Apoio Catequético - Programa de apoio à catequese - Associação cultural Nossa Senhora das Graças

The Best of Debussy

Recado do secretário Bruno Funchal no aniversário de 35 anos do Tesouro Nacional

O Terço da Misericórdia

O Terço da Misericórdia

(Pela recitação deste Terço agrada-Me dar tudo o que Me peçam. (Diário de Santa Faustina, n° 1541)

Jesus, eu confio em Vós!

Assim falou o próprio Jesus Cristo a Santa Faustina Kowalska:

Minha filha, exorta as almas a rezarem este Terço que te dei. Pela recitação deste Terço agrada-Me das tudo o que Me peçam. Quando os pecadores empedernidos o recitarem, encherei de paz as suas almas, e a hora da morte deles será feliz.

Quando a alma vir e reconhecer a gravidade de seus pecados, quando se abrir diante dos seus olhos todo o abismo de miséria em que mergulhou, que não se desespere, mas antes se lance com confiança nos braços da minha misericórdia, como uma criança no abraço da sua querida mãe.

Essas almas têm prioridade no meu Coração compassivo, elas têm primazia à minha misericórdia. Diz que nenhuma alma que tenha invocado a minha misericórdia se decepcionou ou experimentou vexame. Tenho predileção especial pela alma que confiou na minha bondade.

Escreve que, quando recitarem esse Terço junto aos organizadores, Eu Me colocarei entre o Pai e a alma agonizante, não como juiz, mas como Salvador misericordioso (Diário de Santa Faustina, n° 1541).

As almas que rezarem este Terço serão envolvidas pela minha misericórdia durante a sua vida e, de modo particular, na hora da morte (Diário de Santa Faustina, n° 754).

É preciso divulgar a mensagem da misericórdia

Jesus pediu insistentemente uma grande divulgação da mensagem sobre a sua misericórdia: "Minha filha, não te canses de divulgar a minha misericórdia; consolarás com isso o meu Coração, que arde com a chama de compaixão para com os pecadores.

Diz aos meus sacerdotes que os pecadores empedernidos se arrependerão diante das palavras deles, quando falarem da minha insondável misericórdia, da compaixão que tenho para com eles no meu Coração" (Diário de Santa Faustina Kowalska, n° 1521).

Nosso Senhor promete estar sempre ao lado, na vida e na morte, de quem divulgar a devoção à Divina Misericórdia:

"As almas que divulgarem o culto da minha misericórdia, Eu as defendo por toda a vida como uma terna mãe defende seu filhinho e, na hora da morte, não serei Juiz para elas, mas sim o Salvador misericordioso. Nessa última hora, a alma nada em sua defesa, além da minha misericórdia. Feliz a alma que, durante a vida, mergulhou na fonte da misericórdia, porque não será atingida pela justiça" (Diário de Santa Faustina Kowalska, n° 1075).

Modo de rezar o Terço da Misericórdia

O próprio Jesus Cristo ensinou Santa Faustina a rezar o Terço da Misericórdia: "Tu recitarás por meio do Terço do Rosário" (Diário de Santa Faustina, n° 476).

Antes de começar, reza-se o Pai-nosso, a Ave-Maria e o Credo.

1- Nas contas do Pai-Nosso reza-se a seguinte oração:

Eterno Pai, eu Vos ofereço o Corpo e o Sangue, a Alma e a Divindade de vosso diletíssimo Filho, Nosso Senhor Jesus Cristo, em expiação dos nossos pecados e dos do mundo inteiro.

2 - Nas contas de Ave-Maria reza-se a seguinte oração:

Pela sua dolorosa paixão, tende misericórdia de nós e do mundo inteiro.

No fim do Terço, rezar três vezes:

Deus Santo, Deus Forte, Deus Imortal, tende piedade de nós e do mundo inteiro.

As promessas do Terço da Misericórdia

Assim falou o próprio Jesus Cristo a Santa Faustina Kowalska:

Minha filha, exorta as almas a rezarem este Terço que te dei. Pela recitação deste Terço agrada-Me dar tudo o que Me peçam. Quando os pecadores empedernidos o recitarem, encherei de paz as suas almas, e a hora da morte deles será feliz.

Quando a alma vir e reconhecer a gravidade de seus pecados, quando se abrir diante dos seus olhos todo o abismo de miséria em que mergulhou, que não se desespere, mas antes se lance com confiança nos braços da minha misericórdia, como uma criança no abraço da sua querida mãe.

Essas almas têm prioridade no meu Coração compassivo, elas têm primazia à minha misericórdia. Diz que nenhuma alma que tenha invocado a minha misericórdia se decepcionou ou experimentou vexame. Tenho predileção especial pela alma que confiou na minha bondade.

Escreve que, quando recitarem esse Terço junto aos agonizantes, Eu Me colocarei entre o Pai e a alma agonizante, não como Juiz, mas como Salvador misericordioso (Diário de Santa Faustina, n° 1541).

As almas que rezarem este Terço serão envolvidas pela minha misericórdia durante a sua vida e, de modo particular, na hora da morte (Diário de Santa Faustina, n° 754).

Santa Faustina e São João Paulo II

Maria Faustina Kowalska nasceu a 25 de agosto de 1905 no pequeno povoado de Glogowiec, no interior da Polônia. Aos vinte anos entrou para a Congregação de Nossa Senhora da Misericórdia, na cidade de Cracóvia.

Durante os anos turbulentos entre a primeira e a segunda guerra mundial, ela recebeu as revelações do próprio Nosso Senhor Jesus Cristo sobre a Divina Misericórdia.

Em 5 de outubro de 1938, aos 33 anos, Faustina Kowalska faleceu devido a uma tuberculose. Após a sua morte, a devoção à Divina Misericórdia espalhou-se pelo mundo inteiro.

São João Paulo II foi um grande devoto da Divina Misericórdia. Em 1967, quando era Arcebispo de Cracóvia, o então Cardeal Karol Wojtyla concluiu a primeira etapa do processo de beatificação de Faustina.

Posteriormente, já na condição de Papa, elevou Santa Faustina à honra dos altares: em 1993 a beatificou e em 2000 a canonizou.

"A humanidade não encontrará a paz enquanto não se voltar, com confiança, para a minha misericórdia" (300).

Fonte: Divulgação da Associação Cultural e Artística Nossa Senhora das Graças.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Como Lidar Com Pensamentos Ruins e Sentimentos Decorrentes do Medo | Mar...

Notas minhas:

• Mente subconsciente
• hábitos, crenças
• O subconsciente não sabe o que é certo ou errado
• Eu não peço, eu mando: forma imperativa de lidar com o subconsciente
• Selecionar melhor os pensamentos
• A mente funciona através de imagens
• Reverter os pensamentos negativos em pensamentos positivos
• Reprogramar o inconsciente usando a tela mental:
• gravar mensagens na tela mental três vezes por dia, por 60 dias consecutivos
• Decrete: eu sou
• Repetir, repetir, repetir
• 1: sair da dualidade
  2: reverter situações negativas em positivas
  3: decretar: eu sou
  4: fazer visualizações
• A imaginação supera o conhecimento

Serotonina Lançamento - Alfa Ondas para Serotonina E Endorfina - Binaura...

Piano & Cello - Classical Music (Chopin, Rachmaninoff, Schumann...)

Homilia Diária: “És pó e ao pó voltarás” (1712: 17 de fevereiro de 2021)

What is Hedging?

[Aula ao vivo] Day Trade na Bolsa com pouco dinheiro em 2021. É possível?

Fórmulas importantes da letra N do Kumon de Matemática

Fórmulas importantes da letra N do Kumon de Matemática

Termo Geral de uma Progressão Aritmética:

• a_n = a + (n - 1) . d

Soma de uma Progressão Aritmética:

• Sejam Sn a soma dos termos de uma progressão aritmética cujo 1° termo é a, a razão é d, o último termo é l e o número de termos é n.
  S_n = 1/2 . n . (a + l) = 1/2 . n . [2a + (n - 1) . d]

Progressões Geométricas:

• A sequência dos termos calculados por meio da multiplicação sucessiva de um número fixo r pelo 1° termo a é chamada de progressão geométrica. O número r é chamado de razão da progressão geométrica.

Termo Geral de uma Progressão Geométrica

• O termo geral de uma progressão geométrica {a_n} cujo 1° termo é a e a razão é r:
  a_{n =} a . r ^n-1

Soma de uma Progressão Geométrica

• Seja S_n a soma de uma progressão geométrica cujo 1° termo é a, a razão é r e o número de termos é n.
  Quando r ≠ 1, S_n = a . (1 - r ⁿ) / (1 - r) = a . (r ⁿ - 1) / (r - 1)
  Quando r = 1, S_n = na

Fórmula de Somatória I

• Somatória K:
  
  
• Somatória onde c é uma constante: 
  

Propriedades da Somatória

• Somatória: 
  
• Somatória onde c é uma constante: 
  
  

Fórmula de Somatória II

• Somatória k ²: 
  
  

Fórmula de Somatória III

• Somatória k ³: 
  
  

Fórmula de Somatória IV

• Somatória a . r ^k-1, com r ≠ 1: 
• onde a é o 1° termo e r é a razão de uma Progressão Geométrica a, a.r, a.r ², ..., a.r ^n-1
  
  

Progressão de Subtração e Termo Geral

• Seja {b_n} a progressão de subtração da progressão {a_n}.
  Quando n ≥ 2, a_n = a₁ +b_k

Soma de uma Progressão e Termo Geral

• Seja S_n a soma dos n primeiros termos da progressão {a_n}.
  O 1° termo a₁ é a₁ = S₁.
  Quando n ≥ 2, a_n = S_n - S_n-1

Relações de recorrência

A relação de recorrência
a_n+1 = p . a_n + q
pode ser reorganizada em:
a_n+1 - x = p . (a_n - x)
utilizando x que satisfaz
 x = px + q. Se b_n = a_n - x,
então a progressão {b_n} é uma progressão geométrica.

Portanto, o termo geral da progressão {a_n} pode ser determinado.

A relação de recorrência
a_n+2 + p . a_n+1 + q . a_n = 0
pode ser reorganizada em:
a_n+2 - α . a_n+1 = β . (a_n+1 - α . a_n)
utilizando as duas soluções α e β da equação quadrática x² + px + q = 0.

A progressão {a_n+1 - α . a_n} é uma progressão geométrica.

Portanto, o termo geral da progressão {a_n} pode ser determinado.

Indução Matemática

Para provar que a proposição P é verdadeira para todos os números naturais n por indução matemática, as seguintes afirmações devem ser provadas.

(i) P é verdadeiro quando n = 1.

(ii) Se P é verdadeiro quando n = k, então P também é verdadeiro quando n = k + 1.

Observação: uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa é chamada de proposição.

Progressões Infinitas

Uma progressão de infinitos termos a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... é chamada de progressão infinita e é expressa por {a_n}.

Dada a progressão {a_n}, se a_n se aproxima de um valor constante α conforme n se aproxima do infinito, então dizemos que {a_n} converge para α, o qual é expresso da seguinte maneira:

lim_n→∞ a_n = α 

ou

a_n → α quando n → ∞.

O valor de α é chamado de valor do limite de {a_n}. Em outras palavras, o limite de {a_n} é α. Se o valor de todos os termos da progressão é a constante c, então o valor do limite também é c e é expresso da seguinte forma:

lim_n→∞ c = c

O símbolo ∞ é lido como "infinito" e representa uma quantidade ilimitada que é maior do que qualquer número real.

--

Convergência e divergência nas progressões infinitas

Quando a progressão {a_n} não converge, dizemos que, {a_n} diverge. Quando {a_n} diverge para infinito positivo,  dizemos que o limite de {a_n} é infinito positivo e é expresso da seguinte maneira:

lim_n→∞ a_n = ∞ 

ou

a_n → ∞ quando n → ∞.

Quando {a_n} diverge para infinito negativo, dizemos que o limite de {a_n} é infinito negativo e é expresso da seguinte maneira:

lim_n→∞ a_n = -∞ 

ou

a_n → -∞ quando n → ∞.

Quando uma progressão divergente não diverge nem para infinito positivo nem para negativo, dizemos que a progressão é oscilante.

Limite de uma Progressão

• Converge
  
• lim_n→∞ a_n = α (converge para um valor constante α)
• Diverge
• lim_n→∞ a_n = ∞ (diverge para infinito positivo)
• lim_n→∞ a_n = -∞ (diverge para infinito negativo)
• Oscilante (sem limite)

Propriedades dos Limites de Progressões

Quando as progressões {a_n} e {b_n} convergem, no qual lim_n→∞ a_n = α e lim_n→∞ b_n = β,

• lim_n→∞ k.a_n = k . α, onde k é a constante
• lim_n→∞ (a_n + b_n) = α + β
• lim_n→∞ (a_n - b_n) = α - β
• lim_n→∞ (a_n . b_n) = α . β
• lim_n→∞ (a_n / b_n) = α / β

Revisão de logaritmos (propriedades)

• log_a a = 1
• log_a 1 = 0
• log_a (M / N) = log_a M - log_a N
• 
• 

Limites de progressões e suas relações

1. Para todos os valores de n, quando a_n ≤ b_n,
   se lim_n→∞ a_n = α e lim_n→∞ b_n = β, então α ≤ β
   se lim_n→∞ a_n = ∞, então lim_n→∞ b_n = ∞
2. Para todos os valores de n, quando a_n ≤ c_n ≤ b_n,
   se lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ b_n = α, então lim_n→∞ c_n = α

A afirmação 1 também é verdadeira quando a_n < b_n.
E a afirmação 2 também é verdadeira quando:
a_n ≤ c_n < b_n

a_n < c_n ≤ b_n

a_n < c_n < b_n

Sequências Infinitas

A progressão a, a.r, a.r ², ..., a.r ^n-1, ... é chamada de progressão geométrica infinita cujo 1º termo é a e a razão é r.

Limite de uma progressão geométrica infinita {r ⁿ}

Quando r > 1, lim_n→∞ r ⁿ = ∞ ... Diverge

Quando r = 1, lim_n→∞ r ⁿ = 1 ... Converge

Quando |r| < 1, lim_n→∞ r ⁿ = 0 ... Converge 

Quando r ≤ 1, Oscilante (sem limite) ... Diverge

Séries Geométricas Infinitas

Dada uma progressão infinita {a_n}, a expressão a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... ''' (1) é chamada de série infinita, na qual a₁ e a_n são chamados de 1º termo e o n-ésimo termo, respectivamente.

Além disso, dada uma progressão infinita {a_n}, considere S_n a soma dos primeiros n termos.

Quando a progressão infinita {S_n} converge, dizemos que a série infinita (1) também converge.

Quando a progressão infinita {S_n} diverge, dizemos que a série infinita (1) também diverge.

Do mesmo modo, a + a.r + a.r ² + ... + a.r ^n-1 + ... que é a série infinita derivada da progressão geométrica infinita cujo 1º termo é a e a razão é r é chamada de série geométrica infinita cujo 1º termo é a e a razão é r.

Convergência e Divergência de uma série geométrica infinita

Dada uma série geométrica infinita a + a.r + a.r ² + ... + a.r ^n-1 + ..., o seguinte é verdadeiro.

Quando a ≠ 0,

se |r| < 1, então a série converge e a soma é a / (1 - r);

se |r| ≥ 1, então a série diverge.

Quando a = 0, a série converge e a soma é 0.

Dízima periódica

Um decimal que contém um dígito ou bloco de dígitos que se repete infinitamente em sua parte decimal é chamado de dízima periódica. A dízima periódica é expressa colocando-se uma barra que vai do primeiro ao último dígito que se repete:

0,33333... = 0,3,

0,454545... = 0,45,

0,123123123... = 0,123,

Além disso, a dízima periódica pode ser expressa por uma fração utilizando um série geométrica infinita.

Teorema do ponto médio

Se M e N são os pontos médios dos lados AB e AC do ΔABC, as seguintes relações são verdadeiras:

MN e BC são paralelos

MN = 1/2 * BC

Isso é chamado de Teorema do ponto médio.

Séries Infinitas

Dada a série infinita a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... ''' (1), a soma dos primeiros n termos

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n

é chamada de soma parcial dos primeiros n termos da série infinita.

A série infinita (1) pode ser escrita como:

Somatório de n=1 até ∞ de a_n.

Propriedades das Séries Infinitas

Quando as séries infinitas

 a_n

e

b_n convergem, considerando que a_n = S e b_n = T, as seguintes propriedades são verdadeiras:

k . a_n = k . S (k é uma constante)

(a_n + b_n)= S + T

(a_n - b_n)= S - T

Séries Infinitas

Seja Sn a soma parcial dos primeiros n termos da série infinita a_n.

Quando n ≥ 2, a_n = S_n - S_n-1

Quando a série infinita a_n converge, considere S a sua soma. Então, 

lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ (S_n - S_n-1) = lim_n→∞ S_n - lim_n→∞  S_n-1 = S - S = 0.

Portanto, quando a_n converge, lim_n→∞ a_n = 0

Além disso, quando a progressão {a_n} não converge para 0, a_n diverge.

Considerando o exposto acima, a seguinte afirmação é verdadeira.

Convergência e Divergência de Séries Infinitas

Se a série infinita a_n converge, então lim_n→∞ a_n = 0.

Se a progressão {a_n} não converge para 0, então a série infinita a_n diverge.

Limites de Funções I

(referência L41)

Dada a função f(x), se f(x) se aproxima do valor constante α conforme x se aproxima de a, então dizemos que f(x) converge para α, o que é expresso como:

lim_x→a f(x) = α ou f(x) → α quando x → α.

O valor de α é chamado de limite ou de valor limite da função f(x) conforme x → α. Assim como com limites de progressões, as seguintes expressões são verdadeiras para limites de funções.

Propriedades de Limites de Funções

Se lim_x→a f(x) = α e lim_x→a g(x) = β, então

lim_x→a k . f(x) = k . α (k é uma constante)

lim_x→a [f(x) + g(x)] = α + β, lim_x→a [f(x) - g(x)] = α - β

lim_x→a [f(x) . g(x)] = α . β

lim_x→a [f(x) / g(x)] = α / β, (β ≠ 0)

Para a função f(x), o limite quando x se aproxima de a pela direita é chamado de limite tendendo para a direita e é expresso como lim_x→a⁺ f(x). O limite quando x se aproxima de a pela esquerda é chamado de limite tendendo para a esquerda e é expresso como lim_x→a^- f(x).

Existência de um Limite

Se lim_x→a⁺ f(x) = lim_x→a^- f(x) = α, então lim_x→a f(x) = α.

Se lim_x→a⁺ f(x) ≠ lim_x→a^- f(x) = α, então lim_x→a f(x) não existe.

[x]

O símbolo [x] denota o maior número inteiro menor ou igual ao número real x. Isso pode ser expresso da seguinte maneira:

Se n for um número inteiro e n ≤ x < n + 1, então [x] = n.

Por exemplo:

[7/2] = 3, [2] = 2, [0,99] = 0, [-1/10] = -1

O símbolo [ ] é chamado de símbolo de Gauss e [x] é lido como "Gauss x".

Resumo

Dadas as funções f(x), g(x) e a constante α,

quando lim_x→a [f(x)/g(x)] = α e também lim_x→a g(x) = 0,

lim_x→a f(x) = lim_x→a [f(x)/g(x) * g(x)] = α * 0 = 0.

Portanto, se lim_x→a [f(x)/g(x)] = α e lim_x→a g(x) = 0, então lim_x→a f(x) = 0.

Limites de Funções II

Observação:

quando um limite se torna a forma indeterminada ∞/∞ ou ∞ - ∞, a expressão precisa ser reorganizada.

Resumo:

quando x → -∞, é mais fácil determinar a resposta considerando que x = -t e que o caso t → ∞ é verdadeiro. (Caso contrário, (x²)^1/2 = -x quando x < 0, e determinar a resposta correta se torna mais difícil.) 

Limites de funções trigonométricas

lim_x→0 [sen(x) / x] = 1

Limites de funções e suas relações

1 - Para todos os valores de x próximos a a, quando f(x) ≤ g(x),

se lim_x→a f(x) = α e lim_x→a g(x) = β, então α ≤ β

se lim_x→a f(x) = ∞, então lim_x→a g(x) = ∞

2- Para todos os valores de x próximos a a, quando f(x) ≤ h(x) ≤ g(x),

se lim_x→a f(x) = lim_x→a g(x) = α, então lim_x→a h(x) = α

A declaração 1 é verdadeira quando f(x) < g(x), e a declaração 2 é verdadeira quando f(x) ≤ h(x) < g(x), f(x) < h(x) ≤ g(x), f(x) < h(x) < g(x).

Funções Contínuas e Descontínuas

Geralmente, a função f(x) é considerada contínua quando x = a se f(x) satisfizer as duas seguintes condições em relação a a que é o valor de x dentro do domínio.

(i) lim_x→a f(x) existe

(ii) lim_x→a f(x) = f(a) é verdadeiro.

Com essas condições, o gráfico de y = f(x) não tem descontinuidade em x = a. Se a função f(x) não é contínua em x=a, f(x) é considerada descontínua em x = a.

Funções contínuas e descontínuas

Dado que a função f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b], então o gráfico não tem descontinuidade entre os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).

Se f(a) e f(b) tiverem sinais diferentes, então o gráfico intercepta o eixo x entre a e b.

Como as coordenadas x desses pontos são soluções para a equação f(x) = 0, as seguintes afirmações são verdadeiras.

Teorema do Valor Intermediário

Se a função f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b] e f(a) . f(b) < 0, então a equação f(x) = 0 tem pelo menos uma solução real no intervalo a < x < b.

O intervalo a ≤ x ≤ b é chamado de intervalo fechado e o intervalo a < x < b é chamado de intervalo aberto. Eles são expressos como [a, b] e (a, b), respectivamente.

O Teorema do Valor Intermediário pode ser explicado da seguinte maneira: se a função f(x) é contínua no intervalo fechado [a, b] e f(a) ≠ f(b), então há pelo menos um valor de c que satisfaz f(c) = k e a < c < b para qualquer valor arbitrário de k que estiver entre f(a) e f(b).

Diferenciação I

Dada a função f(x), se o valor de limite lim_h→0 [f(a + h) - f(a)] / h existe, então ele é chamado de derivada de f(x) em x = a e é expresso como f ' (a).

Nesse caso, dizemos que f(x) é diferenciável em x = a.

Seja a + h = x. Então, h = x - a. Como h→0, x→a. Portanto, f ' (a) também pode ser expressa como

f ' (a) = lim_h→0 [f(a + h) - f(a)] / h = lim_x→a [f(x) - f(a)] / (x - a)

--

Se a função f(x) é diferenciável para cada valor a em um certo intervalo, a função que corresponde à derivada f ' (a) nesse intervalo é chamada de derivada de f(x) e é expressa como f ' (x). O processo de determinar a derivada f ' (x) é chamado de diferenciação da função f (x).

A derivada da função y = f(x) também é expressa por símbolos como y', [f (x)]', dy/dx e d/dx . f(x). dy/dx também é lida como "dy, dx".

Propriedades de Derivadas

Quando k é uma constante e n é um número inteiro positivo,

se y = x ⁿ, então y' = n . x ^n-1

se y = k . f (x), então y' = k . f '(x)

se y = f (x) + g(x), então y' = f '(x) + g '(x)

se y = f (x) - g(x), então y' = f '(x) - g '(x)

Regra do Produto

[f (x) . g(x)]' = f  '(x) . g(x) + f (x) . g '(x)

Regra do Quociente

[f (x) / g(x)]' = [f  '(x) . g(x) - f (x) . g '(x)] / [g(x)]²

[1 / g(x)]' = - [g '(x)] / [g(x)]²

Derivada de x ⁿ

Quando n é um número inteiro, (x ⁿ)' = n . x ^n-1

Diferenciação I

Seja y = f(x) . g(x) . h(x)

y' = f '(x) . g(x) . h(x) + f(x) . g '(x) . h(x) + f(x) . g(x) . h '(x)

Diferenciação II

Dadas duas funções f (x) e g (x) onde o intervalo de f (x) está dentro do domínio de g (x), considere u = f (x) e y = g (u). Então, y = f (x) = g (f (x)) pode ser obtida.

A função g (f (x)) é chamada de função composta de f (x) e g (x).

Regra da Cadeia I

dy/dx = du/du . du/dx

Regra da Cadeia II

[f (g (x))] ' = f ' (g(x)) . g '(x)

Diferenciação II

Quando o valor de y para y = f (x) é determinado e então apenas um valor correspondente de x é definido, x é considerado uma função de y. Se essa função é expressa como x = g (y), então a função y = g(x) onde x e y são invertidos é chamada função inversa da função original y = f (x).

Fórmula de Diferenciação para Funções Inversas

dy / dx = 1 / (dx / dy)

com dx / dy ≠ 0

Derivada de x ^p

Quando p é um número racional, (x ^p ) ' = p . x ^{p - 1} 

Observação: números que podem ser expressos por uma fração, como m / n, são chamados de números racionais.

Diferenciação de Funções Trigonométricas

As fórmulas de transformação de Soma/Diferença em Produto são frequentemente utilizadas para diferenciação e integração de funções trigonométricas.

sen A + sen B = 2 . sen [(A + B) / 2] . cos [(A - B) / 2]

sen A - sen B = 2 . cos [(A + B) / 2] . sen [(A - B) / 2]

cos A + cos B = 2 . cos [(A + B) / 2] . cos [(A - B) / 2]

cos A - cos B = - 2 . sen [(A + B) / 2] . sen [(A - B) / 2]

Derivadas de Funções Trigonométricas

(sen x) ' = cos x

(cos x) ' = -sen x

(tg x) ' = 1 / cos² x

Diferenciação de Funções Logarítmicas e Exponenciais

Quando examinamos o valor de (1 + k)^1/k substituindo k com um valor próximo de 0, ele se aproxima de um valor constante como mostrado abaixo. A constante e é um número irracional, e = 2,7182818...

k = 0,1; (1 + k)^1/k = 2,59374...

k = 0,01; (1 + k)^1/k = 2,70481...

k = 0,001; (1 + k)^1/k = 2,71692...

k = 0,0001; (1 + k)^1/k = 2,71814...

k = 0,00001; (1 + k)^1/k = 2,71826...

k = -0,1; (1 + k)^1/k = 2,86797...

k = -0,01; (1 + k)^1/k = 2,73199...

k = -0,001; (1 + k)^1/k = 2,71964...

k = -0,0001; (1 + k)^1/k = 2,71841...

k = -0,00001; (1 + k)^1/k = 2,71829...

Derivadas de funções logarítmicas I

(ln x) ' = 1 / x

(log_a x) ' = 1 / (x . ln a)

Derivadas de funções logarítmicas II

(ln |x|) ' = 1 / x

(log_a |x|) ' = 1 / (x . ln a)

[f (g (x)] ' = f '(g(x)) . g '(x)

[f (g (x)] ' = g '(x) / g(x)

Derivada de x^a

Quando α é um número real, (x^α) ' = α . x^{α - 1}

Derivada de funções exponenciais

(e^x) ' = e^x

(a^x) ' = a^x. ln a

Derivada de funções diversas e derivadas de ordem superior

dy / dx = dy / dt . dt / dx = dy / dt . 1 / (dx / dt)

Derivadas de funções representadas por um parâmetro

Quando x = f (t) e y = g (t), dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt) = g ' (t) / f ' (t)

Diferenciação de funções diversas e derivadas de ordem superior

A função [f ' (x)] ' que é derivada por meio da diferenciação da derivada f ' (x) de y = f (x) é chamada de derivada de segunda ordem de f (x), e é expressa como y '' ou f '' (x). Além disso, a derivada da derivada de segunda ordem f '' (x) é chamada de derivada de terceira ordem de f (x) e é expressa como y ''' ou f ''' (x).

f ' (x) é frequentemente chamada de derivada de primeira ordem de f (x). Em geral, a função determinada ao se diferenciar n vezes a função y = f (x) é chamada de derivada de n-ésima ordem de f (x) e é expressa como y⁽ⁿ⁾ ou f ⁽ⁿ⁾ (x). As derivadas de segunda ordem em diante são chamadas de derivadas de ordem superior.

As derivadas de segunda, terceira e n-ésima ordem são expressas como

d ²y / d x², d ³y / d x³, d ⁿy / d xⁿ ou 

(d ² / d x²) f (x), (d ³ / d x³) f (x), (d ⁿ / d xⁿ) f (x), respectivamente.

d ²y / d x² é lido como "d dois y sobre dx ao quadrado".

Propriedades diversas de derivadas

Se a função f (x) é diferenciável em x = a, então f ' (a) existe e lim_x→a [f(x) - f(a)] = lim_x→a {[f(x) - f(a)] / (x - a) . (x - a)} = f ' (a) . 0 = 0

Portante, lim_x→a f (x) = f (a)

f (x) é contínua em x = a.

Diferenciabilidade e continuidade

Se a função f(x) é diferenciável em x = a, então ela é contínua em x = a.

Propriedades Diversas de Derivadas

Teorema de Rolle

Se a função f (x) é contínua no intervalo fechado [a, b], diferenciável no intervalo aberto (a, b) e f (a) = f (b), então existe pelo menos um valor c tal que f ' (c) = 0 e a < c < b.

O Teorema de Rolle afirma que, se f (a) = f (b), então existe pelo menos um ponto entre A e B na curva cujo gradiente da tangente é 0, isto é, f ' (c) = 0.

Teorema do valor médio

Se a função f (x) é contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um valor de c tal que [f (b) - f (a)] / (b - a) = f ' (c) e a < c < b.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.