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Cálculo 1 - 03/05/2019

Cálculo 1 - 03/05/2019

Previsão de aula: 18h45min às 20h15min
Início da aula: 18h55min
Término da aula: 20h11min
Taxa de aproveitamento: 76min / 90 min = 84,44%

Regra do Quociente

A derivada do quociente, em geral, não é igual ao quociente das derivadas.

Exemplo:
f(x) = x⁸
f '(x) = (x⁸)' = 8x⁷

Podemos também escrever:
f(x) = x¹⁰ / x²

Sabemos que:
(x¹⁰)' = 10x⁹
(x²)' = 2x

Logo, (x¹⁰)' / (x²)' = 10x⁹ / 2x = 5x⁸
(x⁸)' = (x¹⁰ / x²)' ≠ (x¹⁰)' / (x²)'

Logo, se f e g são diferenciáveis
d/dx [f/g (x)] = {d/dx [f(x)] . g(x) - d/dx [g(x)] . f(x)} / [g(x)]²

Logo:
(f/g)' = (f' . g - g' . f) / g²

Exemplo:
Determine a derivada de f(x) = x⁸ usando a regra do quociente e a igualdade f(x) = x¹⁰ / x².

f '(x) = (10x⁹ . x² - 2x . x¹⁰) / x⁴ = (10x¹¹ - 2x¹¹) / x⁴ = 8x¹¹ / x⁴ = 8x⁷


Exercícios:
Se y = (x² - 3x) / ∛(x²), determine y'.

Seja:
u = x² - 3x ⇒ u' = 2x - 3
v = ∛(x²) = x^2/3 ⇒ v' = 2/3 . x ^-1/3

Assim,
y' = (u' . v - v' . u) / v² = [(2x - 3).(x^2/3) - 2/3 . x ^-1/3 . (x² - 3x)] / x^4/3

= (2x^5/3 - 3 . x^2/3 - 2/3 . x^5/3 + 2x^2/3) / x^4/3

= (4/3 . x^5/3 - x^2/3) / x^4/3

= [x^2/3 . (4/3 . x - 1)] / x^4/3

= x^-2/3 . (4/3 . x - 1)

= 4/3 . x^1/3 - x^-2/3

= (4x - 3) / (3x^2/3)


3) Encontre a derivada:
f(x) = (x² - 1) / (x² +1)

Seja:
u = x² - 1 ⇒ u' = 2x
v = x² + 1 ⇒ v' = 2x

f '(x) = [2x (x² + 1) + 2x (x² - 1)] / (x² + 1)²
= (2x³ + 2x + 2x³ - 2x) / (x² + 1²)
= 4x³ / (x²+1)²
= 4x³ / (x⁴ + 2x² + 1)

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