Cálculo 1 - 22/05/2019

Cálculo 1 - 22/05/2019

Previsão de aula: 20h30min às 22h00min
Início da aula: 20h38min
Término da aula: 22h00min aproximadamente
Taxa de aproveitamento: 82min/90min = 91,11%


Exercícios:

Resolva as derivadas

a) y = e^log(3x+1)

Resolução minha
y = e^log(3x+1)


Aplicando ln nos termos

ln y = ln e^log(3x+1)
ln y = log (3x+1) . ln e
ln y = log (3x+1) . 1
ln y = log (3x+1)


Derivando

1/y . dy/dx = 3/(3x+1) . log e . 3
dy/dx = y . [3/(3x+1) . log e] . 3
dy/dx = e^log(3x+1) . [3/(3x+1) . log e] . 3
dy/dx = e^log(3x+1) . [9/(3x+1) . log e]

Utilizando as seguintes regras de derivação:
y = ln u ⇒ y' = 1/u . u'
y = log u ⇒ y' = u'/u . log_a e


Porém, a professora deseja a resposta obtida a partir das seguintes regras de derivação:
y = e^u ⇒ y' = e^u . u'
Como a função envolve log, também será necessária a seguinte regra de derivação:
y = log_a u ⇒ y' = u'/u . log_a e

y = e^log(3x+1)
y' = y = e^log(3x+1) . 3/(3x+1) . log₁₀ e . 3
y' = y = e^log(3x+1) . 9/(3x+1) . log₁₀ e

Observação: o 3 no final é devido à regra da cadeia, da derivação do termo (3x+1).

Mais um adicional:
log₁₀ e = 1/ ln 10

Assim:
y' = y = e^log(3x+1) . 9/(3x+1) . log₁₀ e  
y' = y = e^log(3x+1) . 9/[(3x+1) . ln 10]

Essa era a forma de resposta esperada pela professora.


b) y = 5^{[2x² . sen(x)]}

Resolução minha
Utilizando a seguinte regra de derivação:
y = u^v ⇒ y' = v . u^v-1 . u' + u^v . (ln u) . v'

y = 5^{[2x² . sen(x)]}

y' = [2x² . sen(x)] . 5^{[2x² . sen(x) - 1]} . 0 + 5^{[2x² . sen(x)]} . ln 5 . [4x . sen(x) + cos(x) . 2x²]
y' = 0 + 5^{[2x² . sen(x)]} . ln 5 . [4x . sen(x) + cos(x) . 2x²]
y' = 5^{[2x² . sen(x)]} . ln 5 . [4x . sen(x) + 2x² . cos(x)]


c) y³ + y = x

Resolução por derivação implícita.
3y² dy/dx + dy/dx = 1

dy/dx (3y² + 1) = 1

dy/dx = 1 / (3y² + 1)



d) y = arctg (2x/3) + arccotg (3/2x)

Resolução minha
Utilizando as seguintes regras de derivação:
y = arctg u ⇒ y' = +u' / (1 + u²)
y = arccotg u ⇒ y' = -u' / (1 + u²)


y = arctg (2x/3) + arccotg (3/2x)
y' = +(2/3) / (1 + 4x² / 9) + [-3/2 . (-1) . x^-2] / [1 + 9/ (4x²)]
y' = +(2/3) / [(9 + 4x²) / 9] + [3/(2x²)] / [(4x² + 9)/ (4x²)]
y' = +(2/3) . 9 / (9 + 4x²) + 3/(2x²) . (4x²) / (4x² + 9)
y' = +6 / (9 + 4x²) + 6 / (4x² + 9)
y' = +12 / (9 + 4x²)


Agradeço sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria na postagem. Com dedicação, Lucas Tiago Rodrigues de Freitas, M.Sc.