forma imediata ao teorema) ou a proposição (um resultado que não se encontra associado a nenhum teorema em específico).
Convém destacar que, enquanto a afirmação não for demostrada, não passa então de uma hipótese ou de uma conjectura.
Um dos teoremas mais populares é aquele que conhecemos pelo nome de Teorema de Tales, segundo o qual, se traçarmos num triângulo uma linha que seja paralela a algum dos seus lados, obtemos dois triângulos semelhantes (isto é, duas figuras com ângulos idênticos e lados proporcionais).
Outro teorema igualmente popular é o Teorema de Pitágoras, o qual defende que o quadrado da hipotenusa (ou seja, o lado de maior comprimento e que se opõe ao ângulo recto), num triângulo rectângulo, é igual à soma dos quadrados dos catetos (isto é, os dois lados menores do triângulo rectângulo).
Resumindo, na minha opinião agora:
O Teorema é algo que pode ser demonstrado e provado, e normalmente é algo de destaque, de importância na Matemática.
Entendendo destaque como relevância, podemos citar o Teorema de Tales e o Teorema de Pitágoras, por exemplo, que estão relacionados à figura geométrica do triângulo.
Em Cálculo I, vemos vários teoremas, com destaque para o Teorema do Primeiro Limite Fundamental:
limx → 0 sen(x)/x = 1.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
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