Fórmulas importantes da letra O do curso Kumon de Matemática

 Fórmulas importantes da letra O do curso Kumon de Matemática

 

Tangentes e Normais

 Equação da tangente

 A equação da tangente à curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é

y - f (a) = f ' (a) . (x - a)

 

Equação da Normal

Quando uma reta que passa por um ponto A na curva é perpendicular à tangente no ponto A, esta reta é chamada de normal em relação à curva no ponto A. O gradiente da tangente no ponto A (a, f (a)) é f ' (a). Como a normal é perpendicular à tangente, quando f ' (a) ≠ 0, o gradiente da normal é:

- 1 / [f ' (a)].

Assim, a equação da normal de uma curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é:

y - f (a) = -1 / [f ' (a)] . (x - a) quando f ' (a) ≠ 0

x = a quando f ' (a) = 0

Funções Crescentes / Decrescentes e Valores Extremos Relativos

O gradiente da tangente de uma função contínua y = f (x) em x = a é f  '(a). A partir disso, temos 3 casos:

• se f  '(a) > 0, a tangente tem uma curva positiva;
• se f  '(a) < 0, a tangente tem uma curva negativa;
• se f  '(a) = 0, o gradiente da  tangente é 0.

No ponto próximo de x = a, o gráfico da função y = f (x) é quase igual ao da tangente. Assim:

• se f  '(x) > 0 no intervalo (a, b), f (x) é crescente no intervalo [a, b];
• se f  '(x) < 0 no intervalo (a, b), f (x) é decrescente no intervalo [a, b];
• se f  '(x) = 0 no intervalo (a, b), f (x) é uma constante no intervalo [a, b].

Quando uma função contínua f (x) muda de crescente para decrescente conforme x aumenta em a, dizemos que a função f (x) tem um máximo relativo em x = a e f (a) é chamado de valor máximo relativo.

Quando a função f (x) muda de decrescente para crescente conforme x aumenta em a, dizemos que a função f (x) tem um mínimo relativo em x = a e f (a) é chamado de valor mínimo relativo.

Os valores máximo relativo e mínimo relativo são chamados de valores extremos relativos.

Assíntotas

Em geral, uma reta à qual um gráfico se aproxima indefinidamente sem nunca tocá-la é chamada de assíntota do gráfico.

Há dois tipos de assíntotas:

- se lim_x→∞ [f (x) - (ax + b)] = 0 ou lim_x→-∞ [f (x) - (ax + b)] = 0, y = a . x + b é uma assíntota da curva y = f (x).

- se ao menos um dentre lim_x→a⁺ f (x) ou lim_x→a^- f(x) é ∞ ou -∞, x = a é uma assíntota da curva y = f (x).

Concavidades de Curvas

Como f '' (x) é uma derivada de f '(x), o sinal do valor de f '' (x) pode determinar se o valor de f '(x) é crescente ou decrescente.

No intervalo no qual f '' (x) > 0, o valor de f ' (x) é crescente e o gradiente da tangente da curva y = f (x) também é crescente, como demonstrado à direita. Nesse caso, dizemos que a curva é côncava para cima.

No intervalo no qual f ''(x) < 0, o valor de f '(x) é decrescente e o gradiente da tangente da curva y = f (x) é também decrescente, como demonstrado à direita. Nesse caso, dizemos que a curva é côncava para baixo. Assim:

Quando a função f (x) tem a derivada de segunda ordem f ''(x):

- no intervalo no qual f ''(x) > 0, a curva y = f (x) é côncava para cima;

- no intervalo no qual f ''(x) < 0, a curva y = f (x) é côncava para baixo.

Ponto de inflexão

Dado que f ''(a) = 0, se o sinal de f ''(x) mudar conforme x aumenta através de a, o ponto (a, f (a)) é um ponto de inflexão da curva y = f (x). Além disso, se o ponto (a, f (a)) for um ponto de inflexão da curva y = f (x), então f ''(a) = 0.

Concavidade de Curvas

Os valores extremos relativos também poder ser determinados pelo sinal da derivada de segunda ordem, não apenas pela tabela de variação.

Quando uma função f (x) satisfaz f '(a) = 0 e f ''(a) > 0, f '(x) é crescente no ponto onde x = a ou próximo de x = a, e f '(x) muda de negativo para positivo conforme x aumenta através de a. Portanto, f (x) tem um valor mínimo relativo em x = a.

Sinal de f ''(a) e valores extremos relativos

Dado que f ''(x) é contínua no intervalo incluindo x = a,

- se f '(a) = 0 e f ''(a) > 0, f (a) representa o valor mínimo relativo;

- se f '(a) = 0 e f ''(a) < 0, f (a) representa o valor máximo relativo.

Máximos e mínimos

Para encontrar os valores máximo e mínimo:

• Crie uma tabela de variação para o intervalo ou domínio dado.
• Determine os valores extremos relativos e os valores do início e do fim do intervalo, e então compare os valores.

Aplicações Diversas do Cálculo Diferencial

Velocidade e aceleração

Seja x = f (t) a coordenada do Ponto P se movendo em uma reta numerada t. A velocidade v e a aceleração α do ponto P no tempo t podem ser determinadas da seguinte maneira.

v = dx / dt = f ' (t)

α = dv / dt = d²x / dt² = f '' (t) 

Além disso, o valor absoluto v (escrito como |v|) é chamado de velocidade, e o valor absoluto da aceleração α (escrito como |α|) é chamado de magnitude da aceleração.

Aproximação linear I

Quando a função f (x) é diferenciável em x = a e o valor de |h| se aproxima de 0, f (a + h) ≈ f (a) + f  ' (a) . h

Aproximação linear II

Quando o valor de |x| se aproxima de 0, f (x) ≈ f (0) + f  ' (0) . x.

Integrais Indefinidas I

Integrais indefinidas de x^α

com α ≠ -1

Propriedades das Integrais Indefinidas

Sejam a e b constantes, e seja F(x) a integral indefinidada função f (x).

[F (ax + b)] ' = F ' (ax + b) . (ax + b)' = a . f (ax + b)

Integrando esta igualdade com relação a x, temos o seguinte:

Quando F ' (x) = f (x), a ≠ 0,

Integrais Indefinidas II

A partir das fórmulas de derivadas (e^x) ' = e^x e (a^x) ' = a^x . ln a (a > 0, a ≠ 1), obtemos as seguintes fórmulas:

Integrais Indefinidas de Funções Exponenciais

A partir das fórmulas de derivadas (sen x) ' = cos x, (cos x) ' = - sen x, (tg x) ' = 1 / cos² x e (1 / tg x) ' = 1 / sen² x, obtemos as seguintes fórmulas:

Integrais Indefinidas de Funções Trigonométricas

Lembretes:

Integração por Substituição

Seja 

Se uma função de t, x = g(t), for substituída em x, podemos dizer que F(x) = F (g (t)) também é uma função de t.

Sendo g(t) derivável (diferenciável), se F (x) for derivada em relação a t utilizando a Regra da Cadeia obtemos:

Portanto:

Assim, quando x = g(t), ou seja x é função de t:

Invertendo-se o lado esquerdo e o lado direito e substituindo-se t e x por x e u respectivamente, obtemos g(x) = u:

Considerando f (u) = 1 / u, ou seja, f (g(x)) = 1 / g (x):

Daí temos:

Integração por Partes

Segundo a regra do produto:

Reorganizando a regra do produto temos:

Integrando os dois lados da equação temos:

Integrais Definidas

Se F(x) for uma integral indefinida (antiderivada) de f (x), F(b) - F(a) poderá ser chamada de integral definida de f (x) de a até b e é expressa como:

As letras a e b são chamadas de limite inferior e limite superior (a é o inferior e b é o superior).

Assim:

Uma propriedade das integrais definidas é:

Integração por substituição para Integrais Definidas

Quando x = g(t), se a = g(α) e b = g(β), então

Uma outra propriedade das integrais definidas é:

Para a integral definida de:

Para a integral definida de:

Integração de funções pares ou ímpares:

- Quando f (x) for uma função par:

- Quando f (x) for uma função ímpar:

Integração por Partes para Integrais Definidas e Funções Representadas por Integrais Definidas

Integração por partes para integrais definidas:

Quando a é uma constante:

Propriedade de integrais definidas:

Integração por Quadratura e Provas de Desigualdades

Integrais definidas e limites de Somas

Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b],

onde:

Integrais definidas e limites de Somas

Integrais definidas e desigualdades

No intervalo [a, b], se f (x) ≥ g (x):

O sinal da igual se mantém somente quando f (x) = g (x) para todos os valores de x.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Áreas

Área sob a curva:

No intervalo [a, b], em uma curva y = f (x):

f (x) ≥ 0:

f (x) ≤ 0:

Área entre duas curvas:

No intervalo [a, b], quando f (x) ≥ g (x):

Para curvas em y:

x = g (y), no intervalo c ≤ y ≤ d, quando g (y) ≥ 0:

Volumes

Área transversal e Volume do Sólido

Volume de Revolução em torno do eixo x

Basta lembrar da área do círculo, que é: 

e que o raio será variável, em função de x, e integrar.

Volume de revolução em torno do eixo y

O sólido formado ao rotacionar um círculo em torno do eixo x é chamado de toro. O volume do toro é igual ao produto da área do círculo e da circunferência com uma rotação em torno do eixo x.

Comprimento de uma Curva, Velocidade e Distância

Comprimento de uma curva I

Seja L o comprimento da curva x = f (t), y = g (t) (a ≤ t ≤ b):

Comprimento de uma curva quando y = f (x) (a ≤ x ≤ b):

considerando x = t, y =f (t):

Então:

Deslocamento de um ponto se movendo em uma reta:

Distância de um ponto se movendo em uma reta:

Mudança na velocidade de um ponto se movendo em uma reta:

Sejam v₀ e v₁ respectivamente, a velocidade de um ponto P em movimento em uma reta numérica nos tempos t₀ e t₁ e seja α a aceleração no tempo t:

Distância de um ponto se movendo em um plano:

Equações Diferenciais

Uma equação com derivadas de uma função desconhecida, como dy/dx = 2x é chamada de equação diferencial.

Uma função que resolve uma equação diferencial é chamada de solução da equação diferencial.

A equação diferencial expressa da forma f (y) . dy/dx = g(x) chama-se equação diferencial separável.

Uma função constante resulta sempre em um valor constante, como y = 3 e y = -4.

Solução particular: 

Quando se parte de uma solução geral, as curvas obtidas são chamadas de curvas integrais. Apenas uma das curvas integrais tem uma solução que atende a condição de x = x₀ e y = y₀. Uma condição assim, que determina o valor da constante arbitrária, é chama de condição inicial, de onde se obtém a solução particular.

Aplicações das equações diferenciais:

No dia a dia as equações diferenciais podem ser aplicadas em fenômenos naturais e sociais, como a multiplicação de bactérias no tempo, derretimento de açúcar na água quente, resfriamento de líquidos, dissipação de energia luminosa, decaimento radioativo, variação da pressão atmosférica conforme a altitude, variação de umidade para secagem de roupas, força da corrente elétrica em um condutor, a velocidade da gota de chuva caindo no chão, a drenagem de água de um reservatório conforme o tamanho do furo, a variação de CO₂ de acordo com o fluxo de ar que entra no ambiente, a taxa de difusão de uma informação por uma população, e o ponto ótimo de consumo de combustíveis em veículos.

Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.