Cálculo 1 - 22/02/2019

Cálculo 1 - 22/02/2019

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: Não anotei
Término da aula: 19h54min
Taxa de aproveitamento: ≤ 69 / 90 = 76,66%


Função injetora e sobrejetora

Função Injetora

Uma função f: A → B é dita injetora se para quaisquer elementos distintos do conjunto A correspondem elementos distintos do conjunto B (y₁ ≠ y₂).

Logo, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂).


Uma função é considerada injetora no diagrama de Venn se cada elemento B for atingido por no máximo uma flecha.

Exemplo de função injetora:

Exemplo de função injetora.

Exemplo de função não injetora:

Exemplo de função não injetora

Função Sobrejetora
 
Para o diagrama de Venn de uma função representar uma função sobrejetora é preciso que todos os elementos B sejam atingidos por pelo menos uma flecha.

Exemplo de função sobrejetora: 

Exemplo de função sobrejetora

Exemplo de função não sobrejetora:

Exemplo de função não sobrejetora.

Função bijetora

Uma função f: A → B é dita bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Logo, é preciso que todos os elementos B sejam atingidos por uma única flecha.

Exemplo de função bijetora: 

Exemplo de função bijetora.

Exemplo de função não bijetora:

Exemplo de função não bijetora.

Uma função que seja crescente ou constante num intervalo é chamada não decrescente naquele intervalo; se uma função for constante ou decrescente num intervalo ela é chamada não crescente naquele intervalo.

Exemplo de função não decrescente:

Exemplo de função não decrescente obtido com o GeoGebra

Exemplo de função não crescente:

Exemplo de função não crescente obtido com o GeoGebra

Dica:
Da esquerda para direita siga o traçado do gráfico da função com o dedo. Nos intervalos em que seu dedo sobe a função é crescente e nos intervalos em que ele desce a função é decrescente. Se seu dedo seguir na horizontal, a função é constante.


Função crescente / decrescente

y = f(x) é crescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y valores também crescentes. Ou seja, para x₁ < x₂, f(x₁) < f(x₂).

Exemplos:

Exemplo de função crescente, obtido com o GeoGebra: f(x) = x+1.

Exemplo de função crescente com concavidade para baixo.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo 1 - 20/02/2019

Cálculo 1 - 20/02/2019


Funções

As funções surgem quando relacionamos duas grandezas variáveis, ou seja, quando uma depende da outra, por exemplo:
* os juros pagos sobre um investimento dependem do tempo que o dinheiro permanece investido.

Em todos os casos, o valor de uma variável, que podemos chamar de y, depende do valor de outra, que podemos denominar de x₁, dizemos que y é uma função de x.

Definição:
Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma lei que associa a cada elemento de x em A um e somente um elemento de y em B.

Do conjunto A (Domínio) para o B (Contradomínio)

* A definição não obriga que todos os elemento de B sejam atingidos pela função, sendo assim, o conjunto dos elementos atingidos chama-se imagem da função.

* A variável x que representa os elementos do conjunto A é denominada variável independente e y = f(x) que representa os elementos de B é chamado de variável dependente (seus valores dependem de x).


Exemplo:

Sendo a função f(x) = √(x - 2), determine, se possível.

a) f(27) = √(27 - 2) = √25 = 5
b) f(2) = √(2 - 2) = √0 = 0
c) f(1) = √(1 - 2) = √(- 1) = i√1 ∄ R


Condição de existência

* Em uma fração o denominador deve ser sempre diferente de zero.
a/b, b ≠ 0.

* Em uma raiz de índice par o radicando deve ser sempre maior ou igual a zero.


Imagem:
Dada uma função y = f(x) de A em B, definimos a imagem de f como o conjunto de todos os elementos y ∈ B que são relacionados a algum x de A.


Interceptos da função
Sendo y = f(x) os valores de x para os quais f(x) = 0 são chamados de raízes da função ou interceptos x. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abcissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal.

Exemplo de interceptos para f(x) = x³ - (1/20)x² - 4x, obtido com o GeoGebra.

No gráfico temos que:

• f(x₁) = 0
• f(x₂) = 0
• f(x₃) = 0

Logo, x₁, x₂ e x₃ são raízes da função e o valor de f(0) é denominado de intercepto y, pois é ordenado do ponto onde o gráfico corta o eixo na vertical.


Dicas da professora para melhorar o desempenho nos estudos:
* jogar xadrez contra o computador.
* fazer palavras cruzadas.


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Okpo Free fall lifeboat launching Nov 2010.wmv

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Baleeira

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Cálculo 1 - 2019/1 - Ementa

Cálculo 1 - 2019/1 - Ementa

Ementa
Funções reais de uma variável real.
Funções transcendentes (trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas e exponenciais).
Limite.
Continuidade.
Derivadas.
Técnicas de derivação.
Derivadas das funções inversas.
Derivadas das funções trigonométricas inversas.
Parametrização de curvas.
Diferenciais e linearizações.
Formas indeterminadas e a Regra de L'Hopital.
Aplicações da derivada (traçado de gráficos, máximos e mínimos, movimento retilíneo).

Programa detalhado


I - Revisão sobre funções
Funções e suas propriedades.
Funções lineares.
Funções quadráticas.
Funções definidas por partes.
Funções modulares.
Funções exponenciais e logarítmicas.
Funções trigonométricas.
Funções trigonométricas inversas.


II - Limite de uma função
Noção intuitiva de limite.
Conceito de limite.
Técnicas para calcular limite.
Limites infinitos e limites no infinito.
Assíntotas verticais e horizontais.
Continuidade.


III - Derivada de uma função
Reta tangente e taxas de variação.
A derivada de uma função.
Interpretação geométrica da derivada.
Diferenciabilidade.
Técnicas de diferenciação.
Derivadas das funções trigonométricas.
Derivada de uma função composta.
Diferenciação implícita.
Taxas relacionadas.
Diferenciação de funções trigonométricas inversas.
Diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas.
Derivadas de ordem superior.
Formas indeterminadas e a regra de L'Hospital.


IV - Aplicações da Derivada
Parametrização de curvas.
Diferenciais e linearizações.
Máximos e mínimos de uma função.
Teorema do valor médio.
Problemas de otimização.


Bibliografia básica:

Thomas, George B./ Giordano, Frank R.; Finney, Maurice D. Cálculo. 11 ed. v. 1 [s.1]: Addison - Wesley, 2009.

Stewart, J. Cálculo. v. 1. 5. ed. São Paulo: Pioneira, 2009.

Bivens, Irl C.; Anton, Howard; Davis, Stephen L. Cálculo: 8. ed. v. 1. Porto Alegre: Artmed. 2007.

Bibliografia Complementar:

Swokowski, Earl W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. v. 1. São Paulo: Makron Books, 1994.

Arson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. Cálculo. 8. ed. v. 1. Porto Alegre: McGraw-hill Interamericana. 2006.

Leithold, L. O. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. v. 1. São Paulo: Habra, 1994.

Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos; Machado, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar: limites, derivadas e noções de integral. 6. ed. v. 8. São Paulo, 2005.

Hugher-hallett, Deborah; Gleason, Andrew M.; Lock, Patti Frazer et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.

Avaliações

Serão aplicadas três provas escritas, avaliações da plataforma ESO e um exame semestral.

A nota N1 será composta por duas avaliações, P1 (unidades I e II) e P2 (unidade III). A nota N2 será composta por duas avaliações, P3 (unidade IV) e avaliações da plataforma ESO.

A Média Semestral (MS) é dada por:

MS =0,15 * (P1 + P2) + 0,2 * (P3) + 0,1*(ESO) + 0,4*(ES)

Onde ES representa o exame semestral, que contemplará todo o assunto do semestre.

Se MS for igual ou maior a 5,0 e a frequência for igual ou superior a 75%, o aluno estará aprovado na disciplina.

O aluno que perder prova poderá fazer substitutiva após todas as provas e antes da semestral. Lembrando que o aluno tem direito de fazer apenas uma prova.

Caso o aluno esteja apto (de acordo com as regras da instituição) poderá fazer o Exame Suplementar (SUPL), e a média final (MF) será calculada da seguinte maneira:

MF = 0,6*MS + 0,4*SUPL

Calendário de avaliações

ID	73	31
Avaliação 1	05/04	03/04
Avaliação 2	24/05	22/05
Avaliação 3	28/06	26/06
Semestral	03/07	03/07

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Cálculo 1 - 19/02/2019

Cálculo 1 - 19/02/2019

Professora: Lorena Figueiredo
E-mail: lorenafigueiredo@ucl.br

Atendimento durante a semana:
Terça-feira: 16h
Quarta-feira: 17h30min
Sexta-feira: 17h30min

Não houve matéria.


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Pistão de Regulagem

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Alfabet Morse'a [cz. 1]

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Letter D(delta) in Morse code

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Configurando a saída load do controlador trace

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