Cálculo 1 - 08/05/2019
Faltei à aula - confundi a Quarta-feira com a Quinta-feira. Peguei matéria com colega de sala.
Taxa de aproveitamento: 0%
Regra da Cadeia
Se f e g são diferenciáveis:
F'(x) = f'(g(x)) . g'(x)
Determine f'(x) se f(x)= (x² - 3x + 8)³
y = u³
u = x² - 3x + 8
dy/dx =dy/du . du/dx
dy/dx = 3 (x² - 3x + 8)² . (2x - 3)
Exercícios
1) Determine y' se y = (6x-7)³ . (8x²+9)²
Resolução minha:
seja:
u = (6x-7)³
v = (8x²+9)²
y = u . v
Assim, pode-se derivar pela regra do produto:
y' = u' . v + v' . u
Como:
u' = 3 (6x-7)² . 6 = 18 (6x-7)²
v' = 2 (8x²+9) . 16x = 32x (8x²+9)
y' = 18 (6x-7)² . (8x²+9)² + 32x (8x²+9) . (6x-7)³
2) Encontre a derivada de g(x) = tg (5-sen(2x))
Resolução minha:
seja u = (5 - sen(2x))
u' = - cos (2x) . 2 = - 2 . cos(2x)
g'(x) = u' . sec² u
g'(x) = - 2 . cos(2x) . sec² (5 - sen(2x))
g'(x) = - 2 . cos(2x) . 1/cos² (5 - sen(2x))
3) Calcule a derivada de y = cot² (s³-25)
Resolução minha:
y = cot (s³-25) . cot (s³-25)
Seja u = cot (s³-25)
u' = -3s² . csc² (s³-25)
y = u²
y' = 2 . u . u'
y' = 2 . cot (s³-25) . -3s² . csc² (s³-25)
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 8 de maio de 2019
Fazendo Slime com Alice
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TECNOLOGIAS DE CONSTRUÇÃO IRREAIS QUE ESTÃO EM OUTRO NÍVEL!
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terça-feira, 7 de maio de 2019
Cálculo 1 - 07/05/2019
Cálculo 1 - 07/05/2019
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Encerramento: 21h56min
Taxa de aproveitamento: 84,44%
Derivada de Ordem Superior
Exemplo:
Determine as 4 primeiras derivadas da função f(x) = 3x4 + 2x² -5x -4.
f'(x) = 12x³ + 4x - 5
f''(x) = 36x² + 4
f'''(x) =72x
f''''(x) =72
Derivadas das funções trigonométricas
Lembrando:
sen(x+h) = sen(x) . cos(h) + cos(x) . sen(h)
cos(x+h) = cos(x) . cos(h) - sen(x) . sen(h)
limh→0 [sen(h) / h] = 1
limh→0 {[cos(h) -1]/ h} =0
Dx (sen(x)) = limh→0 {[sen(x+h) -sen(x)]/ h} =0
Dx (sen(x)) = cos(x)
Dx (cos(x)) = - sen(x)
Dx (tg(x)) = sec²(x)
Dx (csc(x)) = - csc(x) . cot(x)
Dx (sec(x)) = sec(x) . tg(x)
Dx (cot(x)) = - csc²(x)
Exercícios:
Encontre as derivadas:
1) y = sen(x) / x
y' = [cos(x) . x - 1 . sen(x)] / x²
y' = [x . cos(x) - sen(x)] / x²
2) f(x) = cos(x) . sen(x)
f '(x) = -sen(x) . sen(x) + cos(x) . cos(x)
f '(x) = -sen²(x) + cos²(x)
f '(x) = cos(2x)
3) f(x) = (tg(x) - 1) . sen(x)
seja:
u = tg(x) - 1
v = sen(x)
u' = sec²(x)
v' = cos(x)
f '(x) = sec²(x) . sen(x) + cos(x) . [tg(x) - 1]
f '(x) = 1/cos²(x) . sen(x) + cos(x) .[sen(x)/cos(x) - 1]
f '(x) = 1/cos(x) . tg(x) + sen(x) - cos(x)
f '(x) = sec(x) . tg(x) + sen(x) - cos(x)
4) g(x) = cos(x) / [1 - sen(x)]
seja:
u = cos(x)
v = 1 - sen(x)
u' = -sen(x)
v' = -cos(x)
g'(x) = {-sen(x) . [1 - sen(x)] - [-cos(x)] . cos (x)} / [1 - sen(x)]²
g'(x) = {-sen(x)[1-sen(x)] + cos²x} / [1 - sen(x)]²
g'(x) = [-sen(x) + sen²(x) + cos²(x)] / [1 - sen(x)]² = [-sen(x) + 1] / [1 - sen(x)]²
g'(x) = 1 / [1 + sen(x)]
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Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Encerramento: 21h56min
Taxa de aproveitamento: 84,44%
Derivada de Ordem Superior
Exemplo:
Determine as 4 primeiras derivadas da função f(x) = 3x4 + 2x² -5x -4.
f'(x) = 12x³ + 4x - 5
f''(x) = 36x² + 4
f'''(x) =72x
f''''(x) =72
Derivadas das funções trigonométricas
Lembrando:
sen(x+h) = sen(x) . cos(h) + cos(x) . sen(h)
cos(x+h) = cos(x) . cos(h) - sen(x) . sen(h)
limh→0 [sen(h) / h] = 1
limh→0 {[cos(h) -1]/ h} =0
Dx (sen(x)) = limh→0 {[sen(x+h) -sen(x)]/ h} =0
Dx (sen(x)) = cos(x)
Dx (cos(x)) = - sen(x)
Dx (tg(x)) = sec²(x)
Dx (csc(x)) = - csc(x) . cot(x)
Dx (sec(x)) = sec(x) . tg(x)
Dx (cot(x)) = - csc²(x)
Exercícios:
Encontre as derivadas:
1) y = sen(x) / x
y' = [cos(x) . x - 1 . sen(x)] / x²
y' = [x . cos(x) - sen(x)] / x²
2) f(x) = cos(x) . sen(x)
f '(x) = -sen(x) . sen(x) + cos(x) . cos(x)
f '(x) = -sen²(x) + cos²(x)
f '(x) = cos(2x)
3) f(x) = (tg(x) - 1) . sen(x)
seja:
u = tg(x) - 1
v = sen(x)
u' = sec²(x)
v' = cos(x)
f '(x) = sec²(x) . sen(x) + cos(x) . [tg(x) - 1]
f '(x) = 1/cos²(x) . sen(x) + cos(x) .[sen(x)/cos(x) - 1]
f '(x) = 1/cos(x) . tg(x) + sen(x) - cos(x)
f '(x) = sec(x) . tg(x) + sen(x) - cos(x)
4) g(x) = cos(x) / [1 - sen(x)]
seja:
u = cos(x)
v = 1 - sen(x)
u' = -sen(x)
v' = -cos(x)
g'(x) = {-sen(x) . [1 - sen(x)] - [-cos(x)] . cos (x)} / [1 - sen(x)]²
g'(x) = {-sen(x)[1-sen(x)] + cos²x} / [1 - sen(x)]²
g'(x) = [-sen(x) + sen²(x) + cos²(x)] / [1 - sen(x)]² = [-sen(x) + 1] / [1 - sen(x)]²
g'(x) = 1 / [1 + sen(x)]
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domingo, 5 de maio de 2019
Robin Schulz - Sugar (feat Francesco Yates) (Official Video Canto Yo)
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Clean Bandit - Rather Be ft. Jess Glynne [Official Video]
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Cálculo I - aula 4 deriv func log
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sábado, 4 de maio de 2019
Cálculo I - aula 2 deriv trig inv
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54 Ideas Útiles Con El Taladro (Compilación De Las Mejores)
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Cálculo I - aula 1 deriv inv
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sexta-feira, 3 de maio de 2019
Cálculo 1 - 03/05/2019
Cálculo 1 - 03/05/2019
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h55min
Término da aula: 20h11min
Taxa de aproveitamento: 76min / 90 min = 84,44%
Regra do Quociente
A derivada do quociente, em geral, não é igual ao quociente das derivadas.
Exemplo:
f(x) = x8
f '(x) = (x8)' = 8x7
Podemos também escrever:
f(x) = x10 / x²
Sabemos que:
(x10)' = 10x9
(x²)' = 2x
Logo, (x10)' / (x²)' = 10x9 / 2x = 5x8
(x8)' = (x10 / x²)' ≠ (x10)' / (x²)'
Logo, se f e g são diferenciáveis
d/dx [f/g (x)] = {d/dx [f(x)] . g(x) - d/dx [g(x)] . f(x)} / [g(x)]²
Logo:
(f/g)' = (f' . g - g' . f) / g²
Exemplo:
Determine a derivada de f(x) = x8 usando a regra do quociente e a igualdade f(x) = x10 / x².
f '(x) = (10x9 . x² - 2x . x10) / x4 = (10x11 - 2x11) / x4 = 8x11 / x4 = 8x7
Exercícios:
Se y = (x² - 3x) / ∛(x²), determine y'.
Seja:
u = x² - 3x ⇒ u' = 2x - 3
v = ∛(x²) = x2/3 ⇒ v' = 2/3 . x -1/3
Assim,
y' = (u' . v - v' . u) / v² = [(2x - 3).(x2/3) - 2/3 . x -1/3 . (x² - 3x)] / x4/3
= (2x5/3 - 3 . x2/3 - 2/3 . x5/3 + 2x2/3) / x4/3
= (4/3 . x5/3 - x2/3) / x4/3
= [x2/3 . (4/3 . x - 1)] / x4/3
= x-2/3 . (4/3 . x - 1)
= 4/3 . x1/3 - x-2/3
= (4x - 3) / (3x2/3)
3) Encontre a derivada:
f(x) = (x² - 1) / (x² +1)
Seja:
u = x² - 1 ⇒ u' = 2x
v = x² + 1 ⇒ v' = 2x
f '(x) = [2x (x² + 1) + 2x (x² - 1)] / (x² + 1)²
= (2x³ + 2x + 2x³ - 2x) / (x² + 1²)
= 4x³ / (x²+1)²
= 4x³ / (x4 + 2x² + 1)
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Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h55min
Término da aula: 20h11min
Taxa de aproveitamento: 76min / 90 min = 84,44%
Regra do Quociente
A derivada do quociente, em geral, não é igual ao quociente das derivadas.
Exemplo:
f(x) = x8
f '(x) = (x8)' = 8x7
Podemos também escrever:
f(x) = x10 / x²
Sabemos que:
(x10)' = 10x9
(x²)' = 2x
Logo, (x10)' / (x²)' = 10x9 / 2x = 5x8
(x8)' = (x10 / x²)' ≠ (x10)' / (x²)'
Logo, se f e g são diferenciáveis
d/dx [f/g (x)] = {d/dx [f(x)] . g(x) - d/dx [g(x)] . f(x)} / [g(x)]²
Logo:
(f/g)' = (f' . g - g' . f) / g²
Exemplo:
Determine a derivada de f(x) = x8 usando a regra do quociente e a igualdade f(x) = x10 / x².
f '(x) = (10x9 . x² - 2x . x10) / x4 = (10x11 - 2x11) / x4 = 8x11 / x4 = 8x7
Exercícios:
Se y = (x² - 3x) / ∛(x²), determine y'.
Seja:
u = x² - 3x ⇒ u' = 2x - 3
v = ∛(x²) = x2/3 ⇒ v' = 2/3 . x -1/3
Assim,
y' = (u' . v - v' . u) / v² = [(2x - 3).(x2/3) - 2/3 . x -1/3 . (x² - 3x)] / x4/3
= (2x5/3 - 3 . x2/3 - 2/3 . x5/3 + 2x2/3) / x4/3
= (4/3 . x5/3 - x2/3) / x4/3
= [x2/3 . (4/3 . x - 1)] / x4/3
= x-2/3 . (4/3 . x - 1)
= 4/3 . x1/3 - x-2/3
= (4x - 3) / (3x2/3)
3) Encontre a derivada:
f(x) = (x² - 1) / (x² +1)
Seja:
u = x² - 1 ⇒ u' = 2x
v = x² + 1 ⇒ v' = 2x
f '(x) = [2x (x² + 1) + 2x (x² - 1)] / (x² + 1)²
= (2x³ + 2x + 2x³ - 2x) / (x² + 1²)
= 4x³ / (x²+1)²
= 4x³ / (x4 + 2x² + 1)
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