Pesquisa Operacional - Dualidade - Treino - 05/07/2018

Pesquisa Operacional - Dualidade - Treino - 05/07/2018

Minimize g:
g = y₁ + 4 . y₂

sujeito a:
2. y₁ + 4 . y₂ ≥ 18
y₁ + 5 . y₂ ≥ 15

Observação: o problema é resolvido pelo método da dualidade porque o método SIMPLEX trabalha com maximizações, e as restrições de "≥" necessitam de minimizações, para minimizar a função objetivo g. Assim, geramos a matriz Primal A, transpomos a Primal A e obtemos a Dual A^T, que será utilizada no método SIMPLEX, podendo ser maximizada.

Primal A

2	4	18
1	5	15
1	4	g

Dual A^T

2	1	1
4	5	4
18	15	f

Sujeito a:
2. y₁ + y₂ ≤ 1
4 . y₁ + 5 . y₂ ≤ 4

Maximizar:
18. y₁ + 15 . y₂ = f

Preparando para o SIMPLEX:
- 18. y₁ - 15 . y₂ + f = 0

Restrições:
R1: 2. y₁ + y₂ + S₁ = 1
R2: 4 . y₁ + 5 . y₂ + S₂ = 4

Pivotagem:

Matriz A

Cálculos	y1	y2	S1	S2	f		cálculo do menor coeficiente positivo
R1	2	1	1	0	0	1	2/1=2
R2	4*	5	0	1	0	4	4/4 =1*
R3	-18* coluna pivô	-15	0	0	1	0

Matriz B

Cálculos	y1	y2	S1	S2	f
R1' = -2 . R2' + R1	0	-3/2	1	-1/2*	0	-1*
R2' = R2/4	1	5/4	0	1/4	0	1
R3' = 18.R2' + R3	0	15/2	0	9/2	1	18

Matriz C

Cálculos	y1	y2	S1	S2	f		cálculo do menor coeficiente positivo
R1'' = -2 . R1'	0	3	-2	1	0	2	2 / -2 = -1
R2'' = -1/4 . R1'' + R2'	1	1/2*	1/2	0	0	1/2	1/2 / 1/2 = 1*
R3'' = -9/2 . R1'' + R3'	0	-6*	9	0	1	9

Matriz D

Cálculos	y1	y2	S1	S2	f
R1''' = -3 . R2''' + R1''	-6	0	-5*	1	0	-1*
R2''' = 2 . R2''	2	1	1	0	0	1
R3''' = 6 . R2''' + R3''	12	0	15	0	1	15

Matriz E

Cálculos	y1	y2	S1	S2	f		cálculo do menor coeficiente positivo
R1'''' = -1/5 . R1'''	6/5*	0	1	-1/5	0	1/5	1/5 / 6/5 = 1/6*
R2'''' = -1 . R1'''' + R2'''	4/5	1	0	1/5	0	4/5	4/5 / 4/5 = 1
R3'''' = -15 . R1'''' + R3'''	-6*	0	0	3	1	12

Matriz F

Cálculos	y1	y2	S1	S2	f
R1''''' = 5/6 . R1''''	1	0	5/6	-1/6	0	1/6
R2''''' = -4/5 . R1''''' + R2''''	0	1	-2/3	1/3	0	2/3
R3''''' = 6 . R1''''' + R3''''	0	0	5	2	1	13

Pivotagem encerrada.
Lembrando que as respostas saem das sobras do Simplex da DUAL: S1 para y1, e S2 para y2.
Assim:
y₁ = 5
y₂ = 2
Maximiza f em 13, ou seja, minimiza g em 13 unidades.

Conferindo as restrições para verificar resposta.
Sujeito a:
2. y₁ + 4 . y₂ ≥ 18

• 2 . 5 + 4 . 2 = 10 + 8 = 18

y₁ + 5 . y₂ ≥ 15

• 5 + 5 . 2 = 15

Como as restrições foram atendidas, a resposta está correta. Devendo então, serem utilizadas (produzidas ou compradas) 5 unidade de y₁ e 2 unidades de y₂.

M.Sc. Lucas Tiago Rodrigues de Freitas agradece sua leitura. Lembre-se de deixar seu comentário, caso seja necessário realizar alguma correção ou melhoria no material.