Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h40min
Término da aula: 21h52min
Taxa de aproveitamento: 80,0%
Continuação da taxa de velocidade:
Se quisermos determinar a taxa à qual o automóvel está viajando às 2h, precisamos calcular sua velocidade instantânea. Uma ideia para fazer isso é calcular a velocidade média no intervalo [2; 2 + t(s)] e ir determinando de t(s) de tal forma que o comprimento (s) percorrido no intervalo [2; 2 + t(s)] se aproxime de zero.
À medida em que isso for feito, as velocidades médias se aproximarão da velocidade no instante t = 2h.
Em geral, se s (posição) é uma função do tempo s(t), é a função posição de um obejto cuja trajetória é retilínea, então, a velocidade do objeto no instante t é:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + t(s)) - s(t)] / ∆t}
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
Exemplo:
De um balão a 150m do solo, deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se a resistência do ar, a distância s(t) do solo ao saco de areia em queda, após t segundos é dado por:
s(t) = - 4,9t² + 150
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| Gráfico de s(t) = - 4,9t² + 150, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
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| Saco de areia lançado do balão a 150m de altura, obtido com o Krita. |
a) quando t = 0s.
[Res.]
s(t) = - 4,9t² + 150
t = 0 → s(0) = 150m
Para encontrar a velocidade, podemos calcular o limite da distância percorrida quanto o tempo t tende a 0:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
= lim∆t→0 {[(- 4,9(t + ∆t)² + 150) - (- 4,9t² + 150)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9(t² + 2 . t . ∆t + ∆t²) + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9t² - 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 - 150) / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t²] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . (2 . t . ∆t - ∆t²)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[ ∆t . (- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t]}
= {[- 4,9 . 2 . 0 + 4,9 . 0]}
= 0 + 0
= 0m/s
b) quando t = 2s.
[Res.]
Para t = 2:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
= lim∆t→0 {[(- 4,9(t + ∆t)² + 150) - (- 4,9t² + 150)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9(t² + 2 . t . ∆t + ∆t²) + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9t² - 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 - 150) / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t²] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . (2 . t . ∆t - ∆t²)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[ ∆t . (- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t]}
= {[- 4,9 . 2 . 2 + 4,9 . 0]}
= - 4,9 . 2 . 2 + 0
= -19,6 m/s
c) no instante em que ele toca o solo.
[Res.]
Para tocar o solo:
s(t) = - 4,9t² + 150
0 = - 4,9t² + 150
-150 = - 4,9t²
t² = 150 / 4,9
t = ± 5,5328 segundos.
Como o tempo nesse caso só pode ser positivo:
t = + 5,5328 segundos.
Encontrando a velocidade do saco de areia ao tocar o solo:
Para t = 5,5328:
v(t) = lim∆t→0 {[s . (t + ∆t) - s(t)] / ∆t}
= lim∆t→0 {[(- 4,9(t + ∆t)² + 150) - (- 4,9t² + 150)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9(t² + 2 . t . ∆t + ∆t²) + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9t² - 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 + 4,9t² - 150] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t² + 150 - 150) / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t . ∆t - 4,9 ∆t²] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . (2 . t . ∆t - ∆t²)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[ ∆t . (- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t)] / (∆t)}
= lim∆t→0 {[- 4,9 . 2 . t + 4,9 . ∆t]}
= {[- 4,9 . 2 . 5,5328 + 4,9 . 0]}
= - 4,9 . 2 . 5,5328 + 0
= - 54,22144 m/s
Taxa de variação
Exemplos de aplicação:
* Durante certo tempo um químico pode estar interessado na taxa à qual certa substância se dissolve em água.
* Um engenheiro eletricista pode desejar saber a taxa de variação da corrente em parte de um circuito elétrico durante os t primeiros segundos de funcionamento.
Podemos considerar taxas de variação em relação à outras variáveis independentes que não o tempo. Por exemplo:
V = c / p.
Sob temperatura constante, o volume V e a pressão P de um gás confinado estão relacionados. Se a pressão varia, podemos achar a taxa à qual o volume varia por unidade de variação da pressão.
Definição:
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo aberto I contando a.
1) A taxa média de variação de y = f(x) em relação a x no intervalo [a, a+h] será:
ym = ∆y / ∆x = [f(a + h) - f(a)] / h
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| Esquema para visualizar a taxa média de variação, obtido com o Krita. |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
