Cálculo 1 - 26/02/2019

Cálculo 1 - 26/02/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Encerramento da aula: 21h48min
Taxa de aproveitamento: 73,33%


Função crescente

Uma função y = f(x) é crescente se, atribuindo a x valores crescentes se obtém para y valores também crescentes.

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

Exemplo de função crescente

Função decrescente

Uma função y = f(x) é decrescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y valores decrescentes.

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

Exemplo de função decrescente - Reta

Exemplo de função decrescente - côncava

Função crescente

Uma função y = f(x) é constante se, atribuindo a x valores crescentes, y permanece invariável.

f(x₁) = f(x₂)

Exemplo:

Determine os trechos de crescimento e decrescimento.

Exemplo de função com trechos de crescimento e decrescimento

f(x) é decrescente: [2, 4]; [7, 9]; [12, 15]
f(x) é constante: [4, 7]
f(x) é crescente: [9, 12], [15, 18]


Máximos e Mínimos

Já vimos que uma função pode não ser crescente (ou decrescente) em todo seu domínio, tendo intervalos em que cresce e intervalos em que decresce. Quando isso ocorre, a função apresenta máximos ou mínimos, conforme o caso.

Dizemos que f(x₀) é um máximo local de uma função y = f(x) se f(x₀) ≥ f(x) para qualquer outro x do domínio de f. Ou seja, se f(x₀) está "no topo de uma montanha", pois em x₀ a função passa de crescente para decrescente.
Da mesma forma, f(x₀) é um mínimo local se está "no fundo do poço", pois em x₀ a função passa de decrescente para crescente.

Obs.:
Se x₀ é o maior valor que a função assume em todo seu domínio, então x₀ é denominado ponto de máximo absoluto de f.
Logo, s f(x₀) é o menor valor que a função assume em todo o seu domínio, então x₀ é dito como mínimo absoluto.

Exemplo:

Determine máximos e mínimos locais:

Exemplo de função com trechos de crescimento e decrescimento

• Máximos locais: [1,7; 4,2], [7, 9], [12,5; 3,5]
• Mínimos locais: [4, -2], [10, -2]
• Máximo absoluto: [7, 9]
• Mínimo absoluto: [15, -3]

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo 1 - 22/02/2019

Cálculo 1 - 22/02/2019

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: Não anotei
Término da aula: 19h54min
Taxa de aproveitamento: ≤ 69 / 90 = 76,66%


Função injetora e sobrejetora

Função Injetora

Uma função f: A → B é dita injetora se para quaisquer elementos distintos do conjunto A correspondem elementos distintos do conjunto B (y₁ ≠ y₂).

Logo, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂).


Uma função é considerada injetora no diagrama de Venn se cada elemento B for atingido por no máximo uma flecha.

Exemplo de função injetora:

Exemplo de função injetora.

Exemplo de função não injetora:

Exemplo de função não injetora

Função Sobrejetora
 
Para o diagrama de Venn de uma função representar uma função sobrejetora é preciso que todos os elementos B sejam atingidos por pelo menos uma flecha.

Exemplo de função sobrejetora: 

Exemplo de função sobrejetora

Exemplo de função não sobrejetora:

Exemplo de função não sobrejetora.

Função bijetora

Uma função f: A → B é dita bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Logo, é preciso que todos os elementos B sejam atingidos por uma única flecha.

Exemplo de função bijetora: 

Exemplo de função bijetora.

Exemplo de função não bijetora:

Exemplo de função não bijetora.

Uma função que seja crescente ou constante num intervalo é chamada não decrescente naquele intervalo; se uma função for constante ou decrescente num intervalo ela é chamada não crescente naquele intervalo.

Exemplo de função não decrescente:

Exemplo de função não decrescente obtido com o GeoGebra

Exemplo de função não crescente:

Exemplo de função não crescente obtido com o GeoGebra

Dica:
Da esquerda para direita siga o traçado do gráfico da função com o dedo. Nos intervalos em que seu dedo sobe a função é crescente e nos intervalos em que ele desce a função é decrescente. Se seu dedo seguir na horizontal, a função é constante.


Função crescente / decrescente

y = f(x) é crescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y valores também crescentes. Ou seja, para x₁ < x₂, f(x₁) < f(x₂).

Exemplos:

Exemplo de função crescente, obtido com o GeoGebra: f(x) = x+1.

Exemplo de função crescente com concavidade para baixo.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo 1 - 20/02/2019

Cálculo 1 - 20/02/2019


Funções

As funções surgem quando relacionamos duas grandezas variáveis, ou seja, quando uma depende da outra, por exemplo:
* os juros pagos sobre um investimento dependem do tempo que o dinheiro permanece investido.

Em todos os casos, o valor de uma variável, que podemos chamar de y, depende do valor de outra, que podemos denominar de x₁, dizemos que y é uma função de x.

Definição:
Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma lei que associa a cada elemento de x em A um e somente um elemento de y em B.

Do conjunto A (Domínio) para o B (Contradomínio)

* A definição não obriga que todos os elemento de B sejam atingidos pela função, sendo assim, o conjunto dos elementos atingidos chama-se imagem da função.

* A variável x que representa os elementos do conjunto A é denominada variável independente e y = f(x) que representa os elementos de B é chamado de variável dependente (seus valores dependem de x).


Exemplo:

Sendo a função f(x) = √(x - 2), determine, se possível.

a) f(27) = √(27 - 2) = √25 = 5
b) f(2) = √(2 - 2) = √0 = 0
c) f(1) = √(1 - 2) = √(- 1) = i√1 ∄ R


Condição de existência

* Em uma fração o denominador deve ser sempre diferente de zero.
a/b, b ≠ 0.

* Em uma raiz de índice par o radicando deve ser sempre maior ou igual a zero.


Imagem:
Dada uma função y = f(x) de A em B, definimos a imagem de f como o conjunto de todos os elementos y ∈ B que são relacionados a algum x de A.


Interceptos da função
Sendo y = f(x) os valores de x para os quais f(x) = 0 são chamados de raízes da função ou interceptos x. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abcissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal.

Exemplo de interceptos para f(x) = x³ - (1/20)x² - 4x, obtido com o GeoGebra.

No gráfico temos que:

• f(x₁) = 0
• f(x₂) = 0
• f(x₃) = 0

Logo, x₁, x₂ e x₃ são raízes da função e o valor de f(0) é denominado de intercepto y, pois é ordenado do ponto onde o gráfico corta o eixo na vertical.


Dicas da professora para melhorar o desempenho nos estudos:
* jogar xadrez contra o computador.
* fazer palavras cruzadas.


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.