Fórmulas importantes da letra N do Kumon de Matemática
Termo Geral de uma Progressão Aritmética:
- an = a + (n - 1) . d
Soma de uma Progressão Aritmética:
-
Sejam Sn a soma dos termos de uma progressão aritmética cujo
1° termo é a, a razão é d, o último termo é
l e o número de termos é n.
Sn = 1/2 . n . (a + l) = 1/2 . n . [2a + (n - 1) . d]
Progressões Geométricas:
- A sequência dos termos calculados por meio da multiplicação sucessiva de um número fixo r pelo 1° termo a é chamada de progressão geométrica. O número r é chamado de razão da progressão geométrica.
Termo Geral de uma Progressão Geométrica
-
O termo geral de uma progressão geométrica {an} cujo 1° termo é a e a razão é r:
an = a . r n-1
Soma de uma Progressão Geométrica
-
Seja Sn a soma de uma progressão geométrica cujo 1° termo é
a, a razão é r e o número de termos é
n.
Quando r ≠ 1, Sn = a . (1 - r n) / (1 - r) = a . (r n - 1) / (r - 1)
Quando r = 1, Sn = na
Fórmula de Somatória I
-
Somatória K:
-
Somatória onde c é uma constante:
Propriedades da Somatória
-
Somatória:
-
Somatória onde c é uma constante:
Fórmula de Somatória II
-
Somatória k 2:
Fórmula de Somatória III
-
Somatória k 3:
Fórmula de Somatória IV
-
Somatória a . r k-1, com r ≠ 1:
-
onde a é o 1° termo e r é a razão de uma
Progressão Geométrica a, a.r, a.r 2,
..., a.r n-1
Progressão de Subtração e Termo Geral
-
Seja {bn} a progressão de subtração da progressão {an}.
Quando n ≥ 2, an = a1 +
bk
Soma de uma Progressão e Termo Geral
-
Seja Sn a soma dos n primeiros
termos da progressão {an}.
O 1° termo a1 é a1 = S1.
Quando n ≥ 2, an = Sn - Sn-1
Relações de recorrência
A relação de recorrência
an+1 = p . an + q
pode ser reorganizada em:
an+1 - x = p . (an - x)
utilizando x que satisfaz
x = px + q. Se bn = an - x,
então a progressão {bn} é uma progressão geométrica.
an+1 = p . an + q
pode ser reorganizada em:
an+1 - x = p . (an - x)
utilizando x que satisfaz
x = px + q. Se bn = an - x,
então a progressão {bn} é uma progressão geométrica.
Portanto, o termo geral da progressão {an} pode ser determinado.
A relação de recorrência
an+2 + p . an+1 + q . an = 0
pode ser reorganizada em:
an+2 - α . an+1 = β . (an+1 - α . an)
utilizando as duas soluções α e β da equação quadrática x² + px + q = 0.
an+2 + p . an+1 + q . an = 0
pode ser reorganizada em:
an+2 - α . an+1 = β . (an+1 - α . an)
utilizando as duas soluções α e β da equação quadrática x² + px + q = 0.
A progressão {an+1 - α . an} é uma progressão geométrica.
Portanto, o termo geral da progressão {an} pode ser determinado.
Indução Matemática
Para provar que a proposição P é verdadeira para todos os números
naturais n por indução matemática, as seguintes afirmações devem
ser provadas.
(i) P é verdadeiro quando n = 1.
(ii) Se P é verdadeiro quando n = k, então P também
é verdadeiro quando n = k + 1.
Observação: uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa é chamada de
proposição.
Progressões Infinitas
Uma progressão de infinitos termos a1, a2,
a3, ..., an, ... é chamada de progressão infinita e
é expressa por {an}.
Dada a progressão {an}, se an se aproxima de um
valor constante α conforme n se aproxima do infinito,
então dizemos que {an} converge para α, o
qual é expresso da seguinte maneira:
limn→∞ an = α
ou
an → α quando n → ∞.
O valor de α é chamado de
valor do limite de {an}. Em
outras palavras, o limite de {an}
é α. Se o valor de todos os termos da progressão é a constante
c, então o valor do limite também é c e é expresso da seguinte
forma:
limn→∞ c = c
O símbolo ∞ é lido como "infinito" e representa uma
quantidade ilimitada que é maior do que qualquer número real.
--
Convergência e divergência nas progressões infinitas
Quando a progressão {an} não converge, dizemos que, {an}
diverge. Quando {an}
diverge para infinito positivo, dizemos que o limite de {an} é infinito positivo e é
expresso da seguinte maneira:
limn→∞ an = ∞
ou
an →
∞ quando n → ∞.
Quando {an}
diverge para infinito negativo, dizemos que
o limite de {an} é infinito negativo e é expresso da seguinte
maneira:
limn→∞ an = -∞
ou
an → -∞ quando n → ∞.
Quando uma progressão divergente não diverge nem para infinito positivo nem
para negativo, dizemos que a progressão é
oscilante.
Limite de uma Progressão
-
Converge
- limn→∞ an = α (converge para um valor constante α)
- Diverge
- limn→∞ an = ∞ (diverge para infinito positivo)
- limn→∞ an = -∞ (diverge para infinito negativo)
- Oscilante (sem limite)
Propriedades dos Limites de Progressões
Quando as progressões {an} e {bn}
convergem, no qual limn→∞ an = α e limn→∞ bn = β,
- limn→∞ k.an = k . α, onde k é a constante
- limn→∞ (an + bn) = α + β
- limn→∞ (an - bn) = α - β
- limn→∞ (an . bn) = α . β
- limn→∞ (an / bn) = α / β
Revisão de logaritmos (propriedades)
- loga a = 1
- loga 1 = 0
- loga (M / N) = loga M - loga N
-
-
Limites de progressões e suas relações
-
Para todos os valores de n, quando an ≤ bn,
se limn→∞ an = α e limn→∞ bn = β, então α ≤ β
se limn→∞ an = ∞, então limn→∞ bn = ∞ -
Para todos os valores de n, quando an ≤ cn ≤ bn,
se limn→∞ an = limn→∞ bn = α, então limn→∞ cn = α
A afirmação 1 também é verdadeira quando an < bn.
E a afirmação 2 também é verdadeira quando:
an ≤ cn < bn
E a afirmação 2 também é verdadeira quando:
an ≤ cn < bn
an < cn ≤ bn
an < cn < bn
Sequências Infinitas
A progressão a, a.r, a.r 2, ..., a.r n-1, ... é chamada de
progressão geométrica infinita cujo 1º
termo é a e a razão é r.
Limite de uma progressão geométrica infinita {r n}
Quando r > 1, limn→∞ r n = ∞ ... Diverge
Quando r = 1, limn→∞ r n = 1 ... Converge
Quando |r| < 1, limn→∞ r n = 0 ... Converge
Quando r ≤ 1, Oscilante (sem limite) ... Diverge
Séries Geométricas Infinitas
Dada uma progressão infinita {an}, a expressão a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ''' (1) é chamada de
série infinita, na qual a1 e an são chamados de
1º termo e o n-ésimo termo, respectivamente.
Além disso, dada uma progressão infinita {an}, considere Sn a soma dos primeiros n termos.
Quando a progressão infinita {Sn} converge, dizemos que a série infinita (1) também converge.
Quando a progressão infinita {Sn} diverge, dizemos que a série infinita (1) também diverge.
Do mesmo modo, a + a.r + a.r 2 + ...
+ a.r n-1 + ... que é a série infinita
derivada da progressão geométrica infinita cujo 1º termo é a e a
razão é r é chamada de série
geométrica infinita cujo 1º termo é a e a razão é
r.
Convergência e Divergência de uma série geométrica infinita
Dada uma série geométrica infinita a + a.r + a.r 2 + ... + a.r n-1 +
..., o seguinte é verdadeiro.
Quando a ≠ 0,
se |r| < 1, então a série converge e a soma é a / (1 - r);
se |r| ≥ 1, então a série diverge.
Quando a = 0, a série converge e a soma é 0.
Dízima periódica
Um decimal que contém um dígito ou bloco de dígitos que se repete
infinitamente em sua parte decimal é chamado de dízima periódica. A dízima periódica é expressa colocando-se uma barra que vai do primeiro ao
último dígito que se repete:
0,33333... = 0,3,
0,454545... = 0,45,
0,123123123... = 0,123,
Além disso, a dízima periódica pode ser expressa por uma fração utilizando um
série geométrica infinita.
Teorema do ponto médio
Se M e N são os pontos médios dos lados AB e AC do ΔABC, as seguintes
relações são verdadeiras:
MN e BC são paralelos
MN = 1/2 * BC
Isso é chamado de Teorema do ponto médio.
Séries Infinitas
Dada a série infinita a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ''' (1), a soma dos primeiros n termos
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
é chamada de soma parcial dos
primeiros n termos da série infinita.
A série infinita (1) pode ser escrita como:
Somatório de n=1 até ∞ 
de an.
de an.
Propriedades das Séries Infinitas
Quando as séries infinitas
an
e
bn convergem, considerando que an = S e bn = T, as seguintes propriedades são verdadeiras:
k . an = k . S (k é uma constante)
(an + bn)= S + T
(an - bn)= S - T
Séries Infinitas
Seja Sn a soma parcial dos primeiros n termos da série
infinita 
an.
an.
Quando n ≥ 2, an = Sn - Sn-1
Quando a série infinita an converge, considere S a sua soma. Então,
an converge, considere S a sua soma. Então,
limn→∞ an = limn→∞ (Sn - Sn-1) = limn→∞ Sn - limn→∞ Sn-1 = S - S = 0.
Portanto, quando an converge, limn→∞ an = 0
an converge, limn→∞ an = 0
Além disso, quando a progressão {an} não converge para 0, an diverge.
an diverge.
Considerando o exposto acima, a seguinte afirmação é verdadeira.
Convergência e Divergência de Séries Infinitas
Se a série infinita an converge, então limn→∞ an = 0.
an converge, então limn→∞ an = 0.
Se a progressão {an} não converge para 0, então a série infinita an diverge.
an diverge.
Limites de Funções I
(referência L41)
Dada a função f(x), se f(x) se aproxima do valor constante
α conforme x se aproxima de a, então dizemos
que f(x) converge para α,
o que é expresso como:
limx→a f(x) = α ou f(x) → α quando x → α.
limx→a f(x) = α ou f(x) → α quando x → α.
O valor de α é chamado de
limite ou de
valor limite da função f(x) conforme x → α. Assim como com limites de progressões,
as seguintes expressões são verdadeiras para limites de funções.
Propriedades de Limites de Funções
Se limx→a f(x) = α e
limx→a g(x) = β, então
limx→a k . f(x) = k . α (k é uma constante)
limx→a [f(x) + g(x)] = α + β, limx→a [f(x) - g(x)] = α - β
limx→a [f(x) . g(x)] = α . β
limx→a [f(x) / g(x)] = α / β, (β ≠ 0)
Para a função f(x), o limite quando x se aproxima de
a pela direita é chamado de
limite tendendo para a direita e é expresso como limx→a+ f(x). O limite quando x se aproxima de
a pela esquerda é chamado de limite
tendendo para a esquerda e é expresso como
limx→a- f(x).
Existência de um Limite
Se limx→a+ f(x) = limx→a- f(x) = α, então limx→a f(x) = α.
Se limx→a+ f(x) ≠ limx→a- f(x) = α, então limx→a f(x)
não existe.
[x]
O símbolo [x] denota o maior número inteiro menor ou igual ao número
real x. Isso pode ser expresso da seguinte maneira:
Se n for um número inteiro e n ≤ x < n + 1,
então [x] = n.
Por exemplo:
[7/2] = 3, [2] = 2, [0,99] = 0, [-1/10] = -1
O símbolo [ ] é chamado de
símbolo de Gauss e [x] é lido
como "Gauss x".
Resumo
Dadas as funções f(x), g(x) e a constante α,
quando limx→a [f(x)/g(x)] = α e
também limx→a g(x) = 0,
limx→a f(x) = limx→a [f(x)/g(x) * g(x)] = α * 0 = 0.
Portanto, se limx→a [f(x)/g(x)] = α e
limx→a g(x) = 0, então limx→a f(x) = 0.
Limites de Funções II
Observação:
quando um limite se torna a forma indeterminada ∞/∞ ou ∞ - ∞, a expressão
precisa ser reorganizada.
Resumo:
quando x → -∞, é mais fácil determinar a resposta
considerando que x = -t e que o caso t → ∞ é
verdadeiro. (Caso contrário, (x²)1/2 = -x quando
x < 0, e determinar a resposta correta se torna mais difícil.)
Limites de funções trigonométricas
limx→0 [sen(x) / x] = 1
Limites de funções e suas relações
1 - Para todos os valores de x próximos a a, quando
f(x) ≤ g(x),
se limx→a f(x) = α e
limx→a g(x) = β,
então α ≤ β
se limx→a f(x) = ∞, então limx→a g(x) = ∞
2- Para todos os valores de x próximos a
a, quando f(x) ≤ h(x) ≤ g(x),
se limx→a f(x) = limx→a g(x) = α, então limx→a h(x) = α
A declaração 1 é verdadeira quando f(x) < g(x), e a declaração 2 é
verdadeira quando f(x) ≤ h(x) < g(x), f(x) < h(x) ≤ g(x), f(x) < h(x) < g(x).
Funções Contínuas e Descontínuas
Geralmente, a função f(x) é considerada
contínua quando x = a se
f(x) satisfizer as duas seguintes condições em relação a
a que é o valor de x dentro do domínio.
(i) limx→a f(x) existe
(ii) limx→a f(x) = f(a) é verdadeiro.
Com essas condições, o gráfico de y = f(x) não tem descontinuidade em
x = a. Se a função f(x) não é contínua em
x=a, f(x) é considerada
descontínua em x = a.
Funções contínuas e descontínuas
Dado que a função f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b], então o
gráfico não tem descontinuidade entre os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
Se f(a) e f(b) tiverem sinais diferentes, então o gráfico
intercepta o eixo x entre a e b.
Como as coordenadas x desses pontos são soluções para a equação
f(x) = 0, as seguintes afirmações são verdadeiras.
Teorema do Valor Intermediário
Se a função f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b] e
f(a) . f(b) < 0, então a equação f(x) = 0 tem pelo
menos uma solução real no intervalo a < x < b.
O intervalo a ≤ x ≤ b é chamado de intervalo
fechado e o intervalo a < x < b é chamado de intervalo aberto.
Eles são expressos como [a, b] e (a, b), respectivamente.
O Teorema do Valor Intermediário pode ser explicado da seguinte maneira: se a
função f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b] e
f(a) ≠ f(b), então há pelo menos um valor de c que
satisfaz f(c) = k e a < c < b para qualquer valor
arbitrário de k que estiver entre f(a) e f(b).
Diferenciação I
Dada a função f(x), se o valor de limite
limh→0 [f(a + h) - f(a)] /
h existe, então ele é chamado de
derivada de f(x) em
x = a e é expresso como f ' (a).
Nesse caso, dizemos que f(x) é diferenciável em
x = a.
Seja a + h = x. Então, h =
x - a. Como h→0, x→a. Portanto,
f ' (a) também pode ser expressa como
f ' (a) = limh→0 [f(a + h) - f(a)] / h = limx→a [f(x) - f(a)] / (x - a)
--
Se a função f(x) é diferenciável para cada valor
a em um certo intervalo, a função que corresponde à derivada
f ' (a) nesse intervalo é chamada de derivada de f(x) e é expressa como f ' (x). O processo de determinar a derivada f ' (x) é chamado de
diferenciação da
função f (x).
A derivada da função y = f(x) também é expressa por
símbolos como y', [f (x)]', dy/dx e
d/dx . f(x). dy/dx também é lida
como "dy, dx".
Propriedades de Derivadas
Quando k é uma constante e n é um número inteiro positivo,
se y = x n, então y' = n . x n-1
se y = k . f (x), então y' = k . f '(x)
se y = f (x) + g(x),
então y' = f '(x) + g '(x)
se y = f (x)
- g(x), então y' = f '(x) - g '(x)
Regra do Produto
[f (x) . g(x)]' = f
'(x) . g(x) + f (x)
. g '(x)
Regra do Quociente
[f (x) / g(x)]' = [f
'(x) . g(x) - f (x)
. g '(x)] / [g(x)]²
[1 / g(x)]' = - [g '(x)] /
[g(x)]²
Derivada de x n
Quando n é um número inteiro, (x n)' = n . x n-1
Diferenciação I
Seja y = f(x) . g(x)
. h(x)
y' = f '(x) . g(x) . h(x)
+ f(x) . g '(x)
. h(x) + f(x) . g(x)
. h '(x)
Diferenciação II
Dadas duas funções f (x) e g (x) onde o
intervalo de f (x) está dentro do domínio
de g (x), considere u = f (x) e
y = g (u). Então, y = f (x)
= g (f (x)) pode ser obtida.
A função g (f (x)) é chamada de
função composta de f (x) e g (x).
Regra da Cadeia I
dy/dx = du/du . du/dx
Regra da Cadeia II
[f (g (x))] ' = f ' (g(x)) . g '(x)
Diferenciação II
Quando o valor de y para y = f (x) é
determinado e então apenas um valor correspondente de x é definido,
x é considerado uma função de y. Se essa função é
expressa como x = g (y), então a função y =
g(x) onde x e y são invertidos é chamada
função inversa da função original
y = f (x).
Fórmula de Diferenciação para Funções Inversas
dy / dx = 1 / (dx / dy)
com dx / dy ≠ 0
Derivada de x p
Quando p é um número racional, (x p ) ' = p . x p - 1
Observação: números que podem ser expressos por uma fração, como m / n,
são chamados de números racionais.
Diferenciação de Funções Trigonométricas
As fórmulas de transformação de Soma/Diferença em Produto são frequentemente
utilizadas para diferenciação e integração de funções trigonométricas.
sen A + sen B = 2 . sen [(A + B) / 2] . cos [(A - B) / 2]
sen A - sen B = 2 . cos [(A + B) / 2] . sen [(A - B) / 2]
cos A + cos B = 2 . cos [(A + B) / 2] . cos [(A - B) / 2]
cos A - cos B = - 2 . sen [(A + B) / 2] . sen [(A - B) / 2]
Derivadas de Funções Trigonométricas
(sen x) ' = cos x
(cos x) ' = -sen x
(tg x) ' = 1 / cos2 x
Diferenciação de Funções Logarítmicas e Exponenciais
Quando examinamos o valor de (1 + k)1/k substituindo k com um valor próximo de 0, ele se aproxima
de um valor constante como mostrado abaixo. A constante e é um número
irracional, e = 2,7182818...
k = 0,1; (1 + k)1/k = 2,59374...
k = 0,01; (1 + k)1/k = 2,70481...
k = 0,001; (1 + k)1/k = 2,71692...
k = 0,0001; (1 + k)1/k = 2,71814...
k = 0,00001; (1 + k)1/k = 2,71826...
k = -0,1; (1 + k)1/k = 2,86797...
k = -0,01; (1 + k)1/k = 2,73199...
k = -0,001; (1 + k)1/k = 2,71964...
k = -0,0001; (1 + k)1/k = 2,71841...
k = -0,00001; (1 + k)1/k = 2,71829...
Derivadas de funções logarítmicas I
(ln x) ' = 1 / x
(loga x) ' = 1 / (x . ln a)
Derivadas de funções logarítmicas II
(ln |x|) ' = 1 / x
(loga |x|) ' = 1 / (x . ln a)
[f (g (x)] ' = f '(g(x)) . g '(x)
[f (g (x)] ' = g '(x) / g(x)
Derivada de xa
Quando α é um número real, (xα) ' = α . xα - 1
Derivada de funções exponenciais
(ex) ' = ex
(ax) ' = ax. ln a
Derivada de funções diversas e derivadas de ordem superior
dy / dx = dy / dt . dt / dx = dy / dt . 1 / (dx / dt)
Derivadas de funções representadas por um parâmetro
Quando x = f (t) e y = g (t), dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt) = g ' (t) / f ' (t)
Diferenciação de funções diversas e derivadas de ordem superior
A função [f ' (x)] ' que é derivada por meio da diferenciação da derivada f ' (x) de y = f (x) é chamada de derivada de segunda ordem de f (x), e é expressa como y '' ou f '' (x). Além disso, a derivada da derivada de segunda ordem f '' (x) é chamada de derivada de terceira ordem de f (x) e é expressa como y ''' ou f ''' (x).
f ' (x) é frequentemente chamada de derivada de primeira ordem de f (x). Em geral, a função determinada ao se diferenciar n vezes a função y = f (x) é chamada de derivada de n-ésima ordem de f (x) e é expressa como y(n) ou f (n) (x). As derivadas de segunda ordem em diante são chamadas de derivadas de ordem superior.
As derivadas de segunda, terceira e n-ésima ordem são expressas como
d 2y / d x2, d 3y / d x3, d ny / d xn ou
(d 2 / d x2) f (x), (d 3 / d x3) f (x), (d n / d xn) f (x), respectivamente.
d 2y / d x2 é lido como "d dois y sobre dx ao quadrado".
Propriedades diversas de derivadas
Se a função f (x) é diferenciável em x = a, então f ' (a) existe e limx→a [f(x) - f(a)] = limx→a {[f(x) - f(a)] / (x - a) . (x - a)} = f ' (a) . 0 = 0
Portante, limx→a f (x) = f (a)
f (x) é contínua em x = a.
Diferenciabilidade e continuidade
Se a função f(x) é diferenciável em x = a, então ela é contínua em x = a.
Propriedades Diversas de Derivadas
Teorema de Rolle
Se a função f (x) é contínua no intervalo fechado [a, b], diferenciável no intervalo aberto (a, b) e f (a) = f (b), então existe pelo menos um valor c tal que f ' (c) = 0 e a < c < b.
O Teorema de Rolle afirma que, se f (a) = f (b), então existe pelo menos um ponto entre A e B na curva cujo gradiente da tangente é 0, isto é, f ' (c) = 0.
Teorema do valor médio
Se a função f (x) é contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um valor de c tal que [f (b) - f (a)] / (b - a) = f ' (c) e a < c < b.
