domingo, 25 de setembro de 2011

Alcalinidade Total - Método Titulométrico e Método Potenciométrico

Alcalinidade Total


A alcalinidade total de uma água é dada pelo somatório das diferentes formas de alcalinidade existentes, ou seja, é a concentração de hidróxidos, carbonatos e bicarbonatos, expressa em termos de Carbonato de Cálcio. Pode-se dizer que a alcalinidade mede a capacidade da água em neutralizar os ácidos, pois todos os íons causadores da alcalinidade têm característica básica. A medida da alcalinidade é de fundamental importância durante o processo de tratamento de água, pois, é em função do seu teor que se estabelece a dosagem dos produtos químicos utilizados/agentes floculantes. As concentrações dos íons também informam sobre as características corrosivas ou incrustantes da água analisada.

A alcalinidade pode existir de três formas (apenas uma de cada vez), segundo as seguintes condições:

  • pH > 9,4 → hidróxidos e carbonatos
  • 8,3 < pH < 9,4 → carbonatos e bicarbonatos
  • 4,4 < pH < 8,3 → apenas bicarbonatos

Só existe uma das formas acima por vez devido à reação química do íon bicarbonato com o íon hidróxido. O íon bicarbonato age como se fosse um ácido fraco na presença de uma base forte:
HCO3- + OH- → H2O + CO32-

Para quantificar os íons OH- e CO32-, o indicador mais utilizado é a fenolftaleína, com faixa de pH de atuação de 8,3 a 9,8:
  • Fenolftaleína:
    • pH < 8,3 → sem coloração / incolor
    • pH > 8,3 → cor rosa
Para quantificar os íons HCO3-, é possível utilizar os seguintes indicadores:
  • Metilorange:
    • pH de atuação varia de 3,1 a 4,6
      • pH > 3,1 → coloração vermelha
      • pH < 3,1 → cor laranja
  • Vermelho de metila:
    • pH de atuação varia de 4,4 a 6,2
      • pH > 4,4 → coloração amarela
      • pH < 4,4 → cor vermelha
  • Indicador misto:
    • Constituído de vermelho de metila e de verde de bromocresol, solubilizados em álcool etílico ou isopropílico, que passa da cor azul para a cor salmão.
Se houver traços de cloro na água a coloração dos indicadores será influenciada. Como forma de inativação do cloro residual é necessário utilizar uma solução de tiossulfato de sódio.

Os indicadores adicionados à amostra podem indicar a presença ou não de um ou mais tipos de alcalinidade.
  • Alcalinidade à Fenolftaleína (F):
Ao adicionarmos fenolftaleína à amostra, uma coloração rosa (ou seja, pH > 8,3) pode significar a presença de hidróxido ou de carbonato ou hidróxido/carbonato simultaneamente na amostra. A alcalinidade à fenolftaleína pode ser quantificada através da adição quantitativa de um ácido de concentração conhecida à amostra até a neutralização da alcalinidade, quando ocorrerá a mudança da cor rosa para incolor. No caso específico da fenolftaleína, caso a amostra se mantenha incolor após a adição do indicador, pode-se dizer que a alcalinidade à fenolftaleína é igual a zero.
  • Alcalinidade ao Metilorange (M):
A alcalinidade ao Metilorange deve ser verificada se a amostra com o indicador apresentar uma coloração amarela (indicadora de pH acima de 4,4) através de titulação com o mesmo ácido usado na alcalinidade à Fenolftaleína. Caso a coloração apresentada seja alaranjada ou avermelhada, a alcalinidade ao Metilorange será zero.

  • Volume Total (T):
T = Volume total = F + M

A adição do ácido irá ocasionar primeiramente reações com os íons mais básicos e em seguida com os mais fracos, ou seja, primeiro reagirá o hidróxido, depois o carbonato e logo após o bicarbonato. As reações serão:
  • H2SO4 + 2 OH- ↔ 2 H2O + SO42-
  • H2SO4 + 2 CO32- ↔ 2 HCO3- + SO42-
  • H2SO4 + 2 HCO3- ↔ 2 H2O + SO42- + 2 CO2
Como o carbonato não se neutraliza de imediato, ele passa para a forma de bicarbonato (HCO3-) para depois chegar a CO2. Metade da concentração do carbonato é titulada com a Fenolftaleína, sendo a outra metade titulada com Metilorange.
A alcalinidade em função dos íons pode ser obtida através das relações abaixo:
  • F = 0:
    • Hidróxidos → 0
    • Carbonato → 0
    • Bicarbonato → T
  • F < ½ . T:
    • Hidróxidos → 0
    • Carbonato → 2 . F
    • Bicarbonato → T – 2 . F
  • F = ½ . T:
    • Hidróxidos → 0
    • Carbonato → 2 . F
    • Bicarbonato → 0
  • F > ½ . T:
    • Hidróxidos → 2F - T
    • Carbonato → 2 (T – F)
    • Bicarbonato → 0
  • F = T
    • Hidróxidos → T
    • Carbonato → 0
    • Bicarbonato → 0

Normalmente as águas superficiais possuem alcalinidade natural em concentração suficiente para reagir com o sulfato de alumínio nos processos de tratamento. Quando a alcalinidade é muito baixa ou inexistente há a necessidade de se provocar uma alcalinidade artificial com aplicação de substâncias alcalinas tal como cal hidratada ou Barrilha (carbonato de sódio) para que o objetivo seja alcançado. Quando a alcalinidade é muito elevada, procede-se ao contrário, acidificando-se a água até que se obtenha um teor de alcalinidade suficiente para reagir com o sulfato de alumínio ou outro produto utilizado no tratamento da água.

Método de Determinação
Titulação com Ácido Sulfúrico

Material necessário:

a) pipeta volumétrica de 50 ml;
b) frasco Erlenmeyer de 250 ml;
c) bureta de 50 ml;
d) fenolftaleína;
e) indicador metilorange;
f) mistura Indicadora de Verde de Bromocresol/Vermelho de Metila;
g) solução de Ácido Sulfúrico 0,02 N;
h) solução de Tiossulfato de Sódio 0,1 N.

Técnica

a) tomar 50 ml da amostra e colocar no Erlenmeyer;
b) adicionar 3 gotas da solução indicadora de verde de bromocresol/vermelho de metila;
c) titular com a Solução de Ácido Sulfúrico 0,02 N até a mudança da cor azul-esverdeada para róseo;
d) anotar o volume total de H2SO4 gasto (V) em ml. 


Cálculo

Alcalinidade total em mg/L de CaCO3 = V x 20

Notas

1. Usar 0,05 ml (1 gota)  da solução de Tiossulfato de Sódio 0,1 N, caso a amostra apresente cloro residual livre;    
2. Utilizar esta técnica na ausência de alcalinidade à fenolftaleína;    
3. Caso haja alcalinidade à Fenolftaleína, adicionar, antes da mistura indicadora de verde de bromocresol/vermelho de metila 3 gotas de Fenolftaleína e titule com H2SO4 0,02N até desaparecer a cor rósea formada. Em seguida continuar no passo b da técnica;     
4. A alcalinidade à Fenolftaleína só poderá ocorrer se o pH da amostra for maior que 8,2; 
5. Na impossibilidade de conseguir a mistura indicadora de verde de bromocresol/vermelho de
metila, usar o indicador de metilorange. Nesse caso o ponto de viragem no passo 3 da técnica será de amarelo para alaranjado;   
6. O ponto de viragem quando se usa o indicador verde de bromocresol/vermelho de metila é mais nítido do que quando se usa metilorange;
7. A fórmula acima é para ser utilizada quando se usa uma amostra de 50 ml. Quando for usado 100 ml de amostra, o volume (V) passará a ser multiplicado por 10;     
8. Fc – Fator de correção da solução titulante.


Fluxograma da Análise


Reagentes para Alcalinidade

Solução de ácido sulfúrico 0,02 N

Para preparar esta solução, faz-se primeiro uma solução 0,1N do seguinte modo:

a) transferir, com pipeta, lentamente, 2,8mL de ácido sulfúrico concentrado (96% d=1,84) para um balão volumétrico de 1000mL contendo cerca de 500mL de água destilada;
b) completar o volume, até a marca, com água destilada e agitar;
c) desta solução, medir, com pipeta volumétrica, 200mL e transferir para um balão volumétrico de 1000mL e completar o volume com água destilada. Esta solução é aproximadamente 0,02 N.

Solução de carbonato de sódio 0,02 N

Para preparar a solução de carbonato de sódio 0,02 N secar 1,5 a 2,0 gramas de Na2CO3 grau padrão primário, a 250ºC por quatro horas. Esfriar em dessecador. Em seguida, pesar 1,060g e dissolver em 250mL de água destilada e completar o volume para 1000 mL com água destilada em balão volumétrico.

Padronização da solução

Colocar 50mL de uma solução de carbonato de Sódio 0,02N em um frasco Erlenmeyer de 250mL e adicionar 4 gotas do indicador metilorange. Titular com H2SO4 0,02N até a viragem do indicador para leve coloração avermelhada. Anotar o volume do ácido gasto.

Para calcular a normalidade correta, use a seguinte fórmula:
N = N’.V’ / V

onde:
N = normalidade do H2SO4 desejada;
V = volume do ácido gasto na titulação;
N’ = normalidade do carbonato de sódio;
V’ = volume do carbonato de sódio usado.
1 mL de H2SO4 0,02 N = 1,0mg de CaCO3.

Solução de tiossulfato de sódio 0,1 N

Pesar exatamente 25,0 gramas de Na2S2O3.5H2O e dissolver em um pouco de água destilada e completar o volume para 1000mL em balão volumétrico.

Indicador metilorange

Pesar 0,100 gramas de metilorange e dissolver em 200mL de água destilada.

Fenolftaleina

a) dissolver 1 grama de fenolftaleína em um pouco de água destilada e diluir a 200 mL.
b) adicionar gotas de NaOH 0,02 N até o aparecimento de leve coloração cor-de-rosa.

Mistura indicadora de verde de bromocresol/vermelho de metila

Pesar 20 mg de vermelho de metila e 100 mg de verde de bromocresol e dissolver em 100 mL de água destilada ou álcool etílico a 95%.



Método de Determinação
Potenciométrico

Unidade de medida

A alcalinidade é expressa em termos de CaCO3.

Sobre o método de titulação potenciométrica

A titulação potenciométrica pode ser utilizada para a análise de alcalinidade para concentrações a partir de 1,0mg CaCO3/L.

Preparação da amostra:

Caso a amostra seja clorada, é necessário inativar o cloro residual com a adição de 0,10mL (duas gotas) de solução de tiossulfato de sódio 0,1M para cada 100mL de amostra.

Possíveis interferências:

A análise de alcalinidade pode sofrer interferências devido a:
  • sabões, materiais oleosos, sólidos suspensos e precipitados podem retardar a resposta do eletrodo;
  • amostras muito saturadas de CaCO3 podem apresentar precipitação, o que altera o resultado da análise.

Titulação potenciométrica:
  • Para amostras com alcalinidade > 20mg CaCO3/L:

1 - colocar 100mL de amostra (ou um volume adequado para não se gastar mais que 50mL do ácido titulante) em um Becker de 250mL. Para preservar a amostra, somente retirá-la do frasco de coleta no momento da análise. A amostra não deve ser filtrada, diluída, concentrada, agitada ou alterada;
2 - esperar a amostra chegar à temperatura ambiente e registrar o pH;
3 - realizar a titulação da amostra (utilizando uma bureta) com ácido sulfúrico ou ácido clorídrico 0,02N até baixar o pH para 8,3. A amostra deve ser agitada com uma barra magnética no agitador magnético. O titulante deve ser adicionado aos poucos, para a leitura do pH ser estável. Como o pH 8,3 é o pH de viragem da Fenolftaleína, o volume de titulante gasto até a amostra atingir o pH 8,3 deve ser anotado como VF. Caso a amostra tenha pH < 8,3 deve-se pular o registro do VF, visto que a alcalinidade da amostra à Fenolftaleína é igual a zero;
4 - a titulação potenciométrica deve prosseguir até que o pH esteja entre 4,3 e 4,9, conforme a indicação abaixo:
  • Alcalinidade total:
    • 30mg CaCO3/L → pH = 4,9
    • 150 mg CaCO3/L → pH = 4,6
    • 500 mg CaCO3/L → pH = 4,3
    • Silicatos, fosfatos, existentes ou esperados, análises rotineiras ou automáticas e despejos → pH = 4,5
5 - registrar o volume total de titulante gasto (VT).

Caso a alcalinidade encontrada seja menor que 20mg CaCO3/L, a alcalinidade deverá ser determinada conforme o próximo tópico.

  • Para amostras com alcalinidade < 20mg CaCO3/L:


1 – seguir os passos 1, 2 e 3 descritos no item anterior;
2 – prosseguir a titulação até que o pH fique no intervalo 4,3 < pH < 4,7. Anotar o volume de ácido titulante gasto (V1).
3 – baixar o pH em 0,3 unidade com o ácido titulante e registrar o volume gasto (V2).



Resultados

Alcalinidadeà Fenolftaleína ou total superior a 20mg de CaCO3/L:

mg CaCO3/L = (V . N . 50000) / Vam

Onde:
V = volume do ácido titulante gasto até o pH predeterminado (mL)
  • VF = volume para alcalinidade a Fenolftaleína
  • VT = Volume para alcalinidade total
N = normalidade do ácido titulante
Vam = volume da amostra (em mL)

Alcalinidade total inferior a 20mg de CaCO3/L:

mg CaCO3/L = [(2V1 – V2) . N . 50000] / Vam

Onde:
V1 = volume (mL) do ácido titulante gasto até o pH atingir a faixa de 4,3 a 4,7
V2 = volume (mL) do ácido titulante gasto até o pH reduzir mais 0,3 unidade
N = normalidade do ácido titulante
Vam = volume da amostra (em mL)

Observação: o pH e a temperatura devem ser registrados.


Referências:
  • Manual Prático de Análise de Água - FUNASA - Manual de Bolso
  • MACÊDO, Jorge Antonio Barros de. Métodos Laboratoriais de Análises Físico-Químicas e Microbiológicas. 3. ed. Belo Horizonte: CRQ-MG, 2005. 601 p.
  • NBR 13736 – Água – Determinação de alcalinidade – Métodos potenciométrico e titulométrico. ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. Rio de Janeiro, RJ. Nov. 1996. 4p.

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quinta-feira, 22 de setembro de 2011

Relatório do Banco Mundial sobre o Desenvolvimento Mundial de 2011

O tema do Relatório do Banco Mundial sobre o Desenvolvimento Mundial de 2011 é Conflito, Segurança e Desenvolvimento.

Ele está disponível em PDF em Português no link:
http://wdr2011.worldbank.org/sites/default/files/pdfs/WDR_Overview_Portuguese.pdf

Análise Cross-section

Uma análise Cross-section é como uma "fotografia" do fenômeno que se mede, que se observa. Não revela tendências no tempo, mas apenas o estado atual do que se é estudado.

sábado, 17 de setembro de 2011

Respostas dos exercícios de Finanças Corporativas do professor Bruno Fuchal do ano de 2011.


Respostas dos exercícios de Finanças Corporativas do professor Bruno Fuchal do ano de 2011.

Se encontrar qualquer erro ou sugestão, por favor envie um comentário.

Seguem os links para as respostas no meu blog:

Os arquivos também podem ser baixados em formato PDF pelos links abaixo:

quarta-feira, 14 de setembro de 2011

Exercícios de Finanças Corporativas - Lista 3

Exercícios de Finanças Corporativas "Lista 3" - Prof. B. Funchal

Questão 1
Parte 1
Dados dois projetos X e Y, sabendo que os fluxos de caixas de cada projeto são respectivamente:
Projeto X => -200, -25, 360
Projeto Y => -200, 180, 120

E que a taxa de retorno do investimento é 13%, calcule:
a) O valor presente líquido de cada projeto

Resolução:
  • Projeto X:
    • Cálculo do VPL pela calculadora HP:
      • -200 g CF0
      • -25 g CFj
      • 360 g CFj
      • 13 i
      • f NPV
        • E(VPLx) = 59,80891
  • Projeto Y
    • Cálculo do VPL pela calculadora HP
      • -200 g CF0
      • 180 g CFj
      • 120 g CFj
      • 13 i
      • f NPV
          • E(VPLy) = 53,26964

    b) A TIR Modificada de cada projeto

    Resolução:
    A TIR Modificada é calculada assumindo-se apenas um fluxo de caixa no início do projeto e um fluxo de caixa no término do projeto. Assim, deve-se levar a valor futuro (no fim do projeto) os fluxos do tempo 1 em diante até a data final do projeto. Usando a calculadora financeira HP tem-se:

    • Projeto X:
      • Valor futuro do fluxo de caixa do ano 1 no tempo 2:
        • -25 CHS PV
        • 13 i
        • 1 n
        • FV
          • Valor futuro do fluxo de caixa do ano 1 no tempo 2 = -28,25
      • Valor do Fluxo de caixa do ano 2 = 360 (não é necessário levá-lo a valor futuro porque ele já está no término do projeto)
      • Fluxos de caixa recebidos em valor futuro (ao fim do projeto)
        • Fluxos de caixa em valor futuro = Valor futuro do fluxo de caixa do ano 1 no tempo 2 + Fluxo de caixa do ano 2 = -28,25 + 360 = 331,75
      • Cálculo da TIR Modificada:
        • -200 g CF0
        • 0 g CFj
        • 331,75 g CFj
        • f IRR
          • TIRmx = 28,79247 
    • Projeto Y:
      • Valor futuro do fluxo de caixa do ano 1 no tempo 2:
        • 180 CHS PV
        • 13 i
        • 1 n
        • FV
          • Valor futuro do fluxo de caixa do ano 1 no tempo 2 = 203,40000
      • Valor do Fluxo de caixa do ano 2 = 120 (não é necessário levá-lo a valor futuro porque ele já está no término do projeto)
      • Fluxos de caixa recebidos em valor futuro (ao fim do projeto)
        • Fluxos de caixa em valor futuro = Valor futuro do fluxo de caixa do ano 1 no tempo 2 + Fluxo de caixa do ano 2 = 203,40000 + 120 = 323,40000
      • Cálculo da TIR Modificada:
        • -200 g CF0
        • 0 g CFj
        • 323,40000 g CFj
        • f IRR
          • TIRmy = 27,16131
    c) Qual projeto você escolheria para implementar

    Resolução:
    Resumo:
    VPLx = 59,80891
    VPLy = 53,26964
    TIRmx = 28,79247
    TIRmy = 27,16131

    O projeto a ser implementado deve ser o Projeto X, pois é o que apresenta o maior VPL e a maior TIRm.

    Parte 2
    Considerando que os projetos acima apresentem incerteza quanto a realização do fluxo de caixa conforme abaixo:

    Projeto X:
    Investimento Inicial (200)
    Ano 1
    Ruim (0,5) -------------------- Bom (0,5)
    -100 ---------------------------- 50
    Ano 2
    Ruim (0,5) ---- Bom (0,5) ------ Ruim (0,5) ---- Bom (0,5)
    180 ---------- 540 ------------ 200 ---------- 520


    Projeto Y:
    Investimento Inicial (200)
    Ano 1
    Ruim (0,5) -------------------- Bom (0,5)
    60 ---------------------------- 300
    Ano 2
    Ruim (0,5) ---- Bom (0,5) ------ Ruim (0,5) ---- Bom (0,5)
    60 ---------- 180 ------------ 50 ---------- 190

    a) Calcule os VPL's esperados de cada projeto.

    Resolução:

    • Projeto X:
      • VPLxBB:
        • -200 g CF0
        • 50 g CFj
        • 520 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLxBB = 251,48406
      • VPLxBR:
        • -200 g CF0
        • 50 g CFj
        • 200 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLxBR = 0,87712
      • VPLxRB:
        • -200 g CF0
        • -100 g CFj
        • 540 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLxRB = 134,40363
      • VPLxRR:
        • -200 g CF0
        • -100 g CFj
        • 180 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLxRR = -147,52917
      • E(VPLx) = PBB . (VPLxBB) + PBR . (VPLxBR) + PRB . (VPLxRB) + PRR . (VPLxRR)
        • E(VPLx) = (0,5 . 0,5) . (251,48406) + (0,5 . 0,5) . (0,87712) + (0,5 . 0,5) . (134,40363) + (0,5 . 0,5) . (-147,52917)
        • E(VPLx) = 59,80891
    • Projeto Y:
      • VPLyBB:
        • -200 g CF0
        • 300 g CFj
        • 190 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLyBB = 214,28460
      • VPLyBR:
        • -200 g CF0
        • 300 g CFj
        • 50 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLyBR = 104,64406
      • VPLyRB:
        • -200 g CF0
        • 60 g CFj
        • 180 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLyRB = -5,93625
      • VPLyRR:
        • -200 g CF0
        • 60 g CFj
        • 60 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLyRR = -99,91385
      • E(VPLy) = PBB . (VPLyBB) + PBR . (VPLyBR) + PRB . (VPLyRB) + PRR . (VPLyRR)
        • E(VPLy) = (0,5 . 0,5) . (214,28460) + (0,5 . 0,5) . (104,64406) + (0,5 . 0,5) . (-5,93625) + (0,5 . 0,5) . (-99,91385)
        • E(VPLy) = 53,26964

    b) Sem considerar o risco, qual projeto você escolheria para implementar?

    Resolução:
    Resumo dos VPL's:
    • E(VPLx) = 59,80891
    • E(VPLy) = 53,26964
    Logo:
    E(VPLx) = 59,80891 > E(VPLy) = 53,26964

    Como o valor esperado do VPL (valor presente líquido) do Projeto X é maior que o VPL do Projeto Y, o projeto a ser implementado deve ser o Projeto X, por oferecer maior retorno.


    c) Considerando que exista uma opção de desfazer do Projeto X no final do 1º ano por $250, você mudaria sua opinião quanto ao projeto escolhido?

    Resolução:

    Caso exista uma opção de venda para o Projeto X no final do ano 1, a árvore de decisão mudaria. Substituindo o pior galho do ano 1 pelo valor da opção de venda ($250), pode-se calcular o novo VPL do Projeto X com a opção de venda (VPLxVENDA):


    Projeto X com opção de venda no fim do ano 1:
    Investimento Inicial (200)
    Ano 1
    Opção de venda (0,5) --------------- Bom (0,5)
    $250 ------------------------------- 50
    Ano 2
    Projeto X foi vendido --------------------- Ruim (0,5) ---- Bom (0,5)
    Fluxo de caixa no ano 2 = 0 ------------- 200 ---------- 520


    Calculando o E(VPLxVENDA):

    • Projeto X:
      • VPLxBB:
        • -200 g CF0
        • 50 g CFj
        • 520 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLxBB = 251,48406
      • VPLxBR:
        • -200 g CF0
        • 50 g CFj
        • 200 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLxBR = 0,87712
      • VPLxVENDA:
        • -200 g CF0
        • 250 g CFj
        • 13 i
        • f NPV
          • VPLxVENDA = 21,23894
      • E(VPLxVENDA) = PBB . (VPLxBB) + PBR . (VPLxBR) + PVENDA . (VPLxVENDA)
        • E(VPLx) = (0,5 . 0,5) . (251,48406) + (0,5 . 0,5) . (0,87712) + (0,5) . (21,23894)
        • E(VPLxVENDA) = 73,709765


    Resumo dos VPL's:
    • E(VPLy) = 53,26964
    • E(VPLx) = 59,80891
    • E(VPLxVENDA) = 73,709765
    Logo:
    E(VPLxVENDA) = 73,709765 > E(VPLx) = 59,80891 > E(VPLy) = 53,26964

    Como o VPL (Valor Presente Líquido) do Projeto X era maior do que o VPL do projeto Y, ele já era o projeto escolhido. Como o VPL do Projeto X aumenta com a opção de venda ele deve ser mantido como escolha de investimento.


    Questão 2
    Uma empresa X obteve um lucro operacional de $500bi, possui uma dívida de $200bi, pagando juros a taxa de 12%, sabendo que a empresa tem a taxa de retorno requerida pelo acionista de 16%, que a expectativa de crescimento da firma é de 4% e que a taxa de IR é de 40%. Pede-se:
    a) Valor do total de ações.
    b) Valor total de mercado.
    c) Valor do preço por ação.
    d) Calcule o WACC da firma.

    Resolução a):

    O valor total das ações pode ser calculado da seguinte forma:
    S = (LAJIR - D . Kd) . (1 - IR) / (Ks - g)
    Onde:
    LAJIR = Lucro antes dos juros e imposto de renda
    D = valor total da dívida (capital de terceiros)
    Kd = taxa de juros da dívida
    IR = taxa do imposto de renda
    Ks = taxa de retorno requerida pelo acionista
    g = taxa de crescimento dos lucros e dividendos

    S = (500bi - 200bi . 0,12) . (1 - 0,40) / (0,16 - 0,04) = 2380bi

    Resolução b):

    V = S + D
    Onde:
    V = Valor total da empresa
    S = Valor da empresa com os stockholders/shareholders (capital próprio)
    D = Capital de terceiros (dívida)

    Logo:
    V = 2380bi + 200bi = 2580bi

    Resolução c):

    Preço por ação = S / n = D1 / (Ks-g)
    Onde:
    S = Valor da empresa com os stockholders/shareholders (capital próprio)
    n = número de ações
    D1 = Dividendo do período seguinte
    Ks = Taxa requerida pelo acionista
    g = taxa de crescimento dos lucros e dividendos

    Como não foram informados o número de ações nem o valor do dividendo D1, não é possível calcular o preço da ação.

    Resolução d):

    WACC = (D/V) . Kd . (1 - IR) + (S/V) . Ks
    Onde:
    D = dívida da empresa
    S = valor do capital próprio (capital dos stockholders/shareholders)
    V = Valor total da firma
    Kd = taxa de juros da dívida
    IR = taxa de imposto de renda
    Ks = taxa de retorno requerida pelos acionistas

    Logo:
    WACC = (D/V) . Kd (1 - IR) + (S/V) . Ks
    WACC = (200 / 2580) . 0,12 . (1 - 0,40) + ( 2380 / 2580) . 0,16 = 0,153178294 ≈ 15,32%

    terça-feira, 13 de setembro de 2011

    Exercícios de Finanças Corporativas - Lista 4

    Exercícios de Finanças Corporativas ("Lista 4") - Prof. B. Funchal


    Questão 1:
    Defina e descreva:
    • A diferença do Risco Isolado, Risco Corporativo e Risco de Mercado
    • CAPM (Capital Asset Pricing Model)
    • APT (Arbitrage Pricing Theory)


    Resolução:
    • A diferença entre Risco Isolado, Risco Corporativo e Risco de Mercado é dada pela abrangência de cada tipo de risco:
      • o Risco Isolado é o risco de um projeto específico ou de um setor específico da firma;
      • o Risco Corporativo é composto pelos riscos dos vários setores e projetos da firma;
      • o Risco de Mercado é o risco que afeta em maior ou menor grau, positiva ou negativamente, uma grande quantidade de empresas do mercado, não atingindo apenas um setor ou projeto específico.
    • CAPM:
      • CAPM é um modelo de precificação de ativos. A partir do Coeficiente Beta de cada empresa (que é uma medida das oscilações entre o preço do ativo e o mercado como um todo) o CAPM estima a qual taxa os investidores devem ser remunerados pelo risco que correm ao adquirir determinado ativo. A fórmula do CAPM é dada por:
        • Ks = Kf + β (Km - Kf)
          • Ks = Taxa de retorno requerida pelos investidores
          • Kf = Taxa de remuneração de um investimento considerado como "livre de risco"
          • Km = Taxa média de retorno dos investimentos no mercado
          • β = Coeficiente Beta da empresa = COV (ativo, mercado) / VAR (mercado)
    • APT:
      • APT é um modelo de precificação de ativos que leva em consideração fatores como o PIB, inflação e taxa de juros. Cada fator pode influenciar os resultados da empresa de forma diferenciada. Essa influência de cada fator é indicada por um coeficiente Beta específico. Haverá tantos betas quantos forem os fatores a serem analisados. 

    Questão 2:
    A companhia Vale do Rio Doce está passando por um período de recessão. É esperada uma taxa de crescimento nos lucros e nos dividendos de -5% durante os próximos 2 anos, porém, daí em diante uma taxa de crescimento estabilizando em 7%. Seu último dividendo foi de $2,10 e a taxa de retorno requerida sobre a ação é de 11%.

    a) Calcule o valor da ação hoje.

    Resolução:
    Esse problema requer um cuidado especial. Como há duas taxas de crescimento para os lucros e dividendos, uma para os primeiros 2 anos e outra para após os 2 primeiros anos, o fluxo de dividendos deverá ser precificado de forma separada: uma precificação para os dividendos abrangidos pela primeira taxa de crescimento dos lucros e dividendos e outra para os dividendos sob influência da segunda taxa de crescimento. O preço da ação é dado pelo valor de todo o fluxo de dividendos, ou seja, pelo custo de aquisição do fluxo de dividendos.

    g1 = Taxa de crescimento dos lucros e dividendos nos 2 primeiros anos = -5%
    g2 = Taxa de crescimento dos lucros e dividendos após os 2 primeiros anos = 7%
    D0 = Dividendo incial = $2,10
    Ks = taxa de retorno requerida sobre a ação = 11%

    Ao comprar a ação hoje, ou seja, no tempo zero (0), receberemos o seguinte fluxo de dividendos:
    • D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + ... (O recebimento de dividendos e lucros se dará enquanto a firma existir ou as condições políticas/sociais permitirem. É importante ressaltar que D0 não é recebido pelo comprador, pois já foi distribuído previamente, sendo utilizado apenas para a estimativa do fluxo futuro de dividendos).

    Logo, o preço da ação deverá ser calculado considerando-se o fluxo de dividendos e as diferentes taxas de crescimento dos lucros e dividendos:
    • Como g1 abrange os dividendos D1 e D2, tem-se:
      • D1 = D0 . (1 + g1) = 2,10 . [1 + (-5%)] = $1,995
      • D2 = D1 . (1 + g1) = D0 . (1 + g1) . (1 + g1) = 2,10 . [1 + (-5%)] . [1 + (-5%)] = $1,89525
    • Como os dividendos D3, D4, D5 e demais dividendos tem crescimento conforme g2, tem-se:
      • D3 = D2 . (1 + g2) = 1,89525 (1 + [7%]) = 2,0279175
      • D4 = D3 . (1 + g2) = 2,0279175 (1 + [7%]) = 2,169871725
      • D5 = D4 . (1 + g2) = 2,169871725 (1 + [7%]) = 2,321762746
      • E assim por diante.
    • A ação será precificada conforme os dois diferentes fluxos de dividendos. Para tanto, devemos trazer a valor presente os dividendos D1 e D2, do primeiro fluxo de dividendos (relacionados a g1), e precificar os demais dividendos relacionados à taxa de crescimento constante g2.
      • Valor presente de D1:
        • Calculando através da calculadora financeira HP:
          • $1,995 CHS FV
          • 1 n
          • 11 i
          • PV
          • Valor presente de D1 = $1,79730
      • Valor presente de D2:
        • Calculando através da calculadora financeira HP:
          • $1,89525 CHS FV
          • 2 n
          • 11 i
          • PV
          • Valor presente de D2 = $1,53823
      • Preço do fluxo de dividendos relacionado à taxa de crescimento constante g2:
        • P2 = D3 / (Ks - g2)
        • P2 = 2,0279175 / [(11%) - (7%)] = $50,6979375
        • Trazendo P2 a valor presente através da calculadora financeira HP, tem-se:
          • 50,6979375 CHS FV
          • 2 n
          • 11 i
          • PV
          • Valor presente de P2 = $41,14758
      • O preço atual da ação é dado por:
        • P0 = Valor presente de D1 + Valor presente de D+ Valor presente de P2
        • P0 = $1,79730 + $1,53823 + $41,14758
        • P0 = $44,48311

    b) Calcule o preço no período 1 (P^1)

    Resolução:
    Ao precificar a ação no tempo 1, deve-se considerar o recebimento do seguinte fluxo de dividendos:
    • D2 + D3 + D4 + D5 + ... (É importante ressaltar que D1 não é recebido pelo comprador do ativo, pois já foi distribuído previamente).

    Como há duas taxas de crescimento dos lucros e dividendos, g1 e g2, o ativo será precificado conforme o valor presente (no tempo 1) dos fluxos:
    • Valor presente de D(no tempo 1):
      • Calculando através da calculadora financeira HP:
        • $1,89525 CHS FV
        • 1 n
        • 11 i
        • PV
        • Valor presente de D2 (no tempo 1) = $1,70743
    • Preço do fluxo de dividendos relacionado à taxa de crescimento constante g2:
      • P2 = D3 / (Ks - g2)
      • P2 = 2,0279175 / [(11%) - (7%)] = $50,6979375
      • Trazendo P2 a valor presente (no tempo 1) através da calculadora financeira HP, tem-se:
        • 50,6979375 CHS FV
        • 1 n
        • 11 i
        • PV
        • Valor presente de P2 (no tempo 1) = $45,67382
    • O preço da ação no tempo 1 é dado por:
      • P1 = Valor presente de D2 (no tempo 1) + Valor presente de P2 (no tempo 1)
      • P1 = $1,70743 + $45,67382
      • P1 = $47,38125


    Questão 3:
    Você, como analista de investimentos da Saturn Corporation, precisa analisar dois projetos potenciais distintos (X e Y) e mutuamente excludentes. Cada projeto tem um custo inicial de investimento de 400.000$, e o custo de capital da empresa é de 13%. Os fluxos de caixa esperados são:

    Projeto X
    Ano 0 - (400)
    Ano 1 - (50)
    Ano 2 - 720

    Projeto Y
    Ano 0 - (400)
    Ano 1 - 360
    Ano 2 - 240

    (0) Calcule o VPL e a TIR modificada de cada projeto. Qual desses seria aceito? (descreva os passos da HP quando for utilizá-la).

    Resolução:
    Para calcular o VPL através da calculadora financeira HP, deve-se realizar os seguintes passos:

    • (Valor do fluxo de caixa) CHS FV
    • (Custo de capital) i
    • (Número de períodos) n
    • PV

    Cálculo do valor presente dos fluxos de caixa dos projetos:
    • Valor Presente dos Fluxos de Caixa do Projeto X:
      • Ano 0 - (400)
      • Ano 1 - (44,24779)
      • Ano 2 - 563,86
    • Valor Presente dos Fluxos de Caixa do Projeto Y:
      • Ano 0 - (400)
      • Ano 1 - 318,58407
      • Ano 2 - 187,95529

    Cálculo do valor presente acumulado dos fluxos de caixa dos projetos:
    • Valor Presente Acumulado dos Fluxos de Caixa do Projeto X:
      • Ano 0 - (400)
      • Ano 1 - (444,24779)
      • Ano 2 - 119,61221
    • Valor Presente Acumulado dos Fluxos de Caixa do Projeto Y:
      • Ano 0 - (400)
      • Ano 1 - (81,41593)
      • Ano 2 - 106,53929

    Cálculo da TIRm (Taxa Interna de Retorno modificada) projetos X e Y:
    • A TIRm pode ser calculada da seguinte forma, utilizando-se a calculadora financeira HP:
      • Considera-se como o primeiro fluxo de caixa o valor do investimento inicial e os demais fluxos de caixa devem ser lançados para o futuro, no tempo de término do projeto. Assim, tem-se:
        • Para o Projeto X:
          • Valor do investimento inicial = 400 mil
          • Ks = 13%
          • Fluxo de dividendos do ano 1 em valor futuro (para o ano 2):
            • -50 CHS PV
            • 13 i
            • 1 n
            • FV
            • Valor futuro do D1 (no tempo 2) = -56,50 mil
          • Fluxo de dividendos do ano 2 = 720 mil
          • Fluxo futuro de dividendos (no tempo 2):
            • Fluxo futuro de dividendos (no tempo 2) = Fluxo de dividendos do ano 1 em valor futuro (para o ano 2) + Fluxo de dividendos do ano 2
            • Fluxo futuro de dividendos (no tempo 2) = -56,50 mil + 720 mil = 663,5 mil
          • A TIRmx pode então ser calculada, utilizando-se a calculadora finaceira HP da seguinte forma:
            • 400 CHS g CF0
            • 0 g CFj
            • 663,5 g CFj
            • f IRR
            • TIRmx = 28,79247 %
        • Para o Projeto Y:
          • Valor do investimento inicial = 400 mil
          • Ks = 13%
          • Fluxo de dividendos do ano 1 em valor futuro (para o ano 2):
            • 360 CHS PV
            • 13 i
            • 1 n
            • FV
            • Valor futuro do D1 (no tempo 2) = 406,80 mil
          • Fluxo de dividendos do ano 2 = 240 mil
          • Fluxo futuro de dividendos (no tempo 2):
            • Fluxo futuro de dividendos (no tempo 2) = Fluxo de dividendos do ano 1 em valor futuro (para o ano 2) + Fluxo de dividendos do ano 2
            • Fluxo futuro de dividendos (no tempo 2) = 406,80 mil + 240 mil = 646,8 mil
          • A TIRmy pode então ser calculada, utilizando-se a calculadora finaceira HP da seguinte forma:
            • 400 CHS g CF0
            • 0 g CFj
            • 646,8 g CFj
            • f IRR
            • TIRmy = 27,16131%

    Resumo:
    • Projeto X:
      • VPLx = 119,61221 mil
      • TIRmx = 28,79247%
    • Projeto Y:
      • VPLy = 106,53929 mil
      • TIRmy = 27,16131%
     Avaliação dos projetos:
    Através dos indicadores VPL (Valor Presente Líquido) e TIRm (Taxa Interna de Retorno modificada) é possível observar que o projeto que oferece maiores vantagens é o Projeto X. Como os projetos são mutuamente excludentes, apenas o Projeto X deve ser escolhido.

    ------------------------------------------------------------------
    ------------------------------------------------------------------

    Projeto X
    • Ano 1 - Ruim (p = 0,5): (200)
      • Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 360 / Bom (p = 0,5): 1080
    • Ano 2 - Bom (p = 0,5): 100
      • Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 400 / Bom (p = 0,5): 1040

    Projeto Y
    • Ano 1 - Ruim (p = 0,5): 120
      • Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 120 / Bom (p = 0,5): 360
    • Ano 2 - Bom (p = 0,5): 600
      • Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 100 / Bom (p = 0,5): 380

    (1) Suponha agora que existe incerteza em relação aos períodos 1 e 2, como apresentado acima. O Projeto X tem a possibilidade de ser vendido no ano 1 à uma outra firma pelo valor de 590.000$. Isso mudaria a escolha de projeto da firma? (Use o VPL para avaliar)

    Resolução:
    1º Passo: Cálculo do VPL de cada galho da árvore de decisão
    • Árvore de Decisão do Projeto X:
      • Cenário Ano 1 Bom e Ano 2 Bom (BOM-BOM):
        • Fluxo de Caixa:
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: 100
          • Ano 2: 1040
            • VPLxBB = 502,96813
      • Cenário Ano 1 Bom e Ano 2 Ruim (BOM-RUIM):
        • Fluxo de Caixa:
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: 100
          • Ano 2: 400
            • VPLxBR = 1,75425
      • Cenário Ano 1 Ruim e Ano 2 Bom (RUIM-BOM):
        • Fluxo de Caixa:
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: (200)
          • Ano 2: 1080
            • VPLxRB = 268,80727
      • Cenário Ano 1 Ruim e Ano 2 Ruim (RUIM-RUIM):
        • Fluxo de Caixa: 
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: (200)
          • Ano 2: 360
            • VPLxRR = - 295,05834
      • Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido do Projeto X (E(VPLx)):
        • E(VPLx) = ProbabilidadeBB . VPLxBB + ProbabilidadeBR . VPLxBR + ProbabilidadeRB . VPLxRB + ProbabilidadeRR . VPLxRR
          • E(VPLx) = (0,5 . 0,5) . (502,96813) + (0,5 . 0,5) . (1,75425) + (0,5 . 0,5) . (268,80727) + (0,5 . 0,5) . (-295,05834) = 119,6178275
    • Árvore de Decisão do Projeto Y:
      • Cenário Ano 1 Bom e Ano 2 Bom (BOM-BOM):
        • Fluxo de Caixa:
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: 600
          • Ano 2: 380
            • VPLyBB = 428,56919
      • Cenário Ano 1 Bom e Ano 2 Ruim (BOM-RUIM):
        • Fluxo de Caixa:
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: 600
          • Ano 2: 100
            • VPLyBR = 209,28812
      • Cenário Ano 1 Ruim e Ano 2 Bom (RUIM-BOM):
        • Fluxo de Caixa:
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: 120
          • Ano 2: 360
            • VPLyRB = -11,87250
      • Cenário Ano 1 Ruim e Ano 2 Ruim (RUIM-RUIM):
        • Fluxo de Caixa: 
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: 120
          • Ano 2: 120
            • VPLyRR = -199,82771
      • Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido do Projeto X (E(VPLy)):
        • E(VPLx) = ProbabilidadeBB . VPLyBB + ProbabilidadeBR . VPLyBR + ProbabilidadeRB . VPLyRB + ProbabilidadeRR . VPLyRR
          • E(VPLx) = (0,5 . 0,5) . (428,56919) + (0,5 . 0,5) . (209,28812) + (0,5 . 0,5) . (-11,87250) + (0,5 . 0,5) . (-199,82771) = 106,539275
    2º Passo: Cálculo do VPL de cada galho da árvore de decisão do Projeto X com Opção de Venda:
    • Árvore de Decisão do Projeto X com opção de venda no ano 1 por 590.000$:
      • Substituindo o galho de menor valor no ano 1 pelo valor da opção de venda, tem-se a nova árvore de decisão do projeto X com opção de venda
      • Cenário Ano 1 Bom e Ano 2 Bom (BOM-BOM):
        • Fluxo de Caixa:
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: 100
          • Ano 2: 1040
            • VPLxBB = 502,96813
      • Cenário Ano 1 Bom e Ano 2 Ruim (BOM-RUIM):
        • Fluxo de Caixa:
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: 100
          • Ano 2: 400
            • VPLxBR = 1,75425
      • Cenário Ano 1 Ruim substituído pela opção de venda (Opção de venda):
        • Fluxo de Caixa:
          • Ano 0: (400)
          • Ano 1: 590
            • VPLxVENDA = 122,12389
      • Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido do Projeto X com opção de venda (E(VPLxVENDA)):
        • E(VPLxVENDA) = ProbabilidadeBB . VPLxBB + ProbabilidadeBR . VPLxBR + ProbabilidadeVENDA . VPLxVENDA
          • E(VPLxVENDA) = (0,5 . 0,5) . (502,96813) + (0,5 . 0,5) . (1,75425) + (0,5) . (122,12389) = 187,24254
    Resumo:
    • E(VPLx) = 119,6178275
    • E(VPLxVENDA) = 187,24254
    • E(VPLy) =  106,539275

    3º Passo: Análise dos VPL's

    O Projeto X já era a melhor escolha. A opção de venda do Projeto X aumentou seu VPL. Portanto, o projeto a ser escolhido pela firma continua a ser o Projeto X.

    segunda-feira, 12 de setembro de 2011

    Riscos, Coeficiente Beta e CAPM

    Riscos:
    • Risco Isolado
      • É um risco de um único ativo (específico de um setor da empresa, um projeto específico etc.)
    • Risco Corporativo
      • É a soma dos riscos isolados da firma (o resultado da diversificação dos riscos)
    • Risco de Mercado
      • É um risco a que praticamente todas as empresas do mercado estão suscetíveis

    Os riscos podem ser classificados em:
    • Riscos sistemáticos:
      • São os riscos a que a maioria das empresas do mercado estão suscetíveis (Risco de Mercado).
    • Riscos não-sistemáticos:
      • São os riscos que atingem setores específicos da economia ou da empresa, não afetando os demais setores econômicos ou projetos da empresa.

    Risco de um projeto específico

    Conhecendo-se o valor esperado do fluxo de caixa de um projeto, pode-se dimensionar o risco do projeto através do Coeficiente de Variação (CV):

    CV = Desvio Padrão / média

    Onde o Desvio padrão é calculado com base nas probabilidades de ocorrência dos fluxos de caixa esperados:
    Desvio padrão = [Probabilidade (E(fluxo de caixa1) - Fluxo médio)2 + ... ]1/2

    Coeficiente Beta

    O coeficiente Beta pode ser calculado da seguinte forma:

    Beta = COV (ativo, mercado) / VAR (mercado)
    Ou seja, o coeficiente Beta é igual à covariância entre o valor do ativo e o mercado dividida pela variância do mercado. O mercado pode ser representado por um indicador financeiro como o índice IBOVESPA ou outro indicador, conforme a necessidade e as características de mercado.

    Se o coeficiente Beta for:
    • Beta < 1:
      • O valor do ativo varia menos que o mercado, oferecendo maior concentração de valores em torno do valor médio, ou seja, com menos dispersões, oferecendo menor variabilidade e consequentemente menor risco. Como seu risco é baixo, devido à sua baixa variabilidade, a taxa de retorno requerida pelos acionistas (Ks) será menor que a taxa de mercado (Km), conforme o CAPM.
    • Beta = 1:
      • O valor do ativo varia de forma idêntica ao mercado, de tal forma que o retorno esperado pelos acionistas (Ks) é igual ao retorno do mercado (Km).
    • Beta > 1:
      •  O valor do ativo oscila mais do que o mercado. Por oferecer maior incerteza, com dados mais dispersos ao redor do valor médio do período analisado, oferece maior risco, o que leva a taxa de retorno dos acionistas (Ks) a ser maior que a taxa média de retorno do mercado (Km).

    CAPM (Capital Asset Pricing Model - Modelo de Precificação de Ativos):
    Ks = Kf + Beta . (Km - Kf)
    Onde:
    Ks = taxa de retorno do capital próprio (retorno dos acionistas = stockholders/shareholders)
    Kf = taxa do investimento "livre de risco" disponível no mercado
    Beta = coeficiente beta da empresa (obtido com base na variação do preço do ativo e do mercado)
    Km = taxa média de retorno do mercado

    O CAPM usa o coeficiente beta da empresa para calcular a taxa requerida pelo acionista (Ks). Com base no Ks é possível precificar a ação (sabendo-se o valor esperado dos dividendos futuros):
    P0 = D1 / (Ks - g)
    Onde:
    P0 = Preço da ação no tempo 0
    D1 = Valor do dividendo no tempo 1
    Ks = taxa de retorno do acionista, calculada através do CAPM (modelo de precificação de ativos)
    g = taxa de crescimento esperada dos lucros e dividendos

    domingo, 11 de setembro de 2011

    Finanças Corporativas - Lista de exercícios II

    Finanças Corporativas - Lista de exercícios II - Prof. B. Funchal

    Questão 1
    Você, como analista de investimentos da Saturn Corporation, precisa analisar dois projetos potencias distintos (X e Y) e mutuamente excludentes. Cada projeto tem um custo inicial de investimento de 200.000$, e o custo de capital da empresa é de 13%. Os fluxos de caixa esperados são:

    Projeto X
    Ano 0 - (200)
    Ano 1 - 70
    Ano 2 - 70
    Ano 3 - 70
    Ano 4 - 70

    Projeto Y
    Ano 0 - (200)
    Ano 1 - 130
    Ano 2 - 60
    Ano 3 - 60
    Ano 4 - 20

    (0) Calcule o período de payback descontado, o VPL, e a TIR Modificada de cada projeto. Qual desses seria aceito? (descreva os passos da HP quando for utilizá-la)

    Resolução:

    - Período de Payback descontado
    Primeiramente é importante diferenciar Payback do Payback descontado. Payback é o tempo de retorno do investimento baseado nos valores do fluxo de caixa: quando o fluxo de caixa acumulado "zera" o valor investido ocorre o Payback. O Payback descontado é mais próximo da realidade, pois é baseado nos valores presentes do fluxo de caixa, ou seja, considera o valor dinheiro conforme o custo de capital (o valor do dinheiro no tempo).

    Custo inicial: 200.000$
    Ks (custo de oportunidade): 13%

    Fluxo de caixa do Projeto X:
    Ano 0 - (200)
    Ano 1 - 70
    Ano 2 - 70
    Ano 3 - 70
    Ano 4 - 70

    Com a calculadora financeira HP é possível obter os valores do fluxo de caixa em valor presente da seguinte forma:

    70 CHS FV
    13 i
    1 n
    PV

    Repetindo o procedimento para cada valor do fluxo de caixa, obtém-se os valores presentes:
    Valor presente do fluxo de caixa do Projeto X:
    Ano 0 - (200)
    Ano 1 - 61,94690
    Ano 2 - 54,82027
    Ano 3 - 48,51351
    Ano 4 - 42,93231

    Valor presente líquido acumulado do fluxo de caixa do Projeto X:
    Ano 0 - (200)
    Ano 1 - (138,0531)
    Ano 2 - (83,23283)
    Ano 3 - (34,71932)
    Ano 4 - 8,20389

    Como pode-se observar, conforme o valor presente líquido acumulado, o payback descontado ocorre entre o ano 3 e o ano 4.
    No ano 3 restam (34,71932). Como o fluxo de caixa para o ano 4 é de 42,93231, logo:
    34,71932/42,93231 = 0,808699089
    Logo, o Payback descontado ocorre em 3,80869 anos.

    O Valor Presente Líquido do Projeto X (VPLx), é:
    VPLx = 8,20389 mil

    Para se calcular a TIRm (Taxa Interna de Retorno modificada) deve-se levar os fluxos de caixa dos anos 1 a 4 para o Valor Futuro no final do projeto, ou seja, no ano 4, mantendo apenas o investimento inicial em valor presente. Na calculadora financeira HP o cálculo do valor futuro pode ser feito da seguinte forma:

    70 PV
    13 i
    3 n
    FV

    Assim, obtém-se os valores futuros (para o ano 4), lembrando que o fluxo do Ano 0 (o investimento) não é levado a Valor Futuro:

    Ano 1 - 101,00279
    Ano 2 - 89,383
    Ano 3 - 79,10
    Ano 4 - 70

    Total: 339,48579

    Para o cálculo da TIRmx (Taxa Interna de Retorno do Projeto X) na HP:
    200 CHS PV
    339,48579 FV
    4 n
    i

    Assim, obtém-se o valor da TIRmx:
    TIRmx = 14,14264%



    Agora, passemos à análise do projeto Y:

    Fluxo de caixa do Projeto Y:
    Ano 0 - (200)
    Ano 1 - 130
    Ano 2 - 60
    Ano 3 - 60
    Ano 4 - 20

    Repetindo o cálculo de Valor Futuro para cada valor do fluxo de caixa, obtém-se os valores presentes:
    Valor presente do fluxo de caixa do Projeto Y:
    Ano 0 - (200)
    Ano 1 - 115,04425
    Ano 2 - 46,98880
    Ano 3 - 41,58301
    Ano 4 - 12,26637

    Valor presente líquido acumulado do fluxo de caixa do Projeto Y:
    Ano 0 - (200)
    Ano 1 - (84,95575)
    Ano 2 - (37,96695)
    Ano 3 - 3,61606
    Ano 4 - 15,88243

    Como se pode observar, conforme o valor presente líquido acumulado, o payback descontado ocorre entre o ano 2 e o ano 3.
    No ano 2 restam (37,96695). Como o fluxo de caixa para o ano 3 é de 41,58301, logo:
    37,96695/41,58301 = 0,913039965
    Logo, o Payback descontado ocorre em 2,9130 anos.

    O Valor Presente Líquido do Projeto Y (VPLy), é:
    VPLy = 15,88243 mil

    Para se calcular a TIRm (Taxa Interna de Retorno modificada) deve-se levar os fluxos de caixa dos anos 1 a 4 para o Valor Futuro no final do projeto, ou seja, no ano 4, mantendo apenas o investimento inicial em valor presente. Na calculadora financeira HP o cálculo do valor futuro pode ser feito da seguinte forma:

    130 PV
    13 i
    3 n
    FV

    Assim, obtém-se os valores futuros (para o ano 4), lembrando que o fluxo do Ano 0 (o investimento) não é levado a Valor Futuro:
    Ano 1 - 187,57
    Ano 2 - 76,61400
    Ano 3 - 67,80
    Ano 4 - 20

    Total: 351,984

    Para o cálculo da TIRmy (Taxa Interna de Retorno do Projeto Y) na HP:
    200 CHS PV
    339,48579 FV
    4 n
    i

    Assim, obtém-se o valor da TIRmy:
    TIRmy = 14,14264%

    Resumo


    Payback descontado:
    Projeto X: 3,80869 anos
    Projeto Y: 2,9130 anos
    TIRm:
    Projeto X: 14,14264%
    Projeto Y: 15,17898%
    VPL:
    Projeto X: 8,20389 mil
    Projeto Y: 15,88243 mil

    Com base no resumo das informações, o Projeto Y deve ser o escolhido por ser o melhor em VPL e TIRm e por ter o menor Payback descontado.

    (1) Considere agora a existência de uma incerteza inerente aos projetos a partir do 3º ano, isto é , os fluxos de caixa dos períodos 0, 1 e 2 são certos (descritos acima), e apenas os dos períodos 3 e 4 são incertos, tendo a seguinte característica:

    Projeto Y
    • Ano 3 - Ruim (p = 0,5): 20
      • Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 0 / Bom (p = 0,5): 30
    • Ano 3 - Bom (p = 0,5): 100
      • Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 0 / Bom (p = 0,5): 50

    Projeto X
    • Ano 3 - Ruim (p = 0,5): 60
      • Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 40 / Bom (p = 0,5): 80
    •  Ano 3 - Bom (p = 0,5): 80
      • Ano 4 - Ruim (p = 0,5): 60 / Bom (p = 0,5): 100

    Desenhe as árvores de decisão, calcule os VPL's esperados e o coeficiente de variação de cada um dos projetos. Se você é um gerente mais avesso ao risco, isto é, prefere manter o Coeficiente de variação próximo de 2 (que é o nível atual da firma), qual projeto escolheria? E se você não se importasse com o risco? (Dica: para calcular o desvio padrão de cada projeto monte cada fluxo de caixa de cada trajetória separadamente, i.e , fluxo para estado Bom Bom, Bom Ruim, Ruim Bom e Ruim Ruim).

    Resolução:

    Desenhando as árvores de decisão:

    • Projeto X
    Fluxos de Caixa
    Ano 0
    (200)
    Ano 1
    70
    Ano 2
    70
    Ano 3
    Bom (p = 0,5) ------------------------------------ Ruim (p = 0,5)
    80 ------------------------------------------------- 60
    Ano 4
    Bom (p = 0,5) ----------- Ruim (p = 0,5) ------------ Bom (p = 0,5) ----------- Ruim (p = 0,5)
    100 --------------------- 60 -------------------------------- 80 --------------------- 40

    VPLXBB ------------------- VPLXBR --------------------- VPLXRB ------------------- VPLXRR
    33,54306 --------------------- 9,01031 -------------------- 7,41568 --------------------- (17,11707)

      • Valor esperado do VPL do Projeto X (VPLx):
        • E(VPLx) = [ProbabilidadeBB . E(VPLXBB) + ProbabilidadeBR . (VPLXBR) + ProbabilidadeRB . (VPLXRB) + ProbabilidadeRR . (VPLXRR)]
        • E(VPLx) = [(0,5 . 0,5) . (33,54306) + (0,5 . 0,5) . (9,01031) + (0,5 . 0,5) . (7,41568) + (0,5 . 0,5) . (-17,11707)] = 8,212995 mil $

    • Projeto Y
    Fluxos de Caixa
    Ano 0
    (200)
    Ano 1
    130
    Ano 2
    60
    Ano 3
    Bom (p = 0,5) ------------------------------------ Ruim (p = 0,5)
    100 ------------------------------------------------- 20
    Ano 4
    Bom (p = 0,5) ----------- Ruim (p = 0,5) ------------ Bom (p = 0,5) ----------- Ruim (p = 0,5)
    50 --------------------- 0 -------------------------------- 30 --------------------- 0

    VPLYBB ------------------- VPLYBR --------------------- VPLYRB ------------------- VPLYRR
    62,00400 ------------------ 31,33807 ------------------- (5,70639) ------------------ (24,10595)

        • Valor esperado do VPL do Projeto Y (VPLy):
          • E(VPLy) = [ProbabilidadeBB . E(VPLYBB) + ProbabilidadeBR . (VPLYBR) + ProbabilidadeRB . (VPLYRB) + ProbabilidadeRR . (VPLYRR)]
          • E(VPLy) = [(0,5 . 0,5) . (62,00400) + (0,5 . 0,5) . (31,33807) + (0,5 . 0,5) . (-5,70639) + (0,5 . 0,5) . (-24,10595)] = 15,8824325 mil $

      • Cálculo do VPL de cada galho das árvores de decisão utilizando a calculadora financeira HP:
        • Projeto X
          • VPLXBB:
            • 200 CHS g CF0
            • 70 g CFj
            • 70 g CFj
            • 80 g CFj
            • 100 g CFj
            • 13 i
            • f NPV
          • VPLXBR:
            • 200 CHS g CF0
            • 70 g CFj
            • 70 g CFj
            • 80 g CFj
            • 60 g CFj
            • 13 i
            • f NPV
          • VPLXRB:
            • 200 CHS g CF0
            • 70 g CFj
            • 70 g CFj
            • 60 g CFj
            • 80 g CFj
            • 13 i
            • f NPV
          • VPLXRR:
            • 200 CHS g CF0
            • 70 g CFj
            • 70 g CFj
            • 60 g CFj
            • 40 g CFj
            • 13 i
            • f NPV
        • Projeto Y
          • VPLYBB:
            • 200 CHS g CF0
            • 130 g CFj
            • 60 g CFj
            • 100 g CFj
            • 50 g CFj
            • 13 i
            • f NPV
          • VPLYBR:
            • 200 CHS g CF0
            • 130 g CFj
            • 60 g CFj
            • 100 g CFj
            • 0 g CFj
            • 13 i
            • f NPV
          • VPLYRB:
            • 200 CHS g CF0
            • 130 g CFj
            • 60 g CFj
            • 20 g CFj
            • 30 g CFj
            • 13 i
            • f NPV
          • VPLYRR:
            • 200 CHS g CF0
            • 130 g CFj
            • 60 g CFj
            • 20 g CFj
            • 0 g CFj
            • 13 i
            • f NPV
      • Cálculo do Coeficiente de Variação (CV) de cada projeto:
        • CV = Desvio Padrão dos VPL's / E(VPL)
          • Coeficiente de Variação do Projeto X (CVx):
            • CVx = {[ProbabilidadeBB . (VPLxBB - E(VPLx))2] + [ProbabilidadeBR . (VPLxBR - E(VPLx))2] + [ProbabilidadeRB . (VPLxBB - E(VPLx))2] + [ProbabilidadeRR . (VPLxBB - E(VPLx))2]}1/2 / E(VPLx)
              • CVx = {[0,25 . (33,54306 - 8,212995)2] + [0,25 . (9,01031 - 8,212995)2] + [0,25 . (7,41568 - 8,212995)2] + [0,25 . (- 17,11707 - 8,212995)2]}1/2 / 8,212995
              • CVx = 2,181899745
          • Coeficiente de Variação do Projeto Y (CVy):
            • CVy = {[ProbabilidadeBB . (VPLyBB - E(VPLy))2] + [ProbabilidadeBR . (VPLyBR - E(VPLy))2] + [ProbabilidadeRB . (VPLyBB - E(VPLy))2] + [ProbabilidadeRR . (VPLyBB - E(VPLy))2]}1/2 / E(VPLy)
              • CVy = {[0,25 . (62,00400 - 15,8824325)2] + [0,25 . (31,33807 - 15,8824325)2] + [0,25 . (- 5,70639 - 15,8824325)2] + [0,25 . (- 24,10595 - 15,8824325)2]}1/2 / 15,8824325
              • CVy = 2,095631048
      Devido à aversão ao risco, o projeto escolhido seria o de Coeficiente de Variação (CV) mais próximo de 2, ou seja, o Projeto Y, pois CVy < CVx. Caso o risco fosse desconsiderado o fator decisivo para a análise seria o valor esperado do VPL (Valor Presente Líquido) de cada projeto. Como o E(VPLy) > E(VPLx), o Projeto Y continuaria sendo o projeto escolhido.

      (2) Suponha agora que na implementação do projeto Y, a firma tem a possibilidade de vendê-la no 3º ano à uma outra firma pelo valor de 150.000$. Isso mudaria a escolha de projeto da firma? (Use o VPL para avaliar)

      Resolução:
      Com a opção de venda do Projeto Y deve-se calcular o novo E(VPLy). Para isso é necessário construir uma nova árvore de decisão, conforme descrito abaixo.
      • Árvore de Decisão do Projeto Y com opção de venda no ano 3 por 150.000$:
        • Substituindo o galho de menor VPL no ano 3 pelo valor da opção de venda, tem-se a nova árvore de decisão do projeto Y com opção de venda
        • Cenário Ano 3 Bom e Ano 4 Bom (BOM-BOM):
          • Fluxo de Caixa:
            • Ano 0: (200)
            • Ano 1: 130
            • Ano 2: 60
            • Ano 3: 100
            • Ano 4: 50
              • VPLyBB = 62,00400
        • Cenário Ano 3 Bom e Ano 4 Ruim (BOM-RUIM):
          • Fluxo de Caixa:
            • Ano 0: (200)
            • Ano 1: 130
            • Ano 2: 60
            • Ano 3: 100
            • Ano 4: 0
              • VPLyBR = 31,33807
        • Cenário Ano 3 Ruim substituído pela opção de venda (Opção de venda):
          • Fluxo de Caixa:
            • Ano 0: (200)
            • Ano 1: 130
            • Ano 2: 60
            • Ano 3: 150
              • VPLyVENDA = 65,99057
        • Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido do Projeto X com opção de venda (E(VPLxVENDA)):
          • E(VPLyVENDA) = ProbabilidadeBB . VPLyBB + ProbabilidadeBR . VPLyBR + ProbabilidadeVENDA . VPLyVENDA
          • E(VPLyVENDA) = (0,5 . 0,5) . (62,00400) + (0,5 . 0,5) . (31,33807) + (0,5) . (65,99057) = 56,3308025

      Resumo:
      E(VPLx) = 8,212995
      E(VPLy) = 15,8824325
      E(VPLyVENDA) = 56,3308025

      Análise dos VPL's:
      O Projeto Y tem seu valor esperado de VPL (E(VPLy)) aumentado com a opção de venda no ano 3. Como o E(VPLyVENDA) > E(VPLx), o projeto a ser escolhido pela firma continua a ser o Projeto Y.

      Questão 2
      O preço corrente da ação da empresa A é de $72 e seu último dividendo foi de $4,80. Em vista da forte posição financeira da empresa e de seu conseqüente baixo risco, sua taxa de retorno requerida é de somente 15%. Se os dividendos têm expectativa de crescer no futuro a uma taxa constante g e se é esperado que Ks permaneça em 15%, qual será o preço da ação da empresa daqui a 10 anos?

      Resolução:

      Preço atual da ação = P0 = $72
      D0 = $4,80
      Ks = 15%
      g = constante = ?
      P10 = ?

      Primeiro passo - Encontrar a taxa de crescimento g:
      P0 = D1 / (Ks - g)
      D1 = D0 (1+g)

      Logo:
      P0 = D0 (1+g) / (Ks - g)

      Isolando o g:
      (Ks - g) . P0 = D0 (1+g)


      Logo:
      (Ks - g) . P= D+ D0 . g
      (Ks . P0) - (g . P0) = D+ (D0 . g)
      (Ks . P0) - D0 = (D0 . g) + (g . P0)
      (Ks . P0) - D0  g (D0 + P0)
      {(Ks . P0) - D0} / (D0 + P0) =  g

      Calculando g:
      g = {(Ks . P0) - D0} / (D0 + P0)
      g = {(0,15 . 72) - 4,80} / (4,80 + 72)
      g = 0,078125 ≈ 7,81%

      Segundo passo - Calcular o preço da ação daqui a 10 anos (P10):
      Como:
      D1 = D0 (1 + g)
      D2 = D1 (1 + g) = D0 (1 + g) . (1 + g) = D0 (1 + g)2
      D3 = D2 (1 + g) = D0 (1 + g) . (1 + g) . (1 +g) = D0 (1 + g)3
      .
      .
      .
      Então:
      D11 = D0 (1 + g)11

      O valor de D11 é necessário para o cálculo do preço da ação no tempo dez, já que o preço da ação é baseado no fluxo futuro de dividendos.
      P10 = D11 / (Ks - g)
      Logo:
      P10 = D0 (1 + g)11 / (Ks - g)

      Calculando:
      P10 = 4,80 . (1 + 0,078125)11 / (0,15 - 0,078125) = 152,7649295 ≈ 152,76


      Questão 3
      A função lucro da Usiminas é dada por:
      Lucro = (preço . quantidade) – custo fixo – custo variável
      Onde o custo variável é (c . quantidade).

      O preço da tonelada do aço hoje está em R$ 1500, e a quantidade vendida por mês é de 270.000 toneladas. O custo fixo da empresa é de 100 milhões e o custo variável (c) é de R$750. Faça uma análise de sensibilidade e mostre qual variável apresenta maior risco.

      Resolução:
      A análise de sensibilidade pode ser feita variando-se uma das variáveis componentes do lucro, deixando todas as demais fixas (ceteris paribus). Assim, as oscilações no lucro indicarão qual das variáveis causa mais impacto, ou seja, apresenta maior risco.

      O lucro é a medida de sensibilidade. Então o usamos como parâmetro de avaliação.
      O custo fixo é fixo. Portanto não se pode variá-lo.
      Restam então o preço, a quantidade e o custo variável para a análise de sensibilidade. Para facilitar os cálculos, com uma variação de 10% para mais e para menos em cada uma das variáveis, uma de cada vez (ceteris paribus), faz-se a análise de sensibilidade.


      Análise de sensibilidade:

      Lucro = (preço . quantidade) – custo fixo – custo variável
      Onde o custo variável é (c . quantidade).
      c = R$ 750
      Custo fixo = 100mi

      Logo:
      Lucro = (1500 . 270000) - 100mi - (750 . 270000) = 102,5mi

      Variando o Preço:
      • + 10%
        • Lucro = (1,1 . 1500 . 270000) - 100mi - (750 . 270000) = 143mi
      • - 10%
        • Lucro = (0,9 . 1500 . 270000) - 100mi - (750 . 270000) = 62mi
      • Variação = |143mi - 62mi| = 81mi

      Variando a Quantidade Vendida:
      • + 10%
        • Lucro = (1500 . 1,1 . 270000) - 100mi - (750 . 1,1 . 270000) = 122,75mi
      • - 10%
        • Lucro = (1500 . 0,9 . 270000) - 100mi - (750 . 0,9 . 270000) = 82,25mi
      • Variação = |122,75mi - 82,25mi| = 40,5mi

      Variando o Custo Variável:
      • + 10%
        • Lucro = (1500 . 270000) - 100mi - (1,1 . 750 . 270000) = 82,25mi
      • - 10%
        • Lucro = (1500 . 270000) - 100mi - (0,9 . 750 . 270000) = 122,75mi
      • Variação = |82,25mi - 122,75mi| = 40,5mi

      Comparando-se as variações de lucro para variações no preço, na quantidade vendida e no custo variável, observa-se que a maior variação foi obtida com a oscilação nos preços. Logo, a oscilação de preços apresenta maior sensibilidade nos lucros do que a oscilação da quantidade vendida e a oscilação do custo variável. Consequentemente, a variável preço é a que apresenta maior risco.


      Questão 4
      A Saturn Corporation tem hoje os seguintes indicadores:
      1. LAJIR (lucro antes dos juros e do IR) = 20 milhões
      2. Dívida = 10 milhões (títulos perpétuos)
      3. Custo da Dívida (Kd) = 11%
      4. Custo de capital (ou retorno da firma) (Ks) = 16%
      5. Ações em circulação (n) = 5.000.000
      6. alíquota do imposto de renda = 40%.
      O mercado da empresa é estável, isto é , não se espera nenhum crescimento (g = 0)  . Todos os lucros são distribuí dos como dividendos.

      (0) Qual o valor de mercado total das ações da empresa (S), seu valor total de mercado (V), e seu preço por ação (P)?

      Resolução:

      S = (LAJIR - D . Kd) . (1 - IR) / (Ks - g)
      Onde:
      LAJIR = Lucro antes dos juros e imposto de renda
      D = valor total da dívida (capital de terceiros)
      Kd = taxa de juros da dívida
      IR = taxa do imposto de renda
      Ks = taxa de retorno requerida pelo acionista
      g = taxa de crescimento dos lucros e dividendos

      S = (20mi - 10mi . 0,11) . (1 - 0,40) / (0,16 - 0) = 70,875mi

      V = S + D
      Onde:
      V = Valor total da empresa
      S = Valor da empresa com os stockholders/shareholders (capital próprio)
      D = Capital de terceiros (dívida)

      Logo:
      V = 70,875mi + 10mi = 80,875mi

      Preço por ação = S / n
      Onde:
      S = Valor da empresa com os stockholders/shareholders (capital próprio)
      n = número de ações

      Logo:
      Preço por ação = 70,875mi / 5mi = 14,175

      (1) Qual o custo médio ponderado de capital (WACC) da empresa?

      Resolução:

      WACC = (D/V) . Kd . (1 - IR) + (S/V) . Ks
      Onde:
      D = dívida da empresa
      S = valor do capital próprio (capital dos stockholders/shareholders)
      V = Valor total da firma
      Kd = taxa de juros da dívida
      IR = taxa de imposto de renda
      Ks = taxa de retorno requerida pelos acionistas

      Logo:
      WACC = (D/V) . Kd (1 - IR) + (S/V) . Ks
      WACC = (10 / 80,875) . 0,11 . (1 - 0,40) + (70,875 / 80,875) . 0,16 = 0,148377125 ≈ 14,837%


      (2) Agora, você como gerente, deve decidir se muda a estrutura de capital ou não. A empresa tem a chance de aumentar em 40 milhões a sua dívida, ficando com um total de 50 milhões, usando a nova dívida para recomprar suas ações. Sua taxa de juros sobre a dívida total será de 12% (você resgatará e refinanciará a dívida antiga) e seu custo de capital aumentará de 16% para 18%. Tudo mais permanece constante. A empresa deve mudar a estrutura de capital ou deve permanecer com a antiga? Porquê ?

      Resolução:
      Para saber se a empresa deve mudar a estrutura de capital basta comparar o WACC (custo médio ponderado de capital) de cada possível estrutura. A estrutura de capital que apresentar o menor WACC será a que ofereça menores custos para a empresa, ou seja, maximizará o lucro.

      S' = novo preço da firma na mão dos acionistas
      D' = nova valor de dívida da empresa = 50mi
      Kd' = nova taxa de juros da dívida
      Ks' = novo custo de capital próprio
      S' = (Lucro - D' . Kd') . (1 - IR) / (Ks' - g)

      Logo:
      S' = (20 - 50 . 0,12) . (1 - 0,40) / (0,18 - 0) = 46,66666667mi

      V' = S' + D'
      Onde:
      V' = Novo valor total da firma
      S' = Novo valor do capital próprio
      D' = Novo valor da dívida da empresa

      V' = S' + D' = 46,66666667mi + 50mi = 96,66666667mi

      Passando para o cálculo do WACC' (novo custo médio ponderado de capital):
      WACC' =  (D' / V') . Kd' . (1 - IR) + (S' / V') . Ks'

      WACC = (50mi / 96,66666667mi) . 0,12 . (1 - 0,4) + (46,66666667mi / 96,66666667mi) . 0,18 = 0,124137931
      WACC ≈ 12,41%

      Como o valor da empresa aumenta e o custo médio ponderado de capital diminui, a nova estrutura de capital deve ser adotada pela empresa por ser mais vantajosa.

      Fórmulas:

      Preço da ação:
      P0 = D1 / (Ks - g)
      Onde:
      P0 = Preço da ação no tempo 0
      D1 = Valor do dividendo no tempo 1
      Ks = Taxa requerida pelos acionistas
      g = Taxa de crescimento da empresa

      Dividendos:
      D1 = D0 (1 + g)
      Onde:
      D1 = Dividendo no tempo 1
      D0 = Dividendo no tempo 0
      g = Taxa de crescimento da empresa

      Valor da Empresa nas mãos dos acionistas (Capital próprio):
      S = (LAJIR - D . Kd) . (1 - IR) / (Ks - g)
      Onde:
      S = Valor da empresa na mão dos acionistas (stockholders / shareholders)
      LAJIR = Lucro antes dos juros e imposto de renda
      D = Valor da dívida
      Kd = Taxa de juros da dívida
      IR = Alíquota de Imposto de Renda
      Ks = Taxa de retorno do acionista
      g = Taxa de crescimento da empresa

      Valor Total da Empresa:
      V = S + D
      Onde:
      V = Valor total da firma
      S = Valor da empresa na mão dos acionistas (capital próprio)
      D = Valor da dívida da empresa (capital de terceiros)

      WACC (Weighted Average Cost of Capital - Custo Médio Ponderado de Capital):
      WACC = (D/V) . (Kd) (1 - IR) + (S/V) . (Ks)
      Onde:
      WACC = Custo médio do capital ponderado pela estrutura de capital da empresa (porcentagem de dívida e porcentagem de capital próprio)
      D = Valor da dívida (capital de terceiros)
      S = Valor do empresa na mão dos acionistas (capital próprio)
      V = Valor total da empresa = S + D
      Kd = Taxa de juros da dívida
      IR = Alíquota de Imposto de Renda
      Ks = Taxa requerida pelos acionistas

      Questão 5
      A empresa Saturn Corp. tem sua estrutura de capital ótima formada por: 30% dívida e 70% ações ordinárias. A alíquota do imposto da Saturn Corp. é de 40% e os investidores esperam que os lucros e os dividendos futuros cresçam a uma taxa constante e igual a 6% (g = 6%). A empresa pagou um dividendo de 10$ por ação no último ano (D0) , e suas ações são vendidas ao preço de 100$ cada uma.
      Já a dívida da empresa poderia ser emitida à uma taxa de juros de 13%.

      (0) Calcule os custos de cada componente da estrutura de capital (dívida e ações ordinárias).

      Resolução:
      Custos dos componentes da estrutura de capital:
      • Custo da dívida (Kd):
        • Como não há dedução de imposto de renda (IR = 40%) no custo da dívida, ou seja, o imposto de renda não abrange os juros da dívida, o capital de terceiros não sofre o peso do imposto. Logo, tem-se:
          • Custo da dívida = Kd (1 - 0,4) = 13% (0,6) = 0,078 = 7,8% 
      • Custo do capital próprio (Ks):
        • Para o cálculo do custo do capital próprio devemos nos basear nas informações fornecidas no problema. Através do Preço da ação (P0), do dividendo (D0) e da taxa de crescimento (g), pode-se encontrar o custo do capital próprio (Ks):
          • P0 = D1 / (Ks - g)
          • P0 = [D0 (1 + g)] / (Ks - g)
          • Isolando Ks:
            • P0 (Ks - g) = [D0 (1 + g)]
            • (Ks - g) = [D0 (1 + g)] / P0
            • Ks = {[D0 (1 + g)] / P0} + g
            • Ks = {[10 (1 + 0,06)] / 100} + 0,06 = 0,166 = 16,6%

      (1) Qual é o WACC (custo ponderado médio de capital) da firma?

      Resolução:
      É importante ressaltar que o WACC é o custo médio de capital da empresa ponderado pela sua estrutura de capital. Assim, o capital de terceiros e o capital próprio contribuem para a geração de todo o lucro. O capital de terceiros é remunerado conforme Kd. O capital próprio é remunerado conforme Ks. Porém, no fim das contas, quem realmente arca com o pagamento do imposto de renda sobre o lucro é o capital próprio: os acionistas têm seus ganhos reduzidos com o pagamento do imposto de renda, enquanto os financiadores da empresas continuam recebendo seus juros conforme Kd. O valor do capital próprio já é calculado com o desconto do valor do imposto de renda. Na fórmula do WACC o imposto de renda já é descontado dos lucros logo na formação do capital próprio. Por esse motivo, o custo de capital de terceiros para a empresa é ponderado de forma a não contabilizar o imposto de renda, que já foi pago pelo capital próprio. Por isso existe o benefício para a empresa da redução nos custos com a captação de capital de terceiros (o que pode ser otimizado através de simulações de variações na estrutura de capital, considerando que o aumento das dívidas aumenta o risco da empresa e elevam a taxa de retorno Ks requerida pelos acionistas).

      WACC = (D/V) . Kd . (1 - IR) + (S/V) . Ks

      Conforme dados do problema e com o valor de Ks calculado anteriormente:
      (D/V) = 30%
      (S/V) = 70%
      Ks = 16,6%
      Logo:
      WACC = 0,30 . 0,13 . (1 - 0,40) + 0,7 . 0,166 = 0,1396 = 13,96%