sábado, 13 de abril de 2019
Mechanical computer part 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER11 - Regra da cadeia pelo Método Ninja!
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER10 - Regra da cadeia
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER09 - Regra do quociente para derivadas
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER08 - Regra do produto para derivadas
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - aula 07 fórmulas de derivação 1
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER06 - Tabela resumo das derivadas mais importantes
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sexta-feira, 12 de abril de 2019
Cálculo I - 12/04/2019
Cálculo I - 12/04/2019 - (Sexta-feira)
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h55min
Término da aula: 19h57min
Taxa de aproveitamento: ≥ 68,88%
Observação: professora ainda não usou slides e vídeos em nenhuma aula. Nem recursos sonoros ou coisa do tipo.
Revisão de funções:
h(x) = ∛(x² + 2); h(x) é função contínua.
f(x) = ∛x
g(x) = x² + 2
h(x) = f(g(x)) = (fog)(x)
f(g(x)) = ∛(x² + 2)
Derivada
As derivadas são usadas para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função, para calcular velocidade e aceleração de um objeto móvel, para estimar a taxa de disseminação de uma doença, para estabelecer níveis de produção mais eficientes, entre outros.
Retas tangentes e taxas de variação
Retas tangentes
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo dado qualquer.
Considere o ponto P(a, f(a)) pertencente ao gráfico de f.
Nosso objetivo é determinar a equação da reta tangente ao gráfico y = f(x) em P.
1) Encontrar o coeficiente angular da reta tangente a f em p. Considere um outro ponto Q(x, f(x)) sob o gráfico de f. O coeficiente angular da reta PQ (secante a y = f(x)) é:
mPQ = ∆y / ∆x = [f(x) - f(a)] / (x - a)
Se f é contínua em "a", podemos fazer o ponto Q(x, f(x)) "tender" para o ponto P(a, f(a)), fazendo x tender ao ponto "a".
À medida em que Q se aproxima de P, a reta secante PQ se "aproxima" cada vez mais da reta tangente "t" ao gráfico y = f(x) em x = 0. Isso significa que mPQse aproxima do coeficiente angular da reta tangente mt.
mt = limx→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)}, desde que o limite exista.
Observações:
1) Se mt = 0, então a reta tangente é a reta horizontal y = f(a);
2) se limx→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)} = ± ∞, então a reta tangente é a reta vertical x = a.
*Neste caso, dizemos que não existe tangente em P.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: aproximadamente 18h55min
Término da aula: 19h57min
Taxa de aproveitamento: ≥ 68,88%
Observação: professora ainda não usou slides e vídeos em nenhuma aula. Nem recursos sonoros ou coisa do tipo.
Revisão de funções:
h(x) = ∛(x² + 2); h(x) é função contínua.
f(x) = ∛x
g(x) = x² + 2
h(x) = f(g(x)) = (fog)(x)
f(g(x)) = ∛(x² + 2)
Derivada
As derivadas são usadas para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função, para calcular velocidade e aceleração de um objeto móvel, para estimar a taxa de disseminação de uma doença, para estabelecer níveis de produção mais eficientes, entre outros.
Retas tangentes e taxas de variação
Retas tangentes
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo dado qualquer.
Considere o ponto P(a, f(a)) pertencente ao gráfico de f.
Nosso objetivo é determinar a equação da reta tangente ao gráfico y = f(x) em P.
 |
| Exemplo de tangente no ponto de um gráfico, obtido com o Krita. |
1) Encontrar o coeficiente angular da reta tangente a f em p. Considere um outro ponto Q(x, f(x)) sob o gráfico de f. O coeficiente angular da reta PQ (secante a y = f(x)) é:
mPQ = ∆y / ∆x = [f(x) - f(a)] / (x - a)
Se f é contínua em "a", podemos fazer o ponto Q(x, f(x)) "tender" para o ponto P(a, f(a)), fazendo x tender ao ponto "a".
À medida em que Q se aproxima de P, a reta secante PQ se "aproxima" cada vez mais da reta tangente "t" ao gráfico y = f(x) em x = 0. Isso significa que mPQse aproxima do coeficiente angular da reta tangente mt.
mt = limx→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)}, desde que o limite exista.
Observações:
1) Se mt = 0, então a reta tangente é a reta horizontal y = f(a);
2) se limx→a {[f(x) - f(a)] / (x-a)} = ± ∞, então a reta tangente é a reta vertical x = a.
*Neste caso, dizemos que não existe tangente em P.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER03 - Calculando derivadas pela definição de limites - Exemp...
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER01 - Introdução à derivada: retas tangentes
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 10 de abril de 2019
Cálculo I - 10/04/2019
Cálculo I - 10/04/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 75,55%
Observação pessoal: a professora não usou slides, nem vídeos, durante as aulas até agora.
Continuação do assunto de Continuidade
Exemplo:
Considere a função f(x) = √(x - 4)
f não tem pontos de descontinuidade no intervalo ]4, ∞[. Logo, f(x) = √(x - 4) é contínua à direita de x = 4.
Definição:
Uma função f = é contínua à direita de um número "a" se limx→a+ f(x) = f(a).
Uma função f é contínua à esquerda de "a" se limx→a- f(x) = f(a).
Exemplo 2:
f(x) = √(1 - x²) é contínua à direita de x = -1 e contínua à esquerda de x = 1.
Uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
Caso f seja definida somente de um lado do extremo do intervalo, entende-se continuidade no extremo como continuidade à direita ou à esquerda.
Exemplo 3:
A função f(x) = √(4 - x²) é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Devemos mostrar que f(x) é contínua para todos os pontos do intervalo [-2, 2].
* -2 < a < 2:
limx→a √(4 - x²)
= √(4 - x²) = f(a)
Logo, f é contínua em ]-2, 2[.
* Para x = -2 ou x = 2, temos que:
limx→-2+ f(x) = f(-2) = 0. Logo, f é contínua à direita de -2.
limx→2- f(x) = f(2) = 0. Logo, f é contínua à esquerda de 2.
Logo, f é contínua em [-2, 2].
Propriedades:
Sendo f e g funções contínuas em x =a, então as seguintes funções também serão contínuas:
1) f + g
2) f - g
3) f . g
4) k . f
5) f / g, com g(a) ≠ 0.
6) fr/s, onde r e s são inteiros e s ≠ 0.
As funções abaixo são contínuas em todos os pontos do seu domínio:
1) Polinômio
2) Funções racionais
3) Função raiz
4) Função trigonométrica
5) Funções exponenciais e logaritmicas
6) Funções inversas de funções contínuas
Exercício:
A função y = √x é contínua. Prove.
[Res.]
Seja y = f(x).
f(x) = √x.
Calculando os limites nos extremos (o domínio da função f(x) = √x vai de 0 a infinito):
limx→0+ √x = √0 = 0
limx→∞ √x = ∞
Assim, y = √x é contínua em todo seu domínio.
Exercícios:
1) Se h(x) = ∛(x² + 2), mostre que h é contínua para todo número real.
[Res.]
O primeiro passo é encontrar o domínio da função. Como x pode ser igual a qualquer valor, tanto negativo quanto positivo, incluindo o zero, o domínio da função é igual ao conjunto dos números reais.
Assim, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite da função para os valores extremos: ∞ e -∞.
limx→∞ ∛(x² + 2) = ∞
limx→-∞ ∛(x² + 2) = ∞
Como o limite existe para os valores extremos da função h(x) = ∛(x² + 2), ela é contínua para todo número real.
2) Mostre que f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]| é contínua para todo x ∈ R.
[Res.]
Primeiro, vamos verificar o domínio da função, que é igual ao conjunto dos número reais.
Agora, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite para os valores extremos: ∞ e -∞.
Limite para ∞:
limx→∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / limx→∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / [limx→∞ 1 + limx→∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Limite para -∞:
limx→-∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→-∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→-∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / limx→-∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / [limx→-∞ 1 + limx→-∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Como existe o limite da função para os valores extremos, ela é contínua para todo o conjunto dos números reais.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 75,55%
Observação pessoal: a professora não usou slides, nem vídeos, durante as aulas até agora.
Continuação do assunto de Continuidade
Exemplo:
Considere a função f(x) = √(x - 4)
 |
| Gráfico de f(x) = √(x - 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
f não tem pontos de descontinuidade no intervalo ]4, ∞[. Logo, f(x) = √(x - 4) é contínua à direita de x = 4.
Definição:
Uma função f = é contínua à direita de um número "a" se limx→a+ f(x) = f(a).
Uma função f é contínua à esquerda de "a" se limx→a- f(x) = f(a).
Exemplo 2:
f(x) = √(1 - x²) é contínua à direita de x = -1 e contínua à esquerda de x = 1.
 |
| Gráfico de f(x) = √(1 - x²), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Caso f seja definida somente de um lado do extremo do intervalo, entende-se continuidade no extremo como continuidade à direita ou à esquerda.
Exemplo 3:
A função f(x) = √(4 - x²) é contínua em todos os pontos do seu domínio.
 |
| Gráfico de f(x) = √(4 - x²), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
* -2 < a < 2:
limx→a √(4 - x²)
= √(4 - x²) = f(a)
Logo, f é contínua em ]-2, 2[.
* Para x = -2 ou x = 2, temos que:
limx→-2+ f(x) = f(-2) = 0. Logo, f é contínua à direita de -2.
limx→2- f(x) = f(2) = 0. Logo, f é contínua à esquerda de 2.
Logo, f é contínua em [-2, 2].
Propriedades:
Sendo f e g funções contínuas em x =a, então as seguintes funções também serão contínuas:
1) f + g
2) f - g
3) f . g
4) k . f
5) f / g, com g(a) ≠ 0.
6) fr/s, onde r e s são inteiros e s ≠ 0.
As funções abaixo são contínuas em todos os pontos do seu domínio:
1) Polinômio
2) Funções racionais
3) Função raiz
4) Função trigonométrica
5) Funções exponenciais e logaritmicas
6) Funções inversas de funções contínuas
Exercício:
A função y = √x é contínua. Prove.
[Res.]
Seja y = f(x).
f(x) = √x.
 |
| Gráfico de f(x) = √x, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Calculando os limites nos extremos (o domínio da função f(x) = √x vai de 0 a infinito):
limx→0+ √x = √0 = 0
limx→∞ √x = ∞
Assim, y = √x é contínua em todo seu domínio.
Exercícios:
1) Se h(x) = ∛(x² + 2), mostre que h é contínua para todo número real.
[Res.]
 |
| Gráfico de h(x) = ∛(x² + 2), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
O primeiro passo é encontrar o domínio da função. Como x pode ser igual a qualquer valor, tanto negativo quanto positivo, incluindo o zero, o domínio da função é igual ao conjunto dos números reais.
Assim, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite da função para os valores extremos: ∞ e -∞.
limx→∞ ∛(x² + 2) = ∞
limx→-∞ ∛(x² + 2) = ∞
Como o limite existe para os valores extremos da função h(x) = ∛(x² + 2), ela é contínua para todo número real.
2) Mostre que f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]| é contínua para todo x ∈ R.
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]|, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Primeiro, vamos verificar o domínio da função, que é igual ao conjunto dos número reais.
Agora, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite para os valores extremos: ∞ e -∞.
Limite para ∞:
limx→∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / limx→∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / [limx→∞ 1 + limx→∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Limite para -∞:
limx→-∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→-∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→-∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / limx→-∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / [limx→-∞ 1 + limx→-∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Como existe o limite da função para os valores extremos, ela é contínua para todo o conjunto dos números reais.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Assinar:
Postagens (Atom)
