Mecânica dos Fluidos - Aula 03 - 15/08/2022
Capítulo 6 - Escoamento incompressível...
Equação da continuidade:
-
Q1 = Q2
V1 . A2 = V2 . A2
V1 / V2 = A2 / A1
Equação de Bernoulli interpretada como uma equação de energia:
Q' - W' = ∂/∂t ∫VC e . ρ . d∀ +
∫SC (e +PV) . ρ . V . dA
Onde:
e = u + v²/2 + g2
Hipóteses:
- W = 0
- Regime permanente
- ...
Vazão mássica: m':
-
m1' = m2'
ρ1 . V1 . A1 = ρ2 . V2 . A2
Exemplo 6
Água escoa em regime permanente de um grande reservatório aberto através de
um tubo curto e de um bocal com área de seção transversal A = 560 mm²,
considere que o fluido é descarregado para a atmosfera. Um aquecedor de
10kW, bem isolado termicamente, envolve o tubo. Determine o aumento de
temperatura da água. Sabe-se que 𝑐á𝑔𝑢𝑎 = 4180 𝐽/𝐾𝑔.𝐾, 𝜌á𝑔𝑢𝑎
= 1000 𝑘𝑔/𝑚³.
Hipóteses:
- ...
- ...
- ...
- ...
- P3 = P4
V3 ≈ 0
Q' = m' . c . Δt, onde:
m' = ρ . V . A
P3 / ρ + V3² / 2 + g . z3 = P4 / ρ +
V4² / 2 + g . z4
V4 = [2 . g . (z3 - z4)] ^ (1/2)
V4 = [2 . 9,81 . (3 - 0)] ^ (1/2) = 7,6681 m/s
m' = ρ . V4 .
A4 = ρ . V1 .
A1 = ρ . V2 . A2
m' = 1000 kg/m³ . 77 m/s . 560 . 10^(-6) m² = 4,3 kg/ (m . s)
Δt1-2 = 10 . 10³ / (4,3 . 4180) = 0,55 Kelvin
W . J/s . (1/W) . s/kg . kg/J . K = W .
J/s . (1/W) .
s/kg . kg/J
. K = K
Exercício em sala valendo ponto:
Problema 6.44 (FOX 9ª Edição):
Água escoa de um tanque muito grande através de um tubo de 6 cm de
diâmetro. O líquido escuro no manômetro é mercúrio. Estime a velocidade no
tubo e a vazão de descarga. (Considere o escoamento sem atrito.) Considere
também, que a área do tanque é muito maior que a área da tubulação onde a
água sai. 𝜌𝐻2𝑂 = 1000 𝑘𝑔/𝑚³ e 𝑑𝐻𝑔 = 13,6.
...
PI = PII
Fazendo por pressão absoluta:
𝜌𝐻2𝑂 . g . 0,85 + P2 = (d𝐻g . 𝜌𝐻2𝑂) . g . 0,2 + Patm
P2 = (d𝐻g . 𝜌𝐻2𝑂) . g . 0,2 + Patm - 𝜌𝐻2𝑂 . g . 0,85
P1 / 𝜌 + V1² / 2 + g . z1 = P2 / 𝜌 + V2² / 2 + g . z2
Patm / 𝜌𝐻2𝑂 + g . (z1 - z2) = [(d𝐻g . 𝜌𝐻2𝑂) . g . 0,2 + Patm - 𝜌𝐻2𝑂 . g . 0,85] / 𝜌𝐻2𝑂 + V2² / 2
Fazendo por pressão manométrica:
P2 = (d𝐻g . 𝜌𝐻2𝑂) . g . 0,2 - 𝜌𝐻2𝑂 . g . 0,85 = (g . 𝜌𝐻2𝑂) . (d𝐻g . 0,2 - 0,85)
Patm / 𝜌𝐻2𝑂 + g . (z1 - z2) = [(d𝐻g . 𝜌𝐻2𝑂) . g . 0,2 + Patm - 𝜌𝐻2𝑂 . g . 0,85] / 𝜌𝐻2𝑂 + V2² / 2
g . (z1 - z2) = [(𝜌𝐻2𝑂 . g ) . (d𝐻g . 0,2 - 0,85)] / 𝜌𝐻2𝑂 + V2² / 2
g . (z1 - z2) = [(𝜌𝐻2𝑂 . g ) . (d𝐻g . 0,2 - 0,85)] / 𝜌𝐻2𝑂 + V2² / 2
g . (z1 - z2) - g . (d𝐻g . 0,2 - 0,85)] = V2² / 2
V2 = {2 . [g . (z1 - z2) - g . (d𝐻g . 0,2 - 0,85)]} ^ (1/2)
V2 = {2 . [g . (Δz) - g . (d𝐻g . 0,2 - 0,85)]} ^ (1/2) = 7,8 m/s
Q = V . A = 7,8 . π . 0,06² / 4 = 0,022 m³/s
Exercício de revisão
Problema 6.42 (FOX, 6ª Edição)
Água escoa em regime permanente para cima no interior do tubo vertical de 0,1 𝑚 de diâmetro e é descarregado para a atmosfera através do bocal que tem 0,05 𝑚 de diâmetro. A velocidade média
do escoamento na saída do bocal deve ser de 20 𝑚/𝑠 . Calcule a pressão manométrica mínima requerida na seção 1. Se o equipamento fosse invertido verticalmente, qual seria a pressão mínima requerida na seção 1 para manter a velocidade na saída do bocal em 20 𝑚/𝑠.
Resolução:
Q1 = Q2
A1 . V1 = A2 . V2
π . 0,10² / 4 . V1 = π . 0,05² / 4 . 20
V1 = 5m/s
Como PI = PII:
P1 / 𝜌 + V1² / 2 + g . z1 = P2 / 𝜌 + V2² / 2 + g . z2
Fazendo por pressão manométrica:
P1 / 1000 + 5² / 2 + g . 0 = 0 / 𝜌 + 20² / 2 + g . 4
P1 / 1000 = 20² / 2 + g . 4 - 5² / 2
P1 = 1000 . (20² / 2 + g . 4 - 5² / 2) = 226,740 kPa
--- Caso 2: invertendo o tubo:
Como PI = PII:
P1 / 1000 + 5² / 2 + g . 4 = 0 / 𝜌 + 20² / 2 + g . 0
P1 / 1000 = 20² / 2 - g . 4 - 5² / 2
P1 / 1000 = 400 / 2 - g . 4 - 25 / 2
P1 = 1000 . (400 / 2 - g . 4 - 25 / 2) = 148,260 kPa
