Riscos, Coeficiente Beta e CAPM

Riscos:

• Risco Isolado
• É um risco de um único ativo (específico de um setor da empresa, um projeto específico etc.)
• Risco Corporativo
• É a soma dos riscos isolados da firma (o resultado da diversificação dos riscos)
• Risco de Mercado
• É um risco a que praticamente todas as empresas do mercado estão suscetíveis

Os riscos podem ser classificados em:

• Riscos sistemáticos:
• São os riscos a que a maioria das empresas do mercado estão suscetíveis (Risco de Mercado).
• Riscos não-sistemáticos:
• São os riscos que atingem setores específicos da economia ou da empresa, não afetando os demais setores econômicos ou projetos da empresa.

Risco de um projeto específico

Conhecendo-se o valor esperado do fluxo de caixa de um projeto, pode-se dimensionar o risco do projeto através do Coeficiente de Variação (CV):

CV = Desvio Padrão / média

Onde o Desvio padrão é calculado com base nas probabilidades de ocorrência dos fluxos de caixa esperados:
Desvio padrão = [Probabilidade (E(fluxo de caixa₁) - Fluxo médio)² + ... ]^1/2

Coeficiente Beta

O coeficiente Beta pode ser calculado da seguinte forma:

Beta = COV (ativo, mercado) / VAR (mercado)
Ou seja, o coeficiente Beta é igual à covariância entre o valor do ativo e o mercado dividida pela variância do mercado. O mercado pode ser representado por um indicador financeiro como o índice IBOVESPA ou outro indicador, conforme a necessidade e as características de mercado.

Se o coeficiente Beta for:

• Beta < 1:
• O valor do ativo varia menos que o mercado, oferecendo maior concentração de valores em torno do valor médio, ou seja, com menos dispersões, oferecendo menor variabilidade e consequentemente menor risco. Como seu risco é baixo, devido à sua baixa variabilidade, a taxa de retorno requerida pelos acionistas (Ks) será menor que a taxa de mercado (Km), conforme o CAPM.
• Beta = 1:
• O valor do ativo varia de forma idêntica ao mercado, de tal forma que o retorno esperado pelos acionistas (Ks) é igual ao retorno do mercado (Km).
• Beta > 1:
•  O valor do ativo oscila mais do que o mercado. Por oferecer maior incerteza, com dados mais dispersos ao redor do valor médio do período analisado, oferece maior risco, o que leva a taxa de retorno dos acionistas (Ks) a ser maior que a taxa média de retorno do mercado (Km).

CAPM (Capital Asset Pricing Model - Modelo de Precificação de Ativos):
Ks = Kf + Beta . (Km - Kf)
Onde:
Ks = taxa de retorno do capital próprio (retorno dos acionistas = stockholders/shareholders)
Kf = taxa do investimento "livre de risco" disponível no mercado
Beta = coeficiente beta da empresa (obtido com base na variação do preço do ativo e do mercado)
Km = taxa média de retorno do mercado

O CAPM usa o coeficiente beta da empresa para calcular a taxa requerida pelo acionista (Ks). Com base no Ks é possível precificar a ação (sabendo-se o valor esperado dos dividendos futuros):
P0 = D1 / (Ks - g)
Onde:
P0 = Preço da ação no tempo 0
D1 = Valor do dividendo no tempo 1
Ks = taxa de retorno do acionista, calculada através do CAPM (modelo de precificação de ativos)
g = taxa de crescimento esperada dos lucros e dividendos

Finanças Corporativas - Lista de exercícios II

Finanças Corporativas - Lista de exercícios II - Prof. B. Funchal

Questão 1
Você, como analista de investimentos da Saturn Corporation, precisa analisar dois projetos potencias distintos (X e Y) e mutuamente excludentes. Cada projeto tem um custo inicial de investimento de 200.000$, e o custo de capital da empresa é de 13%. Os fluxos de caixa esperados são:

Projeto X

Ano 0 - (200)

Ano 1 - 70

Ano 2 - 70

Ano 3 - 70

Ano 4 - 70

Projeto Y

Ano 0 - (200)

Ano 1 - 130

Ano 2 - 60

Ano 3 - 60

Ano 4 - 20

(0) Calcule o período de payback descontado, o VPL, e a TIR Modificada de cada projeto. Qual desses seria aceito? (descreva os passos da HP quando for utilizá-la)

Resolução:

- Período de Payback descontado
Primeiramente é importante diferenciar Payback do Payback descontado. Payback é o tempo de retorno do investimento baseado nos valores do fluxo de caixa: quando o fluxo de caixa acumulado "zera" o valor investido ocorre o Payback. O Payback descontado é mais próximo da realidade, pois é baseado nos valores presentes do fluxo de caixa, ou seja, considera o valor dinheiro conforme o custo de capital (o valor do dinheiro no tempo).

Custo inicial: 200.000$
Ks (custo de oportunidade): 13%

Fluxo de caixa do Projeto X:
Ano 0 - (200)

Ano 1 - 70

Ano 2 - 70

Ano 3 - 70

Ano 4 - 70

Com a calculadora financeira HP é possível obter os valores do fluxo de caixa em valor presente da seguinte forma:

70 CHS FV

13 i

1 n

PV

Repetindo o procedimento para cada valor do fluxo de caixa, obtém-se os valores presentes:

Valor presente do fluxo de caixa do Projeto X:

Ano 0 - (200)

Ano 1 - 61,94690

Ano 2 - 54,82027

Ano 3 - 48,51351

Ano 4 - 42,93231

Valor presente líquido acumulado do fluxo de caixa do Projeto X:

Ano 0 - (200)

Ano 1 - (138,0531)

Ano 2 - (83,23283)

Ano 3 - (34,71932)

Ano 4 - 8,20389

Como pode-se observar, conforme o valor presente líquido acumulado, o payback descontado ocorre entre o ano 3 e o ano 4.

No ano 3 restam (34,71932). Como o fluxo de caixa para o ano 4 é de 42,93231, logo:

34,71932/42,93231 = 0,808699089

Logo, o Payback descontado ocorre em 3,80869 anos.

O Valor Presente Líquido do Projeto X (VPLx), é:
VPLx = 8,20389 mil

Para se calcular a TIRm (Taxa Interna de Retorno modificada) deve-se levar os fluxos de caixa dos anos 1 a 4 para o Valor Futuro no final do projeto, ou seja, no ano 4, mantendo apenas o investimento inicial em valor presente. Na calculadora financeira HP o cálculo do valor futuro pode ser feito da seguinte forma:

70 PV
13 i
3 n
FV

Assim, obtém-se os valores futuros (para o ano 4), lembrando que o fluxo do Ano 0 (o investimento) não é levado a Valor Futuro:

Ano 1 - 101,00279

Ano 2 - 89,383

Ano 3 - 79,10

Ano 4 - 70

Total: 339,48579

Para o cálculo da TIRmx (Taxa Interna de Retorno do Projeto X) na HP:
200 CHS PV
339,48579 FV
4 n
i

Assim, obtém-se o valor da TIRmx:
TIRmx = 14,14264%



Agora, passemos à análise do projeto Y:

Fluxo de caixa do Projeto Y:
Ano 0 - (200)

Ano 1 - 130

Ano 2 - 60

Ano 3 - 60

Ano 4 - 20

Repetindo o cálculo de Valor Futuro para cada valor do fluxo de caixa, obtém-se os valores presentes:

Valor presente do fluxo de caixa do Projeto Y:

Ano 0 - (200)

Ano 1 - 115,04425

Ano 2 - 46,98880

Ano 3 - 41,58301

Ano 4 - 12,26637

Valor presente líquido acumulado do fluxo de caixa do Projeto Y:

Ano 0 - (200)

Ano 1 - (84,95575)

Ano 2 - (37,96695)

Ano 3 - 3,61606

Ano 4 - 15,88243

Como se pode observar, conforme o valor presente líquido acumulado, o payback descontado ocorre entre o ano 2 e o ano 3.

No ano 2 restam (37,96695). Como o fluxo de caixa para o ano 3 é de 41,58301, logo:

37,96695/41,58301 = 0,913039965

Logo, o Payback descontado ocorre em 2,9130 anos.

O Valor Presente Líquido do Projeto Y (VPLy), é:
VPLy = 15,88243 mil

Para se calcular a TIRm (Taxa Interna de Retorno modificada) deve-se levar os fluxos de caixa dos anos 1 a 4 para o Valor Futuro no final do projeto, ou seja, no ano 4, mantendo apenas o investimento inicial em valor presente. Na calculadora financeira HP o cálculo do valor futuro pode ser feito da seguinte forma:

130 PV
13 i
3 n
FV

Assim, obtém-se os valores futuros (para o ano 4), lembrando que o fluxo do Ano 0 (o investimento) não é levado a Valor Futuro:
Ano 1 - 187,57

Ano 2 - 76,61400

Ano 3 - 67,80

Ano 4 - 20

Total: 351,984

Para o cálculo da TIRmy (Taxa Interna de Retorno do Projeto Y) na HP:
200 CHS PV
339,48579 FV
4 n
i

Assim, obtém-se o valor da TIRmy:
TIRmy = 14,14264%

Resumo


Payback descontado:
Projeto X: 3,80869 anos
Projeto Y: 2,9130 anos
TIRm:
Projeto X: 14,14264%
Projeto Y: 15,17898%
VPL:
Projeto X: 8,20389 mil
Projeto Y: 15,88243 mil

Com base no resumo das informações, o Projeto Y deve ser o escolhido por ser o melhor em VPL e TIRm e por ter o menor Payback descontado.

(1) Considere agora a existência de uma incerteza inerente aos projetos a partir do 3º ano, isto é , os fluxos de caixa dos períodos 0, 1 e 2 são certos (descritos acima), e apenas os dos períodos 3 e 4 são incertos, tendo a seguinte característica:

Projeto Y

• Ano 3 - Ruim (p = 0,5): 20
• Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 0 / Bom (p = 0,5): 30
• Ano 3 - Bom (p = 0,5): 100
• Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 0 / Bom (p = 0,5): 50

Projeto X

• Ano 3 - Ruim (p = 0,5): 60
• Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 40 / Bom (p = 0,5): 80
•  Ano 3 - Bom (p = 0,5): 80
• Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 60 / Bom (p = 0,5): 100

Desenhe as árvores de decisão, calcule os VPL's esperados e o coeficiente de variação de cada um dos projetos. Se você é um gerente mais avesso ao risco, isto é, prefere manter o Coeficiente de variação próximo de 2 (que é o nível atual da firma), qual projeto escolheria? E se você não se importasse com o risco? (Dica: para calcular o desvio padrão de cada projeto monte cada fluxo de caixa de cada trajetória separadamente, i.e , fluxo para estado Bom Bom, Bom Ruim, Ruim Bom e Ruim Ruim).

Resolução:

Desenhando as árvores de decisão:

• Projeto X

Fluxos de Caixa

Ano 0

(200)

Ano 1

70

Ano 2

70

Ano 3

Bom (p = 0,5) ------------------------------------ Ruim (p = 0,5)

80 ------------------------------------------------- 60

Ano 4

Bom (p = 0,5) ----------- Ruim (p = 0,5) ------------ Bom (p = 0,5) ----------- Ruim (p = 0,5)

100 --------------------- 60 -------------------------------- 80 --------------------- 40

VPLXBB ------------------- VPLXBR --------------------- VPLXRB ------------------- VPLXRR

33,54306 --------------------- 9,01031 -------------------- 7,41568 --------------------- (17,11707)

• Valor esperado do VPL do Projeto X (VPLx):
• E(VPLx) = [ProbabilidadeBB . E(VPLXBB) + ProbabilidadeBR . (VPLXBR) + ProbabilidadeRB . (VPLXRB) + ProbabilidadeRR . (VPLXRR)]
• E(VPLx) = [(0,5 . 0,5) . (33,54306) + (0,5 . 0,5) . (9,01031) + (0,5 . 0,5) . (7,41568) + (0,5 . 0,5) . (-17,11707)] = 8,212995 mil $

• Projeto Y

Fluxos de Caixa

Ano 0

(200)

Ano 1

130

Ano 2

60

Ano 3

Bom (p = 0,5) ------------------------------------ Ruim (p = 0,5)

100 ------------------------------------------------- 20

Ano 4

Bom (p = 0,5) ----------- Ruim (p = 0,5) ------------ Bom (p = 0,5) ----------- Ruim (p = 0,5)

50 --------------------- 0 -------------------------------- 30 --------------------- 0

VPLYBB ------------------- VPLYBR --------------------- VPLYRB ------------------- VPLYRR

62,00400 ------------------ 31,33807 ------------------- (5,70639) ------------------ (24,10595)

• Valor esperado do VPL do Projeto Y (VPLy):
• E(VPLy) = [ProbabilidadeBB . E(VPLYBB) + ProbabilidadeBR . (VPLYBR) + ProbabilidadeRB . (VPLYRB) + ProbabilidadeRR . (VPLYRR)]
• E(VPLy) = [(0,5 . 0,5) . (62,00400) + (0,5 . 0,5) . (31,33807) + (0,5 . 0,5) . (-5,70639) + (0,5 . 0,5) . (-24,10595)] = 15,8824325 mil $

• Cálculo do VPL de cada galho das árvores de decisão utilizando a calculadora financeira HP:
• Projeto X
• VPLXBB:
• 200 CHS g CF0
• 70 g CFj
• 70 g CFj
• 80 g CFj
• 100 g CFj
• 13 i
• f NPV
• VPLXBR:
• 200 CHS g CF0
• 70 g CFj
• 70 g CFj
• 80 g CFj
• 60 g CFj
• 13 i
• f NPV
• VPLXRB:
• 200 CHS g CF0
• 70 g CFj
• 70 g CFj
• 60 g CFj
• 80 g CFj
• 13 i
• f NPV
• VPLXRR:
• 200 CHS g CF0
• 70 g CFj
• 70 g CFj
• 60 g CFj
• 40 g CFj
• 13 i
• f NPV
• Projeto Y
• VPLYBB:
• 200 CHS g CF0
• 130 g CFj
• 60 g CFj
• 100 g CFj
• 50 g CFj
• 13 i
• f NPV
• VPLYBR:
• 200 CHS g CF0
• 130 g CFj
• 60 g CFj
• 100 g CFj
• 0 g CFj
• 13 i
• f NPV
• VPLYRB:
• 200 CHS g CF0
• 130 g CFj
• 60 g CFj
• 20 g CFj
• 30 g CFj
• 13 i
• f NPV
• VPLYRR:
• 200 CHS g CF0
• 130 g CFj
• 60 g CFj
• 20 g CFj
• 0 g CFj
• 13 i
• f NPV

• Cálculo do Coeficiente de Variação (CV) de cada projeto:
• CV = Desvio Padrão dos VPL's / E(VPL)
• Coeficiente de Variação do Projeto X (CVx):
• CVx = {[ProbabilidadeBB . (VPLxBB - E(VPLx))²] + [ProbabilidadeBR . (VPLxBR - E(VPLx))²] + [ProbabilidadeRB . (VPLxBB - E(VPLx))²] + [ProbabilidadeRR . (VPLxBB - E(VPLx))²]}^1/2 / E(VPLx)
• CVx = {[0,25 . (33,54306 - 8,212995)²] + [0,25 . (9,01031 - 8,212995)²] + [0,25 . (7,41568 - 8,212995)²] + [0,25 . (- 17,11707 - 8,212995)²]}^1/2 / 8,212995
• CVx = 2,181899745
• Coeficiente de Variação do Projeto Y (CVy):
• CVy = {[ProbabilidadeBB . (VPLyBB - E(VPLy))²] + [ProbabilidadeBR . (VPLyBR - E(VPLy))²] + [ProbabilidadeRB . (VPLyBB - E(VPLy))²] + [ProbabilidadeRR . (VPLyBB - E(VPLy))²]}^1/2 / E(VPLy)
• CVy = {[0,25 . (62,00400 - 15,8824325)²] + [0,25 . (31,33807 - 15,8824325)²] + [0,25 . (- 5,70639 - 15,8824325)²] + [0,25 . (- 24,10595 - 15,8824325)²]}^1/2 / 15,8824325
• CVy = 2,095631048

Devido à aversão ao risco, o projeto escolhido seria o de Coeficiente de Variação (CV) mais próximo de 2, ou seja, o Projeto Y, pois CVy < CVx. Caso o risco fosse desconsiderado o fator decisivo para a análise seria o valor esperado do VPL (Valor Presente Líquido) de cada projeto. Como o E(VPLy) > E(VPLx), o Projeto Y continuaria sendo o projeto escolhido.

(2) Suponha agora que na implementação do projeto Y, a firma tem a possibilidade de vendê-la no 3º ano à uma outra firma pelo valor de 150.000$. Isso mudaria a escolha de projeto da firma? (Use o VPL para avaliar)

Resolução:
Com a opção de venda do Projeto Y deve-se calcular o novo E(VPLy). Para isso é necessário construir uma nova árvore de decisão, conforme descrito abaixo.

• Árvore de Decisão do Projeto Y com opção de venda no ano 3 por 150.000$:
• Substituindo o galho de menor VPL no ano 3 pelo valor da opção de venda, tem-se a nova árvore de decisão do projeto Y com opção de venda
• Cenário Ano 3 Bom e Ano 4 Bom (BOM-BOM):
• Fluxo de Caixa:
• Ano 0: (200)
• Ano 1: 130
• Ano 2: 60
• Ano 3: 100
• Ano 4: 50
• VPLyBB = 62,00400

• Cenário Ano 3 Bom e Ano 4 Ruim (BOM-RUIM):
• Fluxo de Caixa:
• Ano 0: (200)
• Ano 1: 130
• Ano 2: 60
• Ano 3: 100
• Ano 4: 0
• VPLyBR = 31,33807
• Cenário Ano 3 Ruim substituído pela opção de venda (Opção de venda):
• Fluxo de Caixa:
• Ano 0: (200)
• Ano 1: 130
• Ano 2: 60
• Ano 3: 150
• VPLyVENDA = 65,99057
• Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido do Projeto X com opção de venda (E(VPLxVENDA)):
• E(VPLyVENDA) = ProbabilidadeBB . VPLyBB + ProbabilidadeBR . VPLyBR + ProbabilidadeVENDA . VPLyVENDA
• E(VPLyVENDA) = (0,5 . 0,5) . (62,00400) + (0,5 . 0,5) . (31,33807) + (0,5) . (65,99057) = 56,3308025

Resumo:
E(VPLx) = 8,212995
E(VPLy) = 15,8824325
E(VPLyVENDA) = 56,3308025

Análise dos VPL's:
O Projeto Y tem seu valor esperado de VPL (E(VPLy)) aumentado com a opção de venda no ano 3. Como o E(VPLyVENDA) > E(VPLx), o projeto a ser escolhido pela firma continua a ser o Projeto Y.

Questão 2
O preço corrente da ação da empresa A é de $72 e seu último dividendo foi de $4,80. Em vista da forte posição financeira da empresa e de seu conseqüente baixo risco, sua taxa de retorno requerida é de somente 15%. Se os dividendos têm expectativa de crescer no futuro a uma taxa constante g e se é esperado que Ks permaneça em 15%, qual será o preço da ação da empresa daqui a 10 anos?

Resolução:

Preço atual da ação = P0 = $72
D0 = $4,80
Ks = 15%
g = constante = ?
P10 = ?

Primeiro passo - Encontrar a taxa de crescimento g:
P0 = D1 / (Ks - g)
D1 = D0 (1+g)

Logo:
P0 = D0 (1+g) / (Ks - g)

Isolando o g:
(Ks - g) . P0 = D0 (1+g)


Logo:
(Ks - g) . P0 = D0 + D0 . g
(Ks . P0) - (g . P0) = D0 + (D0 . g)
(Ks . P0) - D0 = (D0 . g) + (g . P0)
(Ks . P0) - D0 =  g (D0 + P0)
{(Ks . P0) - D0} / (D0 + P0) =  g

Calculando g:
g = {(Ks . P0) - D0} / (D0 + P0)
g = {(0,15 . 72) - 4,80} / (4,80 + 72)
g = 0,078125 ≈ 7,81%

Segundo passo - Calcular o preço da ação daqui a 10 anos (P10):
Como:
D1 = D0 (1 + g)
D2 = D1 (1 + g) = D0 (1 + g) . (1 + g) = D0 (1 + g)²
D3 = D2 (1 + g) = D0 (1 + g) . (1 + g) . (1 +g) = D0 (1 + g)³
.
.
.
Então:
D11 = D0 (1 + g)¹¹

O valor de D₁₁ é necessário para o cálculo do preço da ação no tempo dez, já que o preço da ação é baseado no fluxo futuro de dividendos.
P₁₀ = D₁₁ / (Ks - g)
Logo:
P₁₀ = D₀ (1 + g)¹¹ / (Ks - g)

Calculando:
P₁₀ = 4,80 . (1 + 0,078125)¹¹ / (0,15 - 0,078125) = 152,7649295 ≈ 152,76


Questão 3
A função lucro da Usiminas é dada por:

Lucro = (preço . quantidade) – custo fixo – custo variável

Onde o custo variável é (c . quantidade).

O preço da tonelada do aço hoje está em R$ 1500, e a quantidade vendida por mês é de 270.000 toneladas. O custo fixo da empresa é de 100 milhões e o custo variável (c) é de R$750. Faça uma análise de sensibilidade e mostre qual variável apresenta maior risco.

Resolução:
A análise de sensibilidade pode ser feita variando-se uma das variáveis componentes do lucro, deixando todas as demais fixas (ceteris paribus). Assim, as oscilações no lucro indicarão qual das variáveis causa mais impacto, ou seja, apresenta maior risco.

O lucro é a medida de sensibilidade. Então o usamos como parâmetro de avaliação.
O custo fixo é fixo. Portanto não se pode variá-lo.
Restam então o preço, a quantidade e o custo variável para a análise de sensibilidade. Para facilitar os cálculos, com uma variação de 10% para mais e para menos em cada uma das variáveis, uma de cada vez (ceteris paribus), faz-se a análise de sensibilidade.


Análise de sensibilidade:

Lucro = (preço . quantidade) – custo fixo – custo variável

Onde o custo variável é (c . quantidade).
c = R$ 750

Custo fixo = 100mi

Logo:

Lucro = (1500 . 270000) - 100mi - (750 . 270000) = 102,5mi

Variando o Preço:

• + 10%
• Lucro = (1,1 . 1500 . 270000) - 100mi - (750 . 270000) = 143mi
• - 10%
• Lucro = (0,9 . 1500 . 270000) - 100mi - (750 . 270000) = 62mi
• Variação = |143mi - 62mi| = 81mi

Variando a Quantidade Vendida:

• + 10%
• Lucro = (1500 . 1,1 . 270000) - 100mi - (750 . 1,1 . 270000) = 122,75mi
• - 10%
• Lucro = (1500 . 0,9 . 270000) - 100mi - (750 . 0,9 . 270000) = 82,25mi
• Variação = |122,75mi - 82,25mi| = 40,5mi

Variando o Custo Variável:

• + 10%
• Lucro = (1500 . 270000) - 100mi - (1,1 . 750 . 270000) = 82,25mi
• - 10%
• Lucro = (1500 . 270000) - 100mi - (0,9 . 750 . 270000) = 122,75mi
• Variação = |82,25mi - 122,75mi| = 40,5mi

Comparando-se as variações de lucro para variações no preço, na quantidade vendida e no custo variável, observa-se que a maior variação foi obtida com a oscilação nos preços. Logo, a oscilação de preços apresenta maior sensibilidade nos lucros do que a oscilação da quantidade vendida e a oscilação do custo variável. Consequentemente, a variável preço é a que apresenta maior risco.

Questão 4
A Saturn Corporation tem hoje os seguintes indicadores:

1. LAJIR (lucro antes dos juros e do IR) = 20 milhões
2. Dívida = 10 milhões (títulos perpétuos)
3. Custo da Dívida (Kd) = 11%
4. Custo de capital (ou retorno da firma) (Ks) = 16%
5. Ações em circulação (n) = 5.000.000
6. alíquota do imposto de renda = 40%.

O mercado da empresa é estável, isto é , não se espera nenhum crescimento (g = 0)  . Todos os lucros são distribuí dos como dividendos.

(0) Qual o valor de mercado total das ações da empresa (S), seu valor total de mercado (V), e seu preço por ação (P)?

Resolução:

S = (LAJIR - D . Kd) . (1 - IR) / (Ks - g)
Onde:
LAJIR = Lucro antes dos juros e imposto de renda
D = valor total da dívida (capital de terceiros)
Kd = taxa de juros da dívida
IR = taxa do imposto de renda
Ks = taxa de retorno requerida pelo acionista
g = taxa de crescimento dos lucros e dividendos

S = (20mi - 10mi . 0,11) . (1 - 0,40) / (0,16 - 0) = 70,875mi

V = S + D
Onde:
V = Valor total da empresa
S = Valor da empresa com os stockholders/shareholders (capital próprio)
D = Capital de terceiros (dívida)

Logo:
V = 70,875mi + 10mi = 80,875mi

Preço por ação = S / n
Onde:
S = Valor da empresa com os stockholders/shareholders (capital próprio)
n = número de ações

Logo:
Preço por ação = 70,875mi / 5mi = 14,175

(1) Qual o custo médio ponderado de capital (WACC) da empresa?

Resolução:

WACC = (D/V) . Kd . (1 - IR) + (S/V) . Ks
Onde:
D = dívida da empresa
S = valor do capital próprio (capital dos stockholders/shareholders)
V = Valor total da firma
Kd = taxa de juros da dívida
IR = taxa de imposto de renda
Ks = taxa de retorno requerida pelos acionistas

Logo:
WACC = (D/V) . Kd (1 - IR) + (S/V) . Ks
WACC = (10 / 80,875) . 0,11 . (1 - 0,40) + (70,875 / 80,875) . 0,16 = 0,148377125 ≈ 14,837%


(2) Agora, você como gerente, deve decidir se muda a estrutura de capital ou não. A empresa tem a chance de aumentar em 40 milhões a sua dívida, ficando com um total de 50 milhões, usando a nova dívida para recomprar suas ações. Sua taxa de juros sobre a dívida total será de 12% (você resgatará e refinanciará a dívida antiga) e seu custo de capital aumentará de 16% para 18%. Tudo mais permanece constante. A empresa deve mudar a estrutura de capital ou deve permanecer com a antiga? Porquê ?

Resolução:
Para saber se a empresa deve mudar a estrutura de capital basta comparar o WACC (custo médio ponderado de capital) de cada possível estrutura. A estrutura de capital que apresentar o menor WACC será a que ofereça menores custos para a empresa, ou seja, maximizará o lucro.

S' = novo preço da firma na mão dos acionistas
D' = nova valor de dívida da empresa = 50mi
Kd' = nova taxa de juros da dívida
Ks' = novo custo de capital próprio
S' = (Lucro - D' . Kd') . (1 - IR) / (Ks' - g)

Logo:
S' = (20 - 50 . 0,12) . (1 - 0,40) / (0,18 - 0) = 46,66666667mi

V' = S' + D'
Onde:
V' = Novo valor total da firma
S' = Novo valor do capital próprio
D' = Novo valor da dívida da empresa

V' = S' + D' = 46,66666667mi + 50mi = 96,66666667mi

Passando para o cálculo do WACC' (novo custo médio ponderado de capital):
WACC' =  (D' / V') . Kd' . (1 - IR) + (S' / V') . Ks'

WACC = (50mi / 96,66666667mi) . 0,12 . (1 - 0,4) + (46,66666667mi / 96,66666667mi) . 0,18 = 0,124137931
WACC ≈ 12,41%

Como o valor da empresa aumenta e o custo médio ponderado de capital diminui, a nova estrutura de capital deve ser adotada pela empresa por ser mais vantajosa.

Fórmulas:

Preço da ação:
P0 = D1 / (Ks - g)
Onde:
P0 = Preço da ação no tempo 0
D1 = Valor do dividendo no tempo 1
Ks = Taxa requerida pelos acionistas
g = Taxa de crescimento da empresa

Dividendos:
D1 = D0 (1 + g)
Onde:
D1 = Dividendo no tempo 1
D0 = Dividendo no tempo 0
g = Taxa de crescimento da empresa

Valor da Empresa nas mãos dos acionistas (Capital próprio):
S = (LAJIR - D . Kd) . (1 - IR) / (Ks - g)
Onde:
S = Valor da empresa na mão dos acionistas (stockholders / shareholders)
LAJIR = Lucro antes dos juros e imposto de renda
D = Valor da dívida
Kd = Taxa de juros da dívida
IR = Alíquota de Imposto de Renda
Ks = Taxa de retorno do acionista
g = Taxa de crescimento da empresa

Valor Total da Empresa:
V = S + D
Onde:
V = Valor total da firma
S = Valor da empresa na mão dos acionistas (capital próprio)
D = Valor da dívida da empresa (capital de terceiros)

WACC (Weighted Average Cost of Capital - Custo Médio Ponderado de Capital):
WACC = (D/V) . (Kd) (1 - IR) + (S/V) . (Ks)
Onde:
WACC = Custo médio do capital ponderado pela estrutura de capital da empresa (porcentagem de dívida e porcentagem de capital próprio)
D = Valor da dívida (capital de terceiros)
S = Valor do empresa na mão dos acionistas (capital próprio)
V = Valor total da empresa = S + D
Kd = Taxa de juros da dívida
IR = Alíquota de Imposto de Renda
Ks = Taxa requerida pelos acionistas

Questão 5
A empresa Saturn Corp. tem sua estrutura de capital ótima formada por: 30% dívida e 70% ações ordinárias. A alíquota do imposto da Saturn Corp. é de 40% e os investidores esperam que os lucros e os dividendos futuros cresçam a uma taxa constante e igual a 6% (g = 6%). A empresa pagou um dividendo de 10$ por ação no último ano (D₀) , e suas ações são vendidas ao preço de 100$ cada uma.

Já a dívida da empresa poderia ser emitida à uma taxa de juros de 13%.

(0) Calcule os custos de cada componente da estrutura de capital (dívida e ações ordinárias).

Resolução:
Custos dos componentes da estrutura de capital:

• Custo da dívida (Kd):
• Como não há dedução de imposto de renda (IR = 40%) no custo da dívida, ou seja, o imposto de renda não abrange os juros da dívida, o capital de terceiros não sofre o peso do imposto. Logo, tem-se:
• Custo da dívida = Kd (1 - 0,4) = 13% (0,6) = 0,078 = 7,8% 
• Custo do capital próprio (Ks):
• Para o cálculo do custo do capital próprio devemos nos basear nas informações fornecidas no problema. Através do Preço da ação (P0), do dividendo (D0) e da taxa de crescimento (g), pode-se encontrar o custo do capital próprio (Ks):
• P0 = D1 / (Ks - g)
• P0 = [D0 (1 + g)] / (Ks - g)
• Isolando Ks:
• P0 (Ks - g) = [D0 (1 + g)]
• (Ks - g) = [D0 (1 + g)] / P0
• Ks = {[D0 (1 + g)] / P0} + g
• Ks = {[10 (1 + 0,06)] / 100} + 0,06 = 0,166 = 16,6%

(1) Qual é o WACC (custo ponderado médio de capital) da firma?

Resolução:
É importante ressaltar que o WACC é o custo médio de capital da empresa ponderado pela sua estrutura de capital. Assim, o capital de terceiros e o capital próprio contribuem para a geração de todo o lucro. O capital de terceiros é remunerado conforme Kd. O capital próprio é remunerado conforme Ks. Porém, no fim das contas, quem realmente arca com o pagamento do imposto de renda sobre o lucro é o capital próprio: os acionistas têm seus ganhos reduzidos com o pagamento do imposto de renda, enquanto os financiadores da empresas continuam recebendo seus juros conforme Kd. O valor do capital próprio já é calculado com o desconto do valor do imposto de renda. Na fórmula do WACC o imposto de renda já é descontado dos lucros logo na formação do capital próprio. Por esse motivo, o custo de capital de terceiros para a empresa é ponderado de forma a não contabilizar o imposto de renda, que já foi pago pelo capital próprio. Por isso existe o benefício para a empresa da redução nos custos com a captação de capital de terceiros (o que pode ser otimizado através de simulações de variações na estrutura de capital, considerando que o aumento das dívidas aumenta o risco da empresa e elevam a taxa de retorno Ks requerida pelos acionistas).

WACC = (D/V) . Kd . (1 - IR) + (S/V) . Ks

Conforme dados do problema e com o valor de Ks calculado anteriormente:
(D/V) = 30%
(S/V) = 70%
Ks = 16,6%
Logo:
WACC = 0,30 . 0,13 . (1 - 0,40) + 0,7 . 0,166 = 0,1396 = 13,96%

Trabalho de Finanças Corporativas - Simulação de Monte Carlo

FUCAPE - Trabalho de Finanças Corporativas

Professor: Dr. Bruno Funchal

Aluno: Lucas Tiago Rodrigues De Freitas

Questão 1

Suponha que você é gerente de uma firma que atua no segmento de alta tecnologia. O lucro de sua empresa é muito sensível a alguns fatores que estão sujeitos a flutuação do mercado.

Apesar da demanda variar muito com o aquecimento da economia, o preço de seu produto é bem estável e igual à R$ 5000,00. Você fez um gasto inicial de R$ 32.000.000,00 para começar seu negócio.

Porém com a volatilidade do mercado, seus custos variáveis e sua demanda podem variar de acordo com os possíveis cenários da economia. Você conhece bem o comportamento da demanda e sabe que ela se comporta igual à distribuição normal, a média de vendas é de 50.000 unidades por ano, e o desvio padrão é de 6.000 unidades. Além disso, o custo também tem distribuição normal com média R$ 4.200,00 e desvio padrão de R$ 480,00.

Fazendo 2000 experimentos você gostaria de estimar a probabilidade de lucro menor do que zero e de lucro acima de 50% do capital investido, o lucro médio e o risco (desvio padrão) do projeto. Faça o histograma do lucro.

Resposta:

Para responder à questão é necessário realizar a simulação dos dados de “vendas” e de “custo”, dado que o investimento inicial e o preço de venda são tidos como fixos. Assim, através da função “Geração de número aleatório”, disponível no menu “Dados – Análise de dados” do software MS Excel, insere-se o valor da média e do desvio padrão para a variável vendas (E_(vendas) = 50.000, DP_(vendas) = 6.000) e para a variável custo (E_(custo) = R$4.200,00, DP_(custo) = R$480,00), escolhendo a opção de distribuição normal, conforme enunciado. O número de números aleatórios deve ser igual a 2000. A semente aleatória utilizada foi igual a 2. Com base nos dados obtidos para vendas e custo, calcula-se o valor do lucro para cada conjunto estimado de quantidade vendida e custo: Lucro = Receita Total - Custo Total, onde a receita total é dada pelo produto entre Preço (R$5.000,00) e quantidade (valor aleatório estimado anteriormente) e o custo total é dado pela soma entre o custo fixo (R$32.000.000,00) e o produto do custo variável pela quantidade (ambos estimados pelo Excel). Assim obtém-se 2000 valores de lucros possíveis para a firma, a partir dos quais pode-se solicitar através do próprio MS Excel os valores de lucro médio, desvio padrão e coeficiente de variação do lucro (indicadores de risco do projeto).

E_(Lucro) = R$5.575.763,87

Desvio Padrão_(Lucro) = R$ 19.123.943,88

Coeficiente de Variação_(Lucro) = 3,429833887 ≈ 3,43

Através da função condicional “SE” do software Excel é possível classificar cada possibilidade de lucro quanto a uma condição específica. Usando as condições “SE (valor do lucro) < 0, imprima 1” e “SE (valor do lucro) > 50% do capital investido, imprima 1”, sendo os resultados expostos em colunas diferentes, pode-se saber o número de ocorrências de valores de lucro inferiores a 0 e de valores de lucro superiores a R$16.000.000,00 (50% de R$32.000.000,00), através do somatório de todos os números 1 surgidos nas colunas. O total de ocorrência de possíveis lucros inferiores a 0 foi de 677, representando 34% dos 2000 possíveis lucros. O número de lucros estimados acima de R$16.000.000,00 foi de 666, representando 33% dos 2000 possíveis lucros.

O histograma do lucro pode ser visto abaixo:

Clique na imagem para ampliar

  

Questão 2

Utilizando a mesma metodologia, descreva um exemplo prático próximo ao seu dia a dia, e proponha um estudo de viabilidade de um projeto.

Exemplo prático:

Sua rede de farmácias ALFA pretende instalar uma nova filial em uma cidade da região metropolitana da Grande Vitória. O gasto inicial é de R$ 250.000,00 para montar a loja (estoque, prateleiras, computadores, softwares e impressora fiscal), para regularizar a documentação e para fazer a propaganda na fachada. A demanda pelos produtos em seu segmento pode ser descrita por uma distribuição normal, sendo a sua média de vendas prevista em R$750.000,00 para o próximo ano, com um desvio padrão de R$150.000,00. Seus custos fixos incluem pagamento de 4 funcionários, contas de água, telefone e energia elétrica, totalizando R$125.000,00, previstos para o próximo ano. Os custos de aquisição de produtos são variáveis e têm comportamento previsto como o de uma distribuição normal, com valor médio de R$350.000,00 e desvio padrão de R$100.000,00 para o próximo ano. Através de uma Simulação de Monte Carlo, com 2500 experimentos, estime a probabilidade do seu lucro ser inferior a 0 e de ser superior a 30% do valor investido no próximo ano (considerando o investimento inicial como custo também).

Passos para solução do problema:

1º Passo: Geração de 2500 números aleatórios para os valores de vendas (média de R$750.000,00 e desvio padrão de R$150.000,00) e custos variáveis (média de R$350.000,00 e desvio padrão de R$100.000,00), ambos advindos de distribuições normais.

2º Passo: Cálculo de 2500 estimativas de lucro conforme os dados aleatórios obtidos anteriormente: Lucro = Receita Total – Custo Total. Assim obtém-se:

E_(Lucro) = R$ 23.995,92

Desvio Padrão_(Lucro) = R$ 49.036,49

Coeficiente de Variação_(Lucro) = 2,04

3º Passo: Classificando os 2500 possíveis lucros através das funções condicionais “SE lucro < 0, imprima 1” e “SE lucro > 30% de R$ 250.000,00, imprima 1”, em colunas separadas, obtém-se pelo somatório de cada coluna o número de lucros estimados menores que 0 (781 ocorrências) e maiores que R$75.000,00 (393 ocorrências):

Probabilidade de Lucro < 0: 31%

Probabilidade de Lucro > 30% do Capital Investido: 16%

4º Passo: Com base nas 2500 estimativas de lucro calculadas é possível fazer um histograma dos dados para visualizar melhor as probabilidades de lucro do projeto.

Clique na imagem para ampliar

Finanças Corporativas - Lista de Exercícios 1 - Prof. B. Funchal

Finanças Corporativas - Lista de Exercícios 1 - Prof. B. Funchal

Questão 0)
Resolva os seguintes exercícios do livro Administração Financeira de Brigham et al.:
Capítulo 7 - Exercícios AT2, AT3, 7.2, 7.5.

• AT2
• Valor do dinheiro no tempo
• Suponha que hoje fosse 1º de Janeiro de 1999, e que você precisará ter $1.000 em 1º de Janeiro de 2003. Seu banco capitaliza juros a uma taxa anual de 8%.
• a. Quanto você deve depositar em 1º de Janeiro de 2000, para ter um saldo de $1.000 em 1º de Janeiro de 2003?
• b. Se você quiser fazer pagamentos iguais a cada 1º de Janeiro de 2000 até 2003 para acumular $1.000, de quanto deve ser cada um dos quatro pagamentos?
• c. Se seu pai lhe oferecesse fazer os pagamentos calculados na letra b ($221,92) ou lhe dar uma soma total de $750 em 1º de Janeiro de 2000, qual você escolheria?
• d. Se você tivesse somente $750 em 1º de Janeiro de 2000, que taxa de juros capitalizada anualmente você teria de ganhar para ter os necessários $1.000 em 1º de Janeiro de 2003?
• e. Suponha que você possa depositar somente $186,29 a cada 1º de Janeiro de 2000 até 2003, mas você ainda precisa de $1.000 em 1º de Janeiro de 2003. Que taxa de juros com capitalização anual você deve buscar de forma a alcançar seu objetivo?
• f. Para ajudá-lo a alcançar o objetivo de $1.000, seu pai lhe dá $400 em 1º de Janeiro de 2000. Você arrumará um emprego de meio período, fará seis pagamentos adicionais de quantias iguais a cada seis meses dali em diante. Caso todo esse dinheiro seja depositado em um banco que paga 8% capitalizados semestralmente, de quanto deve ser cada um desses pagamentos?
• g. Qual a taxa anual efetiva sendo paga pelo banco na letra f?
• h. O risco da taxa de reinvestimento foi definido no Capítulo 4 como sendo o risco que os títulos que vencem (e os pagamentos de cupons sobre os títulos de dívida de longo prazo) terão se forem reinvestidos a uma taxa mais baixa do que a taxa de juros que eles ganhavam previamente. Há um risco de taxa de reinvestimento envolvida na análise anterior? Se houver, como esse risco pode ser eliminado?

Resolução:

a)
Valor do depósito em 1º de Janeiro de 2000 para saldo de $1000 em 1º de Janeiro de 2003:
Fluxo de caixa:

• 01 Janeiro 2000 => depósito no valor X
• 01 Janeiro 2001 => dinheiro rende
• 01 Janeiro 2002 => dinheiro rende
• 01 Janeiro 2003 => Capital acumulado = $1000

Cálculo do valor X do depósito na calculadora financeira HP:

• 1000 CHS FV
• 3 n
• 8 i
• PV
• Depósito X = $793,832

b)
Realizando pagamentos iguais de Janeiro de 2000 até 2003 para acumular $1000:
1 de Janeiro de 2000 => Pagamento de X
1 de Janeiro de 2001 => Pagamento de X
1 de Janeiro de 2002 => Pagamento de X
1 de Janeiro de 2003 => Pagamento de X

Cálculo do valor X do pagamento na calculadora financeira HP:

• 1000 CHS FV
• 0 PV
• 4 n
• 8 i
• PMT
• Pagamento X = $221,921

c)
As parcelas de $221,92 totalizam os $1000. Já uma soma de $750 em Janeiro de 2000 totalizaria até Janeiro de 2003 um valor de:

• Cálculo do valor futuro de $750 na calculadora financeira HP:
• 750 CHS PV
• 8 i
• 3 n
• FV
• Valor futuro = $944,784

Logo, considerando-se que a taxa de remuneração de capital pelo banco permaneça em 8%a.a., é preferível receber as 4 parcelas de $221,92 a receber a quantia de $750 de uma só vez.

d)
Caso só houvesse a quantia de $750 em 1 de Janeiro de 2000, a taxa que daria $1000 em 1 de Janeiro de 2003 pode ser calculada da seguinte forma:

• Cálculo da taxa na calculadora financeira HP:
• 750 CHS PV
• 1000 FV
• 3 n
• i
• Taxa para obter $1000 em 1 de Janeiro de 2003 = 10,064%

e)
Caso os depósitos só pudessem ser realizados no valor de $186,29 a cada dia 1 de Janeiro de 2000 a 2003, para se obter $1000 em 1 de Janeiro de 2003 a taxa de capitalização deve ser de:

• Cálculo da taxa de capitalização através da calculadora HP:
• 1000 FV
• 186,29 CHS PMT
• 4 n
• i
• Taxa para obter $1000 com 4 pagamentos de $186,29 = 20,0% 

f)
Fluxos de caixa:
1 de Janeiro de 2000 => $400
07/2000 => Pagamento X1
01/2001 => Pagamento X2
07/2001 => Pagamento X3
01/2002 => Pagamento X4
07/2002 => Pagamento X5
01/2003 => Pagamento X6

Sendo:
Pagamento X1 = Pagamento X2 = Pagamento X3 = Pagamento X4 = Pagamento X5 = Pagamento X6

E o valor futuro que se espera desse fluxo de caixa é de $1.000. A taxa que o banco remunera o dinheiro é de 8%a.a., que, para efeito de cálculos, considera-se 4% ao semestre.

Calculando na calculadora financeira HP:
$400 CHS PV
$1000 FV
8 / 2 = 4 i
6 n
PMT

Logo, o valor de cada pagamento será de $74,457

g)
A taxa efetiva paga pelo banco pode ser obtida da seguinte forma:
Taxa efetiva = (1 + 0,08 ao ano /2 semestres por ano)² - 1 = 0,0816 = 8,16%

h)
Como os valores são pagos a cada semestre, existe o risco de que a taxa de remuneração oferecida pelo banco mude (ela pode aumentar ou diminuir com o passar do tempo). O jeito de evitar esse risco seria fazer  todos os pagamentos logo com a taxa de hoje, mas para isso seria necessário ter o dinheiro de imediato. Outra forma seria fazer um contrato futuro garantindo as taxas para os próximos pagamentos.

• AT3
• Taxa anual efetiva
• O Banco A paga juros de 8% capitalizados trimestralmente, na sua conta de aplicação financeira. Os gestores do Banco B querem que sua conta de aplicação financeira seja igual à taxa anual efetiva do Banco A, mas os juros serão capitalizados numa base mensal. Que taxa nominal ou quotada o Banco B deve estabelecer?

Resolução:

Taxa efetiva do Banco A:

Taxa Efetiva A = (1 + 0,08/4)⁴ - 1 = 0,08243216

Taxa nominal do Banco B (T_B):

• Taxa efetiva B = Taxa Efetiva A
• (1 + T_B / 12)¹² - 1 = Taxa Efetiva A
• (1 + T_B / 12)¹² - 1 = 0,08243216
• (1 + T_B / 12)¹² = 0,08243216 + 1
• [(1 + T_B / 12)¹²]^1/12 = (1,08243216)^1/12
• 1 + T_B / 12 = 1,00662271
• T_B = 0,07947252
• T_B = 7,95%

• 7.2
• Valores presente e futuro para diferentes taxas de juros
• a. Uma quantia inicial de $500 capitalizada por 10 anos a 6%.
• b. Uma quantia inicial de $500 capitalizados por 10 anos a 12%.
• c. O valor presente de $500 devidos em 10 anos a uma taxa de 6% de desconto
• d. O valor presente de $1.552,90 devidos em 10 anos a  uma taxa de 12% de desconto e a uma taxa de 6%. Dê uma definição verbal para o termo valor presente e ilustre-o, utilizando uma linha de tempo com dados desse problema. Como parte de sua resposta, explique por que os valores presentes são dependentes das taxas de juros.

Resolução:

a)
Valor presente = $500
Valor Futuro através da calculadora financeira HP:

• 500 CHS PV
• 10 n
• 6 i
• FV
• Valor Futuro = $895,424

b)
Valor Presente = $500
Valor Futuro através da calculadora financeira HP:

• 500 CHS PV
• 10 n
• 12 i
• FV
• Valor Futuro = $1.522,924

c)
Valor Futuro da dívida = $500
Valor Presente através da calculadora financeira HP:

• 500 CHS FV
• 10 n
• 6 i
• PV
• Valor Presente = $279,197 

d)
Valor Futuro da dívida = $1.552,90
Valor Presente da dívida a 12% de taxa de desconto (através da calculadora financeira HP):

• $1.552,90 CHS FV
• 10 n
• 12 i
• PV
• Valor Presente = $499,992 

Valor Presente da dívida a 6% de taxa de desconto (através da calculadora financeira HP):

• $1.552,90 CHS FV
• 10 n
• 6 i
• PV
• Valor Presente = $867,131 

• 7.5
• Valor presente de uma anuidade
• Encontre o valor presente das seguintes anuidades ordinárias:
• a. $400 por ano por 10 anos a 10%.
• b. $200 por ano por cinco anos a 5%.
• c. $400 por ano por cinco anos a 0%.
• d. Agora retrabalhe as letras a, b e c, pressupondo que os pagamentos são feitos no início de cada ano; isto é, eles são anuidades devidas.

Resolução:
a)
Anuidade ordinária de $400 por ano por 10 anos a 10%.

• Valor presente (através da calculadora financeira HP):
• 400 CHS PMT
• 10 n
• 10 i
• PV
• Valor presente = $2.457,827

b)
Anuidade ordinária de $200 por ano por 5 anos a 5%.

• Valor presente (através da calculadora financeira HP):
• 200 CHS PMT
• 5 n
• 5 i
• PV
• Valor presente = $865,90

c)
Anuidade ordinária de $400 por ano por 5 anos a 0%.

• Valor presente (através da calculadora financeira HP):
• 400 CHS PMT
• 5 n
• 0 i
• PV
• Valor presente = $2000

d)
As anuidades devidas podem ter seus valores presentes calculados na calculadora financeira HP ativando-se a função "BEGIN" (clicando em "g" e em "BEG"). A função "BEGIN" faz com que os pagamentos sejam registrados no início de cada período, sendo assim, os valores são "devidos" logo no começo de cada período. Os cálculos das anuidades devidas abaixo utilizam a função "BEGIN" da calculadora financeira.

• Anuidade devida de $400 por ano por 10 anos a 10%:
• Valor Presente:
• 400 CHS PMT
• 10 n
• 10 i
• PV
• Valor presente = $2.703,610


• Anuidade devida de $200 por ano por cinco anos a 5%:
• Valor Presente:
• 200 CHS PMT
• 5 n
• 5 i
• PV
• Valor presente = $909,190
• Anuidade devida de $400 por ano por cinco anos a 0%:
• Valor Presente:
• 400 CHS PMT
• 5 n
• 0 i
• PV
• Valor presente = $2.000

Questão 1
Defina e descreva:

• CAPM
• APT
• Cupom de um título
• Valor de face de um título
• Taxa de dividendo
• Ganho de Capital

Resolução:

• CAPM (Capital Asset Pricing Model)
• Modelo de Precificação de Ativos
• É utilizado para calcular a taxa de retorno que os acionistas devem receber ao incorrer no risco de investir no ativo, em relação às variações do preço do ativo, das oscilações do mercado em geral e da taxa do investimento "livre de risco" disponível no mercado. A taxa de retorno calculada pode ser utilizada para precificar o ativo.
• Ks = Kf + β (Km-Kf), onde:
• Ks = Taxa de retorno requerida pelos acionistas (stockholders/shareholders)
• Kf = Taxa do investimento "livre de risco" disponível no mercado
• Km = Taxa média de retorno do mercado
• β = Coeficiente que mede o nível de risco da firma em relação ao mercado, calculado da seguinte forma:
• β = COV (ativo, mercado) / VAR (mercado)
• APT (Arbitrage Pricing Theory)
• É um modelo de precificação de ativos que baseia a taxa de retorno do acionista em função de fatores como inflação, PIB e taxa de juros, sendo que cada fator pode apresentar um nível de impacto diferente (β) sobre a taxa de remuneração dos acionistas (Ks). Ou seja, trata-se de um modelo fatorial (por usar fatores) para a precificação dos ativos, sendo que a cada fator corresponde um coeficiente β específico (βinflação, βjuros, βPIB etc.).
• Valor de face de um título
• Valor a ser recebido na data de vencimento do título.
• Taxa de dividendo
• A taxa de dividendo corresponde à relação entre o valor do dividendo recebido e o valor pago pelo ativo:
• Taxa de dividendo = D₁ / P₀
• Ganho de Capital
• Ganho de capital é o valor que o seu ativo valorizou (ou desvalorizou, no caso de "perda" de capital). É calculado da seguinte forma:
• Ganho de Capital = (P - P₀) / P₀, onde:
• P = Preço final do ativo
• P₀ = Preço inicial do ativo (preço pago pela aquisição do ativo)
• Detalhe interessante:
• A taxa de retorno do capital próprio (Ks dos acionistas) é igual à soma da taxa de dividendos com o ganho de capital:
• Ks = Taxa de dividendos + Ganho de capital

Questão 2
A Companhia Vale do Rio Doce está passando por um período de recessão. É esperada uma taxa de crescimento nos lucros e nos dividendos de -5% durante os próximos 2 anos, porém, daí em diante uma taxa de crescimento estabilizando em 7%. Seu último dividendo foi de $2,10 e a taxa de retorno requerida sobre a ação é de 11%.

a) Calcule o valor da ação hoje.

b) Calcule P₁.

Resolução a):
Para calcular o preço da ação hoje é importante ressaltar que os dividendos futuros da Companhia Vale do Rio Doce estão submetidos a duas diferentes taxas de crescimento, g₁ = -5% e g₂ = 7%, sendo g₁ válida apenas para os dois próximos anos.

Fluxo de dividendos da Companhia Vale do Rio Doce:

• Ano 0:
• D₀ = $2,10
• Ano 1:
• D₁ = D₀ (1 + g₁) = $2,10 . [1 + (-5%)] = $1,995
• Ano 2:
• D₂ = D₁ (1 + g₁) = D₀ (1 + g₁)² = $2,10 [1 + (-5%)]² = $1,89525
• Ano 3:
• D₃ = D₂ (1 + g₂) = $1,89525 . (1 + 7%) = $2,0279175
• Ano 4:
• D₄ = D₃ (1 + g₂) = D₂ (1 + g₂)² = $1,89525 . [1 + (7%)]² = $2,169871725
• Ano 5 em diante...

Nos dois primeiros anos, vale a taxa de crescimento g₁, e daí em diante vale a taxa de crescimento g₂. Com base nessas características do fluxo de dividendos da Companhia Vale do Rio doce a precificação da ação hoje deve incluir o valor presente dos dividendos do ano 1 e do ano 2 mais o valor presente do preço da ação no ano 2 (que é calculado com base em todo o fluxo futuro de dividendos do ano 3 em diante, com a taxa constante de crescimento g₂ = 7%). É importante ressaltar que o dividendo do ano 0 (D₀) já foi pago e não entra no cálculo do preço da ação, que é baseado no fluxo futuro de dividendos, ou seja, nos dividendos que serão recebidos.

Valor presente do dividendo do ano 1 (D₁ = $1,995) no tempo 0:

• Calculando através da calculadora financeira HP:
• $1,995 CHS FV
• 11 i
• 1 n
• PV
• Valor presente de D₁ no tempo 0 = $1,797

Valor presente do dividendo do ano 2 (D₂ = $1,89525) no tempo 0:

• Calculando através da calculadora financeira HP:
• $1,89525 CHS FV
• 11 i
• 2 n
• PV
• Valor presente de D₂ no tempo 0 = $1,538

Valor presente do preço da ação do ano 2 (P₂) no tempo 0:

• Calculando o preço da ação no ano 2:
• P₂ = D₃ / (Ks - g₂),
• onde:
• P₂ = Preço da ação no ano 2
• D₃ = Dividendo entregue por ação no ano 3
• Ks = taxa de retorno requerida sobre a ação
• g₂ = taxa de crescimento dos dividendos após os dois primeiros anos
• P₂ = D₃ / (Ks - g₂) = $2,0279175 / (11% - 7%) = $50,6979375
• Calculando o valor presente através da calculadora financeira HP:
• $50,6979375 CHS FV
• 11 i
• 2 n
• PV
• Valor presente de P₂ no tempo 0 = $41,148

Agora é possível determinar o preço da ação da Companhia Vale do Rio Doce no tempo 0:

• P₀ = Valor presente de no D₁ tempo 0 ($1,797) + Valor presente de no D₂ tempo 0 ($1,538) + Valor presente de no P₂ tempo 0 ($41,148) = $44,483

Resolução b):
O cálculo de P₁ está baseado no fluxo de dividendos a serem recebidos a partir do ano 1, ou seja, em D₂, D₃, D₄, D₅, D₆ e assim por diante. Os valores devem ser trazidos ao valor presente em relação ao ano 1.

Valor presente do dividendo do ano 2 (D₂ = $1,89525) no tempo 1:

• Calculando através da calculadora financeira HP:
• $1,89525 CHS FV
• 11 i
• 1 n
• PV
• Valor presente de D₂ no tempo 1 = $1,707

Valor presente do preço da ação do ano 2 (P₂ = $50,6979375) no tempo 1:

• Calculando o valor presente através da calculadora financeira HP:
• $50,6979375 CHS FV
• 11 i
• 1 n
• PV
• Valor presente de P₂ no tempo 1 = $45,674

Determinando o preço da ação da Companhia Vale do Rio Doce no tempo 1:

• P₁ = Valor presente de no D₂ tempo 1 ($1,707) + Valor presente de no P₂ tempo 0 ($45,674) = $47,381

Questão 3
O preço corrente da ação da empresa A é de $72 e seu último dividendo foi de $4,80. Em vista da forte posição financeira da empresa e de seu consequente baixo risco, sua taxa de retorno requerida é de somente 15%. Se os dividendos têm expectativa de crescer no futuro a uma taxa constante g e se é esperado que ks permaneça em 15%, qual será o preço da ação da empresa daqui a 10 anos?

Resolução:
Sabendo-se que há apenas uma taxa de crescimento dos dividendos (g) e que ela é constante, o valor dela deve ser encontrado para que se possa estimar os próximos fluxos de caixa da empresa, nos quais estará baseado o preço da ação.

Encontrando a taxa de crescimento dos dividendos (g):

• 1º passo - Organizar as informações:
• P₀ = $72
• D₀ = $4,80
• Ks = 15%
• g = constante
• 2º passo - Como calcular o preço atual e os dividendos futuros:
• Cálculo do preço atual da ação da empresa A:
• P₀ = D₁ /(Ks - g)
• Cálculo de dividendos futuros:
• D₁ = D₀ (1 + g)
• 3º passo - encontrando g:
• Como "P₀ = D₁ /(Ks - g)" e "D₁ = D₀ (1 + g)", logo:
• P₀ = D₀ (1 + g) /(Ks - g)
• Isolando-se a taxa de crescimento dos dividendos (g), tem-se:
• P₀ . (Ks - g) = D₀ (1 + g)
• (P₀ . Ks) - (P₀ . g) = (D₀ . 1) + (D₀ . g)
• (P₀ . Ks) - (D₀ . 1) = (P₀ . g) + (D₀ . g)
• (P₀ . Ks) - (D₀ . 1) = (P₀ + D₀) . (g)
• (P₀ . Ks) - (D₀ . 1) = (P₀ + D₀) . (g)
• Logo:
• g = [(P₀ . Ks) - (D₀ . 1)] / (P₀ + D₀)
• Substituindo os valores das variáveis:
• g = [(72 . 15%) - (4,80 . 1)] / (72 + 4,80) = 0,078125 = 7,8125%

Encontrando o preço da ação daqui a 10 anos (P₁₀):

• O preço da ação daqui a 10 anos é calculado com base nos dividendos futuros que se espera receber, ou seja, nos dividendos D₁₁, D₁₂, D₁₃, D₁₄ e D₁₅ em diante. Como só há uma taxa de crescimento (g, que é constante) e o retorno requerido sobre a ação (Ks) permanece constante, o preço da ação no ano 10 poderá ser calculado da seguinte forma:
• P₁₀ = D₁₁ /(Ks - g)
• Como o valor de D₁₁ não foi informado, é necessário calculá-lo.
• Obtendo o valor de D₁₁:
• D₀ = D₀
• D₁ = D₀ . (1 + g)
• D₂ = D₁ . (1 + g) = D₀ . (1 + g) . (1 + g) = D₀ . (1 + g)²
• D₃ = D₂ . (1 + g) = D₀ . (1 + g) . (1 + g) . (1 + g) = D₀ . (1 + g)³
• D₄ = D₃ . (1 + g) = D₀ . (1 + g) . (1 + g) . (1 + g) . (1 + g) = D₀ . (1 + g)⁴
• ^...
• D₁₁ = D₀ . (1 + g)¹¹
• Logo:
• D₁₁ = D₀ . (1 + g)¹¹ = 4,80 . (1 + 7,8125%)¹¹ = $10,97997931
• Agora o preço da ação no ano 10 pode ser calculado:
• P₁₀ = D₁₁ /(Ks - g)
• P₁₀ = $10,97997931 / (15% - 7,8125%) = $152,7649295

Questão 4
A Positivo Computadores está experimentando um período de crescimento rápido. É esperada uma taxa de crescimento nos lucros e nos dividendos de 40% durante os próximos 2 anos e daí em diante uma taxa constante de 5%. Seu último dividendo foi de $0,85 e a taxa de retorno requerida sobre a ação é de 14%.

a) Calcule o valor da ação hoje.

b) Calcule P₁

c) Calcule o rendimento de dividendos e o rendimento de ganhos de capital para os anos 1, 2 e 3.

Resolução a):
Deve-se tomar cuidado ao calcular o preço da ação hoje, pois há duas taxas de crescimento nos lucros e dividendos, uma para os primeiros dois anos (g₁ = 40%) e outra para o período após os dois primeiros anos (g₂ = 5%).

Para calcular o preço da ação hoje é preciso conhecer o fluxo de dividendos da empresa:

• D₀ = D₀
• D₁ = D₀ . (1 + g₁)
• D₂ = D₁ . (1 + g₁) = D₀ . (1 + g₁)²
• D₃ = D₂ . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂)
• D₄ = D₃ . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂) . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂)²
• D₅ = D₄ . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂) . (1 + g₂) . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂)³
• ...

O valor da ação hoje será dado pelo valor presente dos dois primeiros dividendos (D₁ e D₂) que estão relacionados à taxa de crescimento dos lucros e dividendos nos dois primeiros anos (g₁ = 40%) e pelo valor presente do preço dos demais fluxos de dividendos relacionados à taxa de crescimento após os dois primeiros anos (g₂ = 5%):

• valor presente dos dois primeiros dividendos (D₁ e D₂) no tempo 0:
• calculando D₁:
• D₁ = D₀ . (1 + g₁)
• D₁ = 0,85 . (1 + 40%) = $1,19
• valor presente de D₁ no tempo 0 (pela calculadora financeira HP):
• 1,19 CHS FV
• 14 i
• 1 n
• PV
• valor presente de D₁ no tempo 0 = $1,044
• calculando :
• D₂ = D₁ . (1 + g₁) = D₀ . (1 + g₁)²
• D₂ = 0,85 . (1 + 40%)² = $1,666
• valor presente de D₂ no tempo 0 (pela calculadora financeira HP):
• 1,666 CHS FV
• 14 i
• 2 n
• PV
• valor presente de D₂ no tempo 0 = $1,282
• valor presente do preço dos demais fluxos de dividendos no tempo 0:
• Como os fluxos após os dois primeiros anos (D₃, D₄, D₅, etc.) apresentam uma taxa de crescimento constante (g₂), eles podem ser precificados da seguinte forma:
• P₂ = D₃ / (Ks - g₂)
• Calculando D₃, tem-se:
• D₃ = D₂ . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂)
• D₃ = 0,85 . (1 + 40%)² . (1 + 5%) = $1,7493
• Calculando P₂, tem-se:
• P₂ = D₃ / (Ks - g₂)
• P₂ = 1,7493 / (14% - 5%) = $19,43666667
• valor presente de P₂ no tempo 0 (pela calculadora financeira HP):
• 19,43666667 CHS FV
• 14 i
• 2 n
• PV
• valor presente de P₂ no tempo 0 = $14,956
• Precificando a ação hoje:
• P₀ = valor presente de D₁ no tempo 0 ($1,044) + valor presente de D₂ no tempo 0 ($1,282) + valor presente de P₂ no tempo 0 ($14,956) = $17,282

Resolução b):
Cálculo do preço da ação no tempo 1 (P₁):

• Para calcular P₁ é necessário conhecer o fluxo de dividendos a ser recebido ao adquirir a ação no tempo 1:
• D₂ = D₁ . (1 + g₁) = D₀ . (1 + g₁)²
• D₃ = D₂ . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂)
• D₄ = D₃ . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂) . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂)²
• D₅ = D₄ . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂) . (1 + g₂) . (1 + g₂) = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂)³
• ...
• Como o fluxo de dividendos a partir do ano 1 conta com duas taxas de crescimentos (g₁ e g₂), o preço da ação no tempo 1 (P₁) pode ser calculado através da adição do valor presente no tempo 1 do dividendo a ser recebido no ano 2 (D₂) ao valor presente no tempo 1 do preço da ação no ano 2 (P₂):
• valor presente de D₂ ($1,666) no tempo 1:
• 1,666 CHS FV
• 14 i
• 1 n
• PV
• valor presente de D₂ no tempo 1 = $1,461
• valor presente de P₂ ($19,43666667) no tempo 1:
• 19,43666667 CHS FV
• 14 i
• 1 n
• PV
• valor presente de P₂ no tempo 1 = $17,050
• P₁ = valor presente de D₂ no tempo 1 ($1,461) + valor presente de P₂ no tempo 1 ($17,050) = $18,511

Resolução c):

Para se calcular a taxa de dividendos e o ganho de capital para os anos 1, 2 e 3 é necessário conhecer o fluxo de dividendos a ser recebido e o preço da ação ao longo do tempo:

• Fluxo de dividendos:
• D₀ = $0,85
• D₁ = $1,19
• D₂ = $1,666
• D₃ = $1,7493
• D₄ = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂)² = 0,85 . (1 + 40%)² . (1 + 5%)² = $1,836765
• D₅ = D₀ . (1 + g₁)² . (1 + g₂)³ = 0,85 . (1 + 40%)² . (1 + 5%)³ = $1,92860325
• ... 
• Preço da ação ao longo do tempo:
• P₀ = $17,282
• P₁ = $18,511
• P₂ = $19,43666667
• P₃ = D₄ / (Ks - g₂) = 1,836765 / (14% - 5%) = $20,4085
• P₄ = D₅ / (Ks - g₂) = 1,92860325 / (14% - 5%) = $21,428925
• P₅ = D₆ / (Ks - g₂) = D₅ (1 + g₂) / (Ks - g₂) = 1,92860325 (1 + 5%) / (14% - 5%) = $22,50037125
• ...
• Rendimento de dividendos
• O rendimento de dividendos (taxa de dividendos) pode ser calculado através da relação entre o dividendo recebido e o preço pago pela ação:
• Ano 1
• D₁ / P₀ = $1,19 / $17,282 = 0,068857771 = 6,8857771%
• Ano 2
• D₂ / P₁ = $1,666 / $18,511 = 0,09000054 = 9,000054%
• Ano 3
• D₃ / P₂ = $1,7493 / $19,43666667 = 0,089999999 = 8,9999999%
• Ganhos de Capital
• Ano 1
• (P₁ - P₀) / P₀ = ($18,511 - $17,282) / $17,282 = 0,071114454 = 7,1114454%
• Ano 2
• (P₂ - P₁) / P₁ = ($19,43666667 - $18,511) / $18,511 = 0,050006302 = 5,0006302%
• Ano 3
• (P₃ - P₂) / P₂ = ($20,4085 - $19,43666667) / $19,43666667 = 0,049999999 = 4,9999999%

O interessante é que Ks (taxa de retorno requerida sobre a ação) é obtida pela soma do ganho de capital com o rendimento de dividendos:

• Ano1
• Ks = ganho de capital no ano 1 + taxa de dividendos no ano 1
• Ks = 7,1114454% + 6,8857771%
• Ks = 13,9972225% ≈ 14%
• Ano 2
• Ks = ganho de capital no ano 2 + taxa de dividendos no ano 2
• Ks = 5,0006302% + 9,000054%
• Ks = 14,0006842% ≈ 14%
• Ano 3
• Ks = ganho de capital no ano 3 + taxa de dividendos no ano 3
• Ks = 4,9999999% + 8,9999999%
• Ks = 13,9999998% ≈ 14%