Cálculo I - 27/02/2019

Cálculo I - 27/02/2019 (Quarta-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h39min
Término da aula: 21h52min
Taxa de aproveitamento: 81,11%


Funções pares e ímpares


Função Par
Uma função f é par se  f(-x) = f(x).


Exemplos de função par:
f(x) = x²

Gráfico de f(x) = x² (função par) obtido com o GeoGebra.

f(x) = (x² - 2) / (x² + 2)

Gráfico de f(x) = (x² - 2) / (x² + 2) (função par) obtido com o GeoGebra.

Função Ímpar

Exemplo de funções ímpares:
f(x) = x³

Gráfico de f(x) = x³ (função ímpar)obtido com o GeoGebra.

f(x) = x⁵ + 3x

Gráfico de f(x) = x⁵ + 3x (função ímpar) obtido com o GeoGebra.

Função composta

Função composta.

Considere as funções g: A → B e f: B → C. Chama-se função composta das funções f e g a função h: A → C.

h(x) = (fog)(x) = f(g(x))


Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, determine:
(gof)(x) e (fog)(x).

(gof)(x) = g(f(x)) = 5 (2x + 3) = 10x + 15

(fog)(x) = f(g(x)) = 2 (5x) + 3 = 10x + 3


Função inversa:

Exemplo do funcionamento da função inversa.

g(x) faz o caminho de volta da função f, é denominada função inversa de f e recebe a notação f^-1.


Exemplo:
Seja f(x) = 3x - 5, determine a inversa.

1) verificar gráfico:

Gráfico de f(x) = 3x - 5 obtido com o GeoGebra.

2) Isolar x

y = 3x - 5
y + 5 = 3x
x = (y + 5) / 3


3) Trocando x por y, temos:
f^-1(x) = (x + 5) / 3


Verificando as condições de existência, temos:
f(f^-1(x)) = f [(x + 5) / 3] = 3 . [(x + 5) / 3] - 5 = x + 5 - 5 = x

f^-1(f(x)) = f^-1(3x - 5) = (3x - 5 + 5) / 3 = 3x / 3 = x

Gráfico de f(x) = 3x - 5 e da função inversa, obtido com o GeoGebra.

Exercício:
Fazer o gráfico da função y = x² - 3 e da inversa.

Encontrando a função inversa:
y = x² - 3
Substituindo x por y e y por x:
x = y² - 3
x + 3 = y²
y = √(x + 3)

Ou seja:
f^-1(x) = √(x + 3)

Gráfico de f(x) = x² - 3 e da função inversa, obtido com o GeoGebra.

Funções básicas

1) Função constante: y = c.

2) Função linear: f(x) = ax + b

3) Função quadrática: f(x) = ax² + bx + c
∆ > 0: corta o eixo x em dois pontos distintos
∆ < 0: não corta o eixo x
∆ = 0: corta o eixo x em um único ponto

4) Função potência: f(x) = xⁿ


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.

Cálculo 1 - 26/02/2019

Cálculo 1 - 26/02/2019 (Terça-feira)

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h42min
Encerramento da aula: 21h48min
Taxa de aproveitamento: 73,33%


Função crescente

Uma função y = f(x) é crescente se, atribuindo a x valores crescentes se obtém para y valores também crescentes.

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

Exemplo de função crescente

Função decrescente

Uma função y = f(x) é decrescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y valores decrescentes.

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

Exemplo de função decrescente - Reta

Exemplo de função decrescente - côncava

Função crescente

Uma função y = f(x) é constante se, atribuindo a x valores crescentes, y permanece invariável.

f(x₁) = f(x₂)

Exemplo:

Determine os trechos de crescimento e decrescimento.

Exemplo de função com trechos de crescimento e decrescimento

f(x) é decrescente: [2, 4]; [7, 9]; [12, 15]
f(x) é constante: [4, 7]
f(x) é crescente: [9, 12], [15, 18]


Máximos e Mínimos

Já vimos que uma função pode não ser crescente (ou decrescente) em todo seu domínio, tendo intervalos em que cresce e intervalos em que decresce. Quando isso ocorre, a função apresenta máximos ou mínimos, conforme o caso.

Dizemos que f(x₀) é um máximo local de uma função y = f(x) se f(x₀) ≥ f(x) para qualquer outro x do domínio de f. Ou seja, se f(x₀) está "no topo de uma montanha", pois em x₀ a função passa de crescente para decrescente.
Da mesma forma, f(x₀) é um mínimo local se está "no fundo do poço", pois em x₀ a função passa de decrescente para crescente.

Obs.:
Se x₀ é o maior valor que a função assume em todo seu domínio, então x₀ é denominado ponto de máximo absoluto de f.
Logo, s f(x₀) é o menor valor que a função assume em todo o seu domínio, então x₀ é dito como mínimo absoluto.

Exemplo:

Determine máximos e mínimos locais:

Exemplo de função com trechos de crescimento e decrescimento

• Máximos locais: [1,7; 4,2], [7, 9], [12,5; 3,5]
• Mínimos locais: [4, -2], [10, -2]
• Máximo absoluto: [7, 9]
• Mínimo absoluto: [15, -3]

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.