Cálculo I - 29/03/2019

Cálculo I - 29/03/2019 - (Sexta-feira)

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 19h00min
Término da aula: 20h10min
Taxa de aproveitamento: 77,77%


Exercícios de Limites Trigonométricos

Lembrando que
lim_x→0 [sen(x)/x] = 1

1) Encontre o limite:

a) lim_x→0 [sen(3x)/8x]

[Res.]
lim_x→0 [sen(3x)/8x]
= lim_x→0 {[3/8 . sen(3x)] / [3/8 . (8x)]}
= lim_x→0 {[3/8 . sen(3x)] / [3x]}
= lim_x→0 [3/8 . sen(3x)/(3x)]
= lim_x→0 3/8 . lim_x→0 [sen(3x)/(3x)]
= 3/8 . 1
= 3/8


b) lim_x→0 [sen(3x)/sen(2x)]

[Res.]
lim_x→0 [sen(3x)/sen(2x)]
=  lim_x→0 {[3/2 . sen(3x)/3x] /[3/2 . sen(2x)/3x]}
=  lim_x→0 {[3/2 . sen(3x)/3x] /[sen(2x)/2x]}
=  lim_x→0 (3/2) . lim_x→0 [sen(3x)/3x] / lim_x→0 [sen(2x)/2x]
=  3/2 . 1 / 1
= 3/2


Limites infinitos

Ao investigarmos lim_x→a^- f(x) ou lim_x→a⁺ f(x), pode ser que o valor de f(x) ou aumente ou decresça sem limite à medida em que x se aproxima de a.


Exemplos: 
Seja f(x) = 1 / (x - 2). Estude lim_x→2 f(x).

Gráfico de f(x) = 1 / (x - 2), obtido com o GeoGebra e o Krita.

Quando x tende a 2 pela direita, f(x) aumenta sem limite. Denotamos este fato escrevendo:
lim_x→2⁺ [1/(x - 2)] = + ∞.

Por outro lado, quando x tende a 2 pela esquerda, f(x) decresce sem limite. Daí, escrevemos:
lim_x→2^- [1/(x - 2)] = - ∞.


Se os limites laterais são distintos, não existe limite no ponto: ∄ lim_x→2 f(x).


Definição:
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em x = a.

Escrevemos lim_x→a f(x) = + ∞ se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes com x próximo de a, mas x ≠ a.

Escrevemos lim_x→a f(x) = - ∞ se pudermos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente pequenos com x próximo de a, mas x ≠ a.


Exercícios:
* lim_x→-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1)

[Res.]

Gráfico de f(x) = 2x⁵ - 5x³ + 1, obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1)
= lim_x→-∞ 2x⁵ - lim_x→-∞ 5x³ + lim_x→-∞ 1
= [lim_x→-∞ 2x]⁵ - [lim_x→-∞ 5x]³ + 1
= [2 . lim_x→-∞ x]⁵ - [5 . lim_x→-∞ x]³ + 1
= [2 . (-∞)]⁵ - [5 . (-∞)]³ + 1
= [-∞]⁵ - [-∞]³ + 1
Como o limite tendeu ao infinito (negativo), iremos considerar apenas o termo de maior expoente para encontrar o limite da função. Assim:
lim_x→-∞ (2x⁵ - 5x³ + 1) = -∞


* lim_x→+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²)]

[Res.]

Gráfico de f(x) = (3 - x) / (√(5 + 4 . x²)), obtido com o GeoGebra e o Krita.

lim_x→+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²)]
= lim_x→+∞ [(3 - x) / √(5 + 4 . x²) . √(5 + 4 . x²) / √(5 + 4 . x²)]
= lim_x→+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / (5 + 4 . x²)}
= lim_x→+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / [x².(5/x² + 4 . x²/x²)]}
= lim_x→+∞ {[(3 - x) . √(5 + 4 . x²)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[x(3/x - x/x) . x√(5/x² + 4 . x²/x²)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[x²(3/x - 1) . √(5/x² + 4 . 1)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[x²(3/x - 1) . √(5/x² + 4)] / [x².(5/x² + 4)]}
= lim_x→+∞ {[(3/x - 1) . √(5/x² + 4)] / [(5/x² + 4)]}
= {[(0 - 1) . √(0 + 4)] / [(0 + 4)]}
= {[(- 1) . √4] / [4]}
= {[-√4] / [4]}
= {[-2] / [4]}
= -2 / 4
= -1 / 2


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Me Salva! LIM09 - Limites no infinito e assíntotas horizontais

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CALC1S4 06 Limites Infinitos

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CALC1S4 05 Exemplos

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CALC1S4 04 Consequências

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CALC1S4 03 Limites Trigonometricos Fundamentais

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CALC1S4 02 Limites Laterais Parte 2

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CALC1S4 01 Limites Laterais

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Production Caprine

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Ovinos

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2ª Lista de Cálculo I - Propriedades das funções

2ª Lista de Cálculo I - Propriedades das funções

Revisão breve:

Função:

• Sobrejetora: quando todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio.
• Injetora: quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio.
• Bijetora: quando a função é sobrejetora e injetora.

Referência:

https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-funcao-sobrejetora.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm

1. Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente, indicando pontos de máximo e de mínimo para as figuras a seguir:
   a)
   
   [Res.]
   Função crescente: ]-∞,-4], [-1,3]
   Função decrescente: [-4,-1], [3,∞[
   Extremos locais
   Pontos de máximo: y = 2 em x = -4, 3
   Ponto de mínimo: y = -2 em x = -1
   Extremos absolutosPontos de máximo: y = 2 em x = -4, 3
   Ponto de mínimo: não tem
   
   b)
   
   [Res.]
   Função crescente: ]-∞, -2], [1, ∞]
   Função decrescente: [-2, 1]
   Extremos locais
   Pontos de máximo: y = 3 em x = -2
   Ponto de mínimo: y = -2 em x = 1
   Extremos absolutosPontos de máximo: não tem
   Ponto de mínimo: não tem
   
   c)
   
   [Res.]
   Função crescente: [-1, -0], [1,∞[
   Função decrescente: ]∞, -1], [0, 1]
   Extremos locais
   Pontos de máximo: y = 0 em x = 0
   Ponto de mínimo: y = -1 em x = -1, 1
   Extremos absolutosPontos de máximo: não tem
   Ponto de mínimo: y = -1 em x = -1, 1
2. Determine se f é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
   a) f(x) = 5x³ + 2x
   [Res.]
   f(1) = 5+2 = 7
   f(-1) = -5 -2 = -7
   Como f(-1) é -f(1), a função é ímpar.
   
   b) f(x) = |x| - 3
   [Res.]
   f(1) = 1 - 3 = -2
   f(-1) = 1 - 3 = -2
   Como f(1) = f(-1), logo a função é par.
   
   c) f(x) = (8x³ - 3 x²)³
   [Res.]
   f(1) = (8 - 3)³ = 5³ = 125
   f(-1) = (-8 - 3)³ = (-11)³ = -1331
   Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.
   
   d) f(x) = (3x^4 + 2x² - 5)^(1/2)
   [Res.]
   f(1) = (3 + 2 - 5)^(1/2) = 0
   f(-1) = (3 + 2 - 5)^(1/2) = 0
   Como f(1) = f(-1), logo a função é par.
   
   e) f(x) = 6x^5 - 4x³ + 2x
   [Res.]
   f(1) = 6 - 4 + 2 = 4
   f(-1) = -6 + 4 - 2 = -4
   Como f(1) = -f(-1), logo a função é ímpar.
   
   f) f(x) = x (x+5)
   [Res.]
   f(1) = 1 (1+5) = 6
   f(-1) = -1 (-1 + 5) = -4
   Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.
3. Seja f: A  B. Sabe-se que o conjunto A tem (2p - 2) elementos e o conjunto B tem (p+3) elementos. Sabendo-se que f é injetora, então podemos afirmar que:
   a) 1 < p ≤ 5
   b) 5 < p ≤ 7
   c) 7 < p ≤ 8
   d) 8 < p ≤ 10
   e) p ≥ 10
   [Res.]
   Como uma função é Injetora quando cada elemento da imagem está relacionada a um único elemento do domínio, logo:
   2p - 2 ≤ p + 3
   2p - 2 + 2 ≤ p + 3 + 2
   2p ≤ p + 5
   p ≤ 5
   
   Como 2p - 2 ≤ 0:
   0 ≤ 2p - 2
   2 ≤ 2p
   1 ≤ p
   
   Assim:
   1 ≤ p ≤ 5
4. Os gráficos abaixo representam funções de IR em IR. Verifique se elas são ou não funções sobrejetoras, injetoras ou bijetoras. Justifique sua resposta.
   a)
   
   [Res.]
   f(1) = 0
   f(-1) = -2
   Como f(1) ≠ f(-1) e f(1) ≠ -f(1), logo a função não é nem par nem ímpar.
   Como para cada y existe apenas um valor de x, a função é injetora.
   Como todos os elementos do contradomínio estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função é sobrejetora.
   Como a função é injetora e sobrejetora, ela é bijetora.
   
   b)
   
   [Res.]
   Como para cada x não existe apenas um valor de y, a função não é injetora.
   Como todos os elementos do contradomínio não estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função não é sobrejetora.
   
   c)
   
   [Res.]
   Como para cada y não existe apenas um valor de x, a função não é injetora.
   Como todos os elementos do contradomínio não estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio, a função não é sobrejetora.
5. Determine o conjunto B de modo que a sentença f(x) = x² defina uma função sobrejetora de A = [-3,4] em B. Nestas condições podemos dizer que f é bijetora?
   
   [Res.]
   Calculando
   f(-3) = (-3)² = 9
   f(-2) = (-2)² = 4
   f(-1) = (-1)² = 1
   f(0) = (0)² = 0
   f(1) = (1)² = 1
   f(2) = (2)² = 4
   f(3) = (3)² = 9
   f(4) = (4)² = 16
   
   Logo, B = [0, 16].
   Como cada elemento da imagem não está relacionado a um único elemento do domínio, a função não é injetora. Logo, ela não é bijetora.
6. Uma função f é dada por uma tabela de valores. Determine se f é injetora em cada caso.
   a)
   
   [Res.]
   Como cada elemento da imagem não está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função não é injetora.
   
   b)
   
   [Res.]
   Como cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, a função é injetora.
7. Uma função f é dada por meio de descrição verbal. Determine se f é injetora.
   a) f(t) é a altura de uma bola t segundos após ser chutada.
   [Res.]
   Como cada elemento da imagem não está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função não é injetora (tomando-se apenas os eixos x e y como coordenadas parabólicas da bola).
   
   b) f(t) é a sua altura com t anos de idade.
   [Res.]
   Como cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, logo a função é injetora.

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