sexta-feira, 12 de abril de 2019
Me Salva! DER03 - Calculando derivadas pela definição de limites - Exemp...
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Me Salva! DER01 - Introdução à derivada: retas tangentes
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
quarta-feira, 10 de abril de 2019
Cálculo I - 10/04/2019
Cálculo I - 10/04/2019 (Quarta-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 75,55%
Observação pessoal: a professora não usou slides, nem vídeos, durante as aulas até agora.
Continuação do assunto de Continuidade
Exemplo:
Considere a função f(x) = √(x - 4)
f não tem pontos de descontinuidade no intervalo ]4, ∞[. Logo, f(x) = √(x - 4) é contínua à direita de x = 4.
Definição:
Uma função f = é contínua à direita de um número "a" se limx→a+ f(x) = f(a).
Uma função f é contínua à esquerda de "a" se limx→a- f(x) = f(a).
Exemplo 2:
f(x) = √(1 - x²) é contínua à direita de x = -1 e contínua à esquerda de x = 1.
Uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
Caso f seja definida somente de um lado do extremo do intervalo, entende-se continuidade no extremo como continuidade à direita ou à esquerda.
Exemplo 3:
A função f(x) = √(4 - x²) é contínua em todos os pontos do seu domínio.
Devemos mostrar que f(x) é contínua para todos os pontos do intervalo [-2, 2].
* -2 < a < 2:
limx→a √(4 - x²)
= √(4 - x²) = f(a)
Logo, f é contínua em ]-2, 2[.
* Para x = -2 ou x = 2, temos que:
limx→-2+ f(x) = f(-2) = 0. Logo, f é contínua à direita de -2.
limx→2- f(x) = f(2) = 0. Logo, f é contínua à esquerda de 2.
Logo, f é contínua em [-2, 2].
Propriedades:
Sendo f e g funções contínuas em x =a, então as seguintes funções também serão contínuas:
1) f + g
2) f - g
3) f . g
4) k . f
5) f / g, com g(a) ≠ 0.
6) fr/s, onde r e s são inteiros e s ≠ 0.
As funções abaixo são contínuas em todos os pontos do seu domínio:
1) Polinômio
2) Funções racionais
3) Função raiz
4) Função trigonométrica
5) Funções exponenciais e logaritmicas
6) Funções inversas de funções contínuas
Exercício:
A função y = √x é contínua. Prove.
[Res.]
Seja y = f(x).
f(x) = √x.
Calculando os limites nos extremos (o domínio da função f(x) = √x vai de 0 a infinito):
limx→0+ √x = √0 = 0
limx→∞ √x = ∞
Assim, y = √x é contínua em todo seu domínio.
Exercícios:
1) Se h(x) = ∛(x² + 2), mostre que h é contínua para todo número real.
[Res.]
O primeiro passo é encontrar o domínio da função. Como x pode ser igual a qualquer valor, tanto negativo quanto positivo, incluindo o zero, o domínio da função é igual ao conjunto dos números reais.
Assim, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite da função para os valores extremos: ∞ e -∞.
limx→∞ ∛(x² + 2) = ∞
limx→-∞ ∛(x² + 2) = ∞
Como o limite existe para os valores extremos da função h(x) = ∛(x² + 2), ela é contínua para todo número real.
2) Mostre que f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]| é contínua para todo x ∈ R.
[Res.]
Primeiro, vamos verificar o domínio da função, que é igual ao conjunto dos número reais.
Agora, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite para os valores extremos: ∞ e -∞.
Limite para ∞:
limx→∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / limx→∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / [limx→∞ 1 + limx→∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Limite para -∞:
limx→-∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→-∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→-∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / limx→-∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / [limx→-∞ 1 + limx→-∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Como existe o limite da função para os valores extremos, ela é contínua para todo o conjunto dos números reais.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Término da aula: 21h50min
Taxa de aproveitamento: 75,55%
Observação pessoal: a professora não usou slides, nem vídeos, durante as aulas até agora.
Continuação do assunto de Continuidade
Exemplo:
Considere a função f(x) = √(x - 4)
 |
| Gráfico de f(x) = √(x - 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
f não tem pontos de descontinuidade no intervalo ]4, ∞[. Logo, f(x) = √(x - 4) é contínua à direita de x = 4.
Definição:
Uma função f = é contínua à direita de um número "a" se limx→a+ f(x) = f(a).
Uma função f é contínua à esquerda de "a" se limx→a- f(x) = f(a).
Exemplo 2:
f(x) = √(1 - x²) é contínua à direita de x = -1 e contínua à esquerda de x = 1.
 |
| Gráfico de f(x) = √(1 - x²), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Caso f seja definida somente de um lado do extremo do intervalo, entende-se continuidade no extremo como continuidade à direita ou à esquerda.
Exemplo 3:
A função f(x) = √(4 - x²) é contínua em todos os pontos do seu domínio.
 |
| Gráfico de f(x) = √(4 - x²), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
* -2 < a < 2:
limx→a √(4 - x²)
= √(4 - x²) = f(a)
Logo, f é contínua em ]-2, 2[.
* Para x = -2 ou x = 2, temos que:
limx→-2+ f(x) = f(-2) = 0. Logo, f é contínua à direita de -2.
limx→2- f(x) = f(2) = 0. Logo, f é contínua à esquerda de 2.
Logo, f é contínua em [-2, 2].
Propriedades:
Sendo f e g funções contínuas em x =a, então as seguintes funções também serão contínuas:
1) f + g
2) f - g
3) f . g
4) k . f
5) f / g, com g(a) ≠ 0.
6) fr/s, onde r e s são inteiros e s ≠ 0.
As funções abaixo são contínuas em todos os pontos do seu domínio:
1) Polinômio
2) Funções racionais
3) Função raiz
4) Função trigonométrica
5) Funções exponenciais e logaritmicas
6) Funções inversas de funções contínuas
Exercício:
A função y = √x é contínua. Prove.
[Res.]
Seja y = f(x).
f(x) = √x.
 |
| Gráfico de f(x) = √x, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Calculando os limites nos extremos (o domínio da função f(x) = √x vai de 0 a infinito):
limx→0+ √x = √0 = 0
limx→∞ √x = ∞
Assim, y = √x é contínua em todo seu domínio.
Exercícios:
1) Se h(x) = ∛(x² + 2), mostre que h é contínua para todo número real.
[Res.]
 |
| Gráfico de h(x) = ∛(x² + 2), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
O primeiro passo é encontrar o domínio da função. Como x pode ser igual a qualquer valor, tanto negativo quanto positivo, incluindo o zero, o domínio da função é igual ao conjunto dos números reais.
Assim, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite da função para os valores extremos: ∞ e -∞.
limx→∞ ∛(x² + 2) = ∞
limx→-∞ ∛(x² + 2) = ∞
Como o limite existe para os valores extremos da função h(x) = ∛(x² + 2), ela é contínua para todo número real.
2) Mostre que f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]| é contínua para todo x ∈ R.
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = |[x . sen(x)] / [x² + 2]|, obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Primeiro, vamos verificar o domínio da função, que é igual ao conjunto dos número reais.
Agora, para verificar a continuidade da função, é preciso checar se existe limite para os valores extremos: ∞ e -∞.
Limite para ∞:
limx→∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / limx→∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→∞ [sen(x)/x] / [limx→∞ 1 + limx→∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Limite para -∞:
limx→-∞ |[x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x . x/x . sen(x)] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[x² . sen(x)/x] / [x² + 2]|
= limx→-∞ |[1/x² . x² . sen(x)/x] / [1/x² . (x² + 2)]|
= limx→-∞ |[1 . sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= limx→-∞ |[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ {[sen(x)/x] / [(1 + 2/x²)]}|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / limx→-∞ [(1 + 2/x²)]|
= |limx→-∞ [sen(x)/x] / [limx→-∞ 1 + limx→-∞ (2/x²)]|
= |0 / [1 + 0]|
= |0 / 1|
= 0
Como existe o limite da função para os valores extremos, ela é contínua para todo o conjunto dos números reais.
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
terça-feira, 9 de abril de 2019
A pobreza faz o homem inventor. - Invenções de pessoas mais inteligentes...
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - 09/04/2019
Cálculo I - 09/04/2019 - (Terça-feira)
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 90%
Assíntotas horizontais
Definição:
A reta y = b é uma assíntota do gráfico y = f(x) se limx→∞ f(x) = b ou limx→-∞ f(x) = b.
Exemplo:
1) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico y = (x - 1) / (x + 4).
[Res.]
Para encontrar a assíntota horizontal, calcula-se o limite para ∞ e -∞.
Limite para ∞:
limx→∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→∞ (1 - 1/x) / limx→∞ (1 + 4/x)
= (limx→∞ 1 - limx→∞ 1/x) / (limx→∞ 1 + limx→∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Limite para -∞:
limx→-∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→-∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→-∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→-∞ (1 - 1/x) / limx→-∞ (1 + 4/x)
= (limx→-∞ 1 - limx→-∞ 1/x) / (limx→-∞ 1 + limx→-∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a 1, existe apenas uma assíntota horizontal para a função.
Assim, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal da função f(x) = (x - 1) / (x + 4).
A assíntota vertical do gráfico pode ser encontrada igualando-se o denominador da função a 0:
x + 4 = 0
x = -4
2) Determine as assíntotas de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5) e esboce seu gráfico.
[Res.]
Para encontrar a assíntota vertical, iguala-se o denominador da função a 0:
3x - 5 = 0
3x = 5
x = 5/3
Para encontrar a assíntota horizontal, calcula-se o limite para ∞ e -∞.
Limite para ∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→∞ x = ∞
limx→∞ 1 = 1
limx→∞ (1/x) = 0
limx→∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ 2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [limx→∞ 3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Limite para -∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→-∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→-∞ x = -∞
limx→-∞ 1 = 1
limx→-∞ (1/x) = 0
limx→-∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ 2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [limx→-∞ 3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a ± √2 / 3, existem duas assíntotas horizontais para a função.
Assim, a reta y = +√2 / 3 é uma assíntota e a reta y = -√2 / 3 é a outra assíntota da função f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5).
Continuidade
Consideramos contínua uma função cujo gráfico não tem interrupção. Isso quer dizer que qualquer função y = f(x) cujo gráfico pode ser esboçado sem levantar o lápis do papel é um exemplo de função contínua.
Definição: uma função f é contínua em um número se limx→a f(x) = f(a).
Caso contrário, dizemos que f é descontínua em "a" e que "a" é um ponto de descontinuidade de f.
Exemplos:
Descontínuas em x = a:
* limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe.
* limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L.
Descontinuidade removível:
* descontinuidade tipo salto
* descontinuidade tipo infinito
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 22h00min
Taxa de aproveitamento: 90%
Assíntotas horizontais
Definição:
A reta y = b é uma assíntota do gráfico y = f(x) se limx→∞ f(x) = b ou limx→-∞ f(x) = b.
Exemplo:
1) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico y = (x - 1) / (x + 4).
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Limite para ∞:
limx→∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→∞ (1 - 1/x) / limx→∞ (1 + 4/x)
= (limx→∞ 1 - limx→∞ 1/x) / (limx→∞ 1 + limx→∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Limite para -∞:
limx→-∞ [(x - 1) / (x + 4)]
= limx→-∞ {x(1 - 1/x) / [x(1 + 4/x)]}
= limx→-∞ [(1 - 1/x) / (1 + 4/x)]
= limx→-∞ (1 - 1/x) / limx→-∞ (1 + 4/x)
= (limx→-∞ 1 - limx→-∞ 1/x) / (limx→-∞ 1 + limx→-∞ 4/x)
= (1 - 0) / (1 + 0)
= 1 / 1
= 1
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a 1, existe apenas uma assíntota horizontal para a função.
Assim, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal da função f(x) = (x - 1) / (x + 4).
 |
| Assíntota horizontal de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
A assíntota vertical do gráfico pode ser encontrada igualando-se o denominador da função a 0:
x + 4 = 0
x = -4
 |
| Assíntota vertical de f(x) = (x - 1) / (x + 4), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
2) Determine as assíntotas de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5) e esboce seu gráfico.
[Res.]
 |
| Gráfico de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
3x - 5 = 0
3x = 5
x = 5/3
 |
| Assíntota vertical de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Limite para ∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→∞ x = ∞
limx→∞ 1 = 1
limx→∞ (1/x) = 0
limx→∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→∞ (2 + 1/x²)] / limx→∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→∞ 2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [limx→∞ 3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Limite para -∞:
f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5)
limx→-∞ √(2x² + 1) / (3x - 5)
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ √[x² . (2 + 1/x²)] / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± x . √(2 + 1/x²) / [x . (3 - 5/x)]
= limx→-∞ ± √(2 + 1/x²) / (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
Lembrando que:
limx→-∞ x = -∞
limx→-∞ 1 = 1
limx→-∞ (1/x) = 0
limx→-∞ (1/x²) = 0
Continuando a resolução:
± √[limx→-∞ (2 + 1/x²)] / limx→-∞ (3 - 5/x)
= ± √[limx→-∞ 2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [limx→-∞ 3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + limx→-∞ ( 1/x²)] / [3 - limx→-∞ (5/x)]
= ± √[2 + 0] / [3 - 0]
= ± √2 / 3
Como o limite tanto para +∞ quanto para -∞ é igual a ± √2 / 3, existem duas assíntotas horizontais para a função.
Assim, a reta y = +√2 / 3 é uma assíntota e a reta y = -√2 / 3 é a outra assíntota da função f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5).
 |
| Assíntotas horizontais de f(x) = √(2x² + 1) / (3x - 5), obtido com o GeoGebra e o Krita. |
Continuidade
Consideramos contínua uma função cujo gráfico não tem interrupção. Isso quer dizer que qualquer função y = f(x) cujo gráfico pode ser esboçado sem levantar o lápis do papel é um exemplo de função contínua.
Definição: uma função f é contínua em um número se limx→a f(x) = f(a).
Caso contrário, dizemos que f é descontínua em "a" e que "a" é um ponto de descontinuidade de f.
Exemplos:
Descontínuas em x = a:
* limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe.
 |
| limx→a f(x) = L, mas f(a) não existe, obtido com o Krita. |
* limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L.
 |
| limx→a f(x) = L, mas f(a) ≠ L, obtido com o Krita. |
Descontinuidade removível:
* descontinuidade tipo salto
 |
| Descontinuidade tipo salto, obtido com o Krita. |
* descontinuidade tipo infinito
 |
| Descontinuidade tipo infinito, obtido com o Krita. |
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
sábado, 6 de abril de 2019
Cálculo I - aula 6 continuidade tvi
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Cálculo I - aula 5 continuidade composta
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Know
"I don't like that man. I must get to know him better."
Abraham Lincoln
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Wisdom
"Knowing yourself is the beginning of all wisdom"
Aristotle
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Intelligence
"The highest form of intelligence is the ability to observe ourselves without judging".
Jiddu Krishnamurti
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Own Your Behaviours, Master Your Communication, Determine Your Success |...
Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.
Assinar:
Postagens (Atom)
